拉氏变换和反变换参考

1、2机电控制工程数学基础本章主要内容、大体要求、重点和难点主要内容(1)宣数及曾教表示方式，侵变函数概念。初等函数概念，复变函数的导数。其变函数积分，计算方式。(4)罗朗被数、留数定理。(5)拉氏变换概念、常常利用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。大体要求(1)了解宣变量的表示方式，复:变函数的概念，会计算留数。了解拉氏变换概念，并用概念求常常利用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。了解拉氏变换性质及其应用。(4)会用部份分式法，求拉氏反变换。重点：侵变函数表示方式；拉氏变换的概念；用拉氏变换的概念求常常利用函数的拉氏变换；拉氏变换性质及应用，用部份分式法求拉氏反变换。难点：(1)成立在位数域

2、描述一个函数的概念。而初学者适应于时刻函数。通过拉氏变换这一数学工具将时刻函数变成置域的函数，其长处是将微分方程变换为代数方程，使对系统的分析、综合方便。(2)拉氏变换性质的应用。学习本章时，一般了解复变函数概念，发数表示方式；了解拉氏变换概念及其性质的推导进程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。复变量及复变函数(1)复数的概念在学习初等代数时，已经明白在实数范围内，方程%2+1=0是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定r=-i从而j是方程/+1=0的一个根。对于任意二实数x,y咱们称z=x+/y为复数，其中x

3、,y别离称为z的实部和虚部，记x=&(z)y=Im(z)当x=0时，z=/y称为纯虚数;当y=0时，z=x+O),这时z