第章几种常见的概率分布律

1、2/5/2022.1第三章第三章 几种常见的概率分布律几种常见的概率分布律2/5/2022.2学习目标学习目标1、了解离散型随机变量的概率分布、了解离散型随机变量的概率分布2、了解连续型随机变量的概率分布、了解连续型随机变量的概率分布3、学会用统计表和、学会用统计表和Excel计算分布的概率计算分布的概率2/5/2022.3生物学中常见的离散性概率分布生物学中常见的离散性概率分布w、二项分布、二项分布w、泊松分布、泊松分布生物学中常见的连续性概率分布生物学中常见的连续性概率分布 3、正态分布、正态分布2/5/2022.43.1 二项分布二项分布w3.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数

2、w3.1.2 服从二项分布的随机变服从二项分布的随机变量的特征数量的特征数w3.1.3 二项分布应用实例二项分布应用实例 2/5/2022.53.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 在独立重复试验中，总体的某个性状每一次试验在独立重复试验中，总体的某个性状每一次试验只有非此即彼两个可能结果只有非此即彼两个可能结果(生男、生女；药物有效生男、生女；药物有效或者无效或者无效)，这种非此即彼事件所构成的总体叫，这种非此即彼事件所构成的总体叫二项二项总体总体，也叫，也叫0，1总体总体。 当每次独立的从二项总体抽取当每次独立的从二项总体抽取n个个体，这个个体，这n个个个体：个体：“此此”事件出

3、现的次数事件出现的次数X可能有可能有0、1、2、.n,共有共有n+1种种,这这n+1种可能性有它各自的概率，种可能性有它各自的概率，组成一个分布组成一个分布,此分布叫此分布叫二项概率分布二项概率分布或简称或简称二项分二项分布布。二项分布是一种。二项分布是一种离散型分布离散型分布。2/5/2022.63.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 二项分布满足下列条件二项分布满足下列条件:一次试验只有两个可能结果，即一次试验只有两个可能结果，即“成功成功”和和“失败失败”w “成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一次试验一次试验“成功成功”的概率为的概率为 ，失败的概率，

4、失败的概率为为1 ，且概率且概率 对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可以重复进行可以重复进行n次次 在在n次试验中，次试验中，“成功成功”的次数对应一个离的次数对应一个离散型随机变量散型随机变量X X2/5/2022.73.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w例例3.1：从雌雄各半的：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽只动物中抽样，抽样共进行样共进行10次，问其中包括次，问其中包括3只雄性动物的概只雄性动物的概率是多少？包括率是多少？包括3只及只及3只以下的概率是多少？只以下的概率是多少？即求即求P（X3）和）和P（X3）=F(x)。

5、w该例符合二项分布的条件。该例符合二项分布的条件。 2/5/2022.83.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w先了解以下一组符号：先了解以下一组符号：w n 试验次数试验次数w x 在在n次试验中事件次试验中事件A出现的次数出现的次数w 事件事件A发生的概率发生的概率(每次试验都是恒定的每次试验都是恒定的)w 1 事件事件 发生的概率发生的概率w p(x) = “X的概率函数的概率函数”P(Xx)w F(x) = P(Xx) =A( )iixxp x2/5/2022.93.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w上例中：上例中：n = 10，x = 3， = 0.5，求，

6、求p(3) 和和F(3)。在一次抽样中抽到的结果为：在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff，它的概，它的概率为率为w P(mmmfffffff ) = 3(1 )7抽到抽到3雄雄7雌的数目相当于从雌的数目相当于从10个元素中抽出个元素中抽出3个元个元素的组合数素的组合数 ，因此抽到，因此抽到3只雄性动物的概率为：只雄性动物的概率为： 7331031pC310C2/5/2022.103.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w对于任意对于任意n和和x有以下通式：有以下通式：w其中其中( )(1),0,1,2,xxn xnP xCxn!()!nxCnx nx2/5/2022.113

7、.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w上式称为二项分布的概率函数。该式是牛顿上式称为二项分布的概率函数。该式是牛顿二项式展开后的第二项式展开后的第x + 1项，因而产生项，因而产生“二项二项分布分布”这一名称。因为这一名称。因为 +(1 )1，所以，所以 011nnxp x2/5/2022.123.1.1 二项分布的概率函数二项分布的概率函数 w将将x0,1,2,3，代入二项分布概率函数，可以得出：出现，代入二项分布概率函数，可以得出：出现0、1、2和和3只雄性动物的概率（只雄性动物的概率（ n = 10; x =0,1,2, 3; = 0.5）w P（0） 0.0009766 P

8、（1） 0.0097656w P（2） 0.0439453 P（3） 0.1171876w抽到抽到3只和只和3只以下雄性动物的概率为：只以下雄性动物的概率为：w F（3）=P(X3)P（0）P（1）P（2）P（3）0.1718751 xnxxnCxp)1 ()(2/5/2022.133.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数服从二项分布的随机变量的特征数 w总体平均数：总体平均数：n w以比率表示时以比率表示时: w总体方差：总体方差：2n （1 ）w以比率表示时以比率表示时: 21n2/5/2022.14二项分布二项分布 (用用Excel计算概率计算概率)w第第1步：步：进入Excel表格界

9、面，将鼠标停留在某一空白单元格w第第2步：步：在Excel表格界面中，直接点击“f(x)”(插入函数)命令 w第第3步：步：在复选框“函数分类函数分类”中点击“统计统计”选项，在“函数名函数名”w 中点击“BINOMDIST”选项，然后确定 w第第4步：步：在Number_s后填入试验成功次数(本例为3)w 在Trials后填入总试验次数(本例为10) w 在Probability_s后填入试验的成功概率(本例为0.5) w 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次w 数恰好等于指定数值的概率；填入1（或TRUE）表w 示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值 2/5

10、/2022.153.1.3 二项分布应用实例二项分布应用实例 w例例1 以杂合基因型以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，隐性纯合的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠子小鼠wvwv为母本杂交（为母本杂交（wv波浪毛，波浪毛，Wv直毛），直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选8只只的，多于的，多于8只和少于只和少于8只的都淘汰。利用下面的公式只的都淘汰。利用下面的公式或者或者Excel 可以计算直毛后代出现的概率：可以计算直毛后代出现的概率：w结果列在下表中：结果列在下表中： xnxxnCxp)1 ()(2/5/2022.163.1.3 二项分布应用实例二项

11、分布应用实例 直毛后代数直毛后代数 （x） 观测频数观测频数 （f） fx fx2 p(x) Np(x) 012345678 0124126520 01412483030140 01836192150180980 0.0039060.0312500.1093750.2187500.2734370.2187500.1093750.0312500.003906 0.1249921.0000003.5000007.0000008.7499847.0000003.5000001.0000000.124992 总数总数 N32 139 665 0.999999 31.99968 2/5/2022.173

12、.1.3 二项分布应用实例二项分布应用实例 w样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：差如下： 222221394.34375032184.0000002139665321.97479813112fxxNnfxfxNsNn2/5/2022.183.1.3 二项分布应用实例二项分布应用实例 w例例2 遗传学中单因子杂交遗传学中单因子杂交RRrr，F1代为代为Rr，F1自交，自交，F2基因型比符合二项分布。在基因型比符合二项分布。在F2中中P（R） 1/2，P（r）1 1/2，n2。展开二。展开二项式：项式： 22222111112112222211

13、1424RRRrrr2/5/2022.193.1.3 二项分布应用实例二项分布应用实例 w对于两对独立因子，对于两对独立因子，n4 434223411114222111116422222146411616161616 R, Yr, y4显显隐显隐隐隐显RRYY与与rryy杂交后，杂交后，F2代基代基因型因型RrYy。 F2自交：自交：2/5/2022.203.2 泊松分布泊松分布 w3.2.1 泊松分布的概率函数泊松分布的概率函数 w3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数服从泊松分布的随机变量的特征数w3.2.3 泊松分布应用实例泊松分布应用实例 2/5/2022.213.2.1 泊松分布

14、的概率函数泊松分布的概率函数 u泊松分布于泊松分布于1837年由法国数学家泊松年由法国数学家泊松(D.Poisson，1781-1840)首次提出，用于描述在一指定时间范围首次提出，用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布。次数的分布。u这个分布常与稀有事件相联系。这个分布常与稀有事件相联系。2/5/2022.223.2.1 泊松分布的概率函数泊松分布的概率函数 w泊松分布的例子：泊松分布的例子：一段时间（比如一段时间（比如1 1年）内，伤寒发烧的死亡人数年）内，伤寒发烧的死亡人数一定面积的培养基上，某种稀有细菌

15、出现的个数一定面积的培养基上，某种稀有细菌出现的个数显微镜视野内染色体有变异的细胞计数显微镜视野内染色体有变异的细胞计数由突变而引起的遗传病患者的分布由突变而引起的遗传病患者的分布田间小区内出现变异植株的计数田间小区内出现变异植株的计数作物种子内杂草的计数作物种子内杂草的计数单位容积的水或牛奶中细菌数目的分布单位容积的水或牛奶中细菌数目的分布 2/5/2022.233.2.1 泊松分布的概率函数泊松分布的概率函数 w在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（ 0），而样本含量又很大（），而样本含量又很大（n）时，二项分）时，二项分布就变成泊松分布了。布就变

16、成泊松分布了。w泊松分布的概率函数由二项分布推导获得，其概泊松分布的概率函数由二项分布推导获得，其概率函数公式为：率函数公式为： 。, 2 , 1 , 0,!)(xnpxexPx2/5/2022.243.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数服从泊松分布的随机变量的特征数 w泊松分布的总体平均数：泊松分布的总体平均数：w可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的函数中的。w泊松分布的总体方差：泊松分布的总体方差：2 w概率函数中的概率函数中的不但是它的平均数，而且是它不但是它的平均数，而且是它的方差。的方差。 2/5/2022.253.2.3 泊松分布

17、应用实例泊松分布应用实例 w例例1 在麦田中，平均每在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每有一株杂草，问每100m2麦麦田中，有田中，有0株、株、1株、株、2株、株、杂草的概率是多少？杂草的概率是多少？w解：解： 先求出每先求出每100m2麦田中，平均杂草数麦田中，平均杂草数w 100/10 10株株w将将代入泊松分布的概率分布函数中，代入泊松分布的概率分布函数中，w p(x) = 10 x/x!e10, w即可求出即可求出x 0，1，2， 时所相应的概率。时所相应的概率。2/5/2022.26泊松分布泊松分布 (用用Excel计算概率计算概率)w第第1步：步：进入进入Excel表格界面，将

18、鼠标停留在某一空白单元格表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格w第第2步：步：在在Excel表格界面中，直接点击表格界面中，直接点击“f(x)”(插入函数插入函数)命命令令 w第第3步：步：在复选框在复选框“函数分类函数分类”中点击中点击“统计统计”选项，并在选项，并在“函数名函数名”中点击中点击“POISSON ”选项，然后确定选项，然后确定 w第第4步：步：在在X后填入事件出现的次数后填入事件出现的次数(本例为本例为5) w 在在Means后填入泊松分布的均值后填入泊松分布的均值(本例为本例为10)w 在在Cumulative后填入后填入0(或或FALSE)，表示计算成功次，表示计算成功次w

19、 数恰好等于指定数值的概率数恰好等于指定数值的概率(填入填入1或或TRUE表示计算表示计算w 成功次数小于或等于指定数值的累积概率值成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)2/5/2022.273.2.3 泊松分布应用实例泊松分布应用实例 x p(x) xp(x) 5678910 0.06710.06310.09010.11260.12510.1251 1112131415 0.11370.09480.07290.05210.0835 2/5/2022.283.2.3 泊松分布应用实例泊松分布应用实例 w泊松分布在生物学研究中有广泛的应用：泊松分布在生物学研究中有广泛的应用：w在生物学研究中，

20、有许多小概率事件，其发生概率在生物学研究中，有许多小概率事件，其发生概率 往往往小于往小于0.1，甚至小于，甚至小于0.01，例如，两对交换率为，例如，两对交换率为0.1的连锁的连锁基因在基因在F2代出现纯合新个体的概率只有代出现纯合新个体的概率只有20.0520.0050；自花授粉植物出现天然异交或突变的概率往往小于自花授粉植物出现天然异交或突变的概率往往小于0.01；等等，对于这些小概率事件，都可以用泊松分布描述其概等等，对于这些小概率事件，都可以用泊松分布描述其概率分布，从而作出需要的频率预期。率分布，从而作出需要的频率预期。w由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布当由于泊松分布是

21、描述小概率事件的，因而二项分布当 0.1和和n 5时，可用泊松分布来近似表达。时，可用泊松分布来近似表达。 2/5/2022.293.4 正态分布正态分布 w3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数正态分布的密度函数和分布函数w3.4.2 标准正态分布标准正态分布 w3.4.3 利用正态分布表求正态分布的概率利用正态分布表求正态分布的概率w3.4.4 正态分布的单侧分位数正态分布的单侧分位数 2/5/2022.303.4 正态分布正态分布 由高斯由高斯C.F. (Gauss Carl Friedrich, 1777-1855)作为作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述误差相对频数分布的模型而

22、提出描述描述连续型随机变量连续型随机变量最重要的分布最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布例如：例如： 二项分布二项分布经典统计推断的基础经典统计推断的基础2/5/2022.313.4.1 正态分布的密度函数和分布函数正态分布的密度函数和分布函数221221( )e,2xf xxw = 正态随机变量正态随机变量x的平均值的平均值w = 正态随机变量正态随机变量x的方差的方差 w = 3.1415926; e = 2.71828wx = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )w以符号以符号N（,2

23、）表示平均数为表示平均数为，方差为，方差为2的的正态分布。正态分布。如：如：N (1,32)概率密度函数：概率密度函数：2/5/2022.323.4.1 正态分布的密度函数和分布函数正态分布的密度函数和分布函数 w 正态分布密度函数的图象称为正态曲线正态分布密度函数的图象称为正态曲线 2/5/2022.33正态分布函数的性质正态分布函数的性质图形是关于图形是关于x= 对称的钟形曲线，且峰值在对称的钟形曲线，且峰值在x= 处处均值均值 和标准差和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族

24、正态分布族” 均值均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的置；标准差决定曲线的“陡峭陡峭”或或“扁平扁平”程度程度。 越大，越大，正态曲线扁平；正态曲线扁平； 越小，正态曲线越高陡峭越小，正态曲线越高陡峭当当x x的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于积给

25、出，而且其曲线下的总面积等于1 2/5/2022.34 和 对正态曲线的影响xCAB=12/5/2022.353.4.1 正态分布的密度函数和分布函数正态分布的密度函数和分布函数 w随机变量的值落在任意区间（随机变量的值落在任意区间（a，b）内的概率）内的概率w累积分布函数累积分布函数 22212xbbaaP aXbfx dxedx 22212zxxF xP Xxf z dzedz2/5/2022.36正态分布的概率()( )d?baP axbf x x2/5/2022.37 22212zxxF xP Xxf z dzedzX=1.21累积分布函数累积分布函数2/5/2022.383.4.2

26、标准正态分布标准正态分布 1、均值为、均值为0，标准差为，标准差为1的正态分布，称为标准正的正态分布，称为标准正态分布态分布, 记为记为N(0, 1)。2、任何一个非标准正态分布，可通过下面的公式、任何一个非标准正态分布，可通过下面的公式（线性变换）转化为标准正态分布（线性变换）转化为标准正态分布) 1 , 0( NXu2/5/2022.393.4.2 标准正态分布标准正态分布 221221( )e,2xf xx 221,2uueu 2212vuuP Uuedv1令：xu2/5/2022.403.4.2 标准正态分布标准正态分布 w标准正态分布的分布曲线如下图标准正态分布的分布曲线如下图 =1

27、 =02/5/2022.413.4.3 正态分布概率的计算及正态分布表的查法正态分布概率的计算及正态分布表的查法 w为了简化计算，随机变量为了简化计算，随机变量(U)的值的值(u)落在落在区间区间(a, b)内的概率，根据标准正态累积内的概率，根据标准正态累积分布函数，已经把不同分布函数，已经把不同u值的值的(u)值列成值列成表表(附表附表2)，称为正态分布表。，称为正态分布表。2/5/2022.423.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w例例1: 求标准正态分布求标准正态分布N(0,1), u0.82及及u1.15时时的的(u)值值w解：解：(-0.82)0.20611w(1.

28、15)0.87493 2/5/2022.433.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w例例2 随机变量随机变量U服从正态分布服从正态分布N(0，1)，问，问随机变量的值落在随机变量的值落在0，1.21间的概率是多间的概率是多少？落在少？落在1.96，1.96间的概率是多少？间的概率是多少？2/5/2022.443.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w1) P(0Uu) = (1.21) (0) （与课本有差别）（与课本有差别）w = 0.88686 0.5000w =0.38686 2/5/2022.453.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w2) P(

29、-1.96u1.96) = 0.975-0.025 =0.95 2/5/2022.463.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w例例3 已知高粱品种已知高粱品种“三尺三三尺三”的株高的株高X服从正服从正态分布态分布N(156.2, 4.822)，求：，求：w 1) X164厘米的概率；厘米的概率；w 3) X在在156162厘米间的概率。厘米间的概率。非标准正态分布的概率值如何计算呢？非标准正态分布的概率值如何计算呢？2/5/2022.473.4.3 计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值w解：先将正态分布标准化解：先将正态分布标准化:6928. 01925. 08849. 0)87. 0()2 . 1 ()87. 02 . 1 ()82. 42 .15615282. 42 .156162(162(152305262. 09474. 01)62. 1(1)62. 1()82. 42 .156164()164(28431. 0) 1()82. 42 .156161()161(1uPUPXPuPuPuPXPupupXp）、2/5/2022.483.4.4 正态分布的临界值正态分布的临界值w根据附表根据附表2，可以求出不同，可以求出不同u值下的概率值。值下的概率值。w附表附表3（与附表（与附表2相反）给出了一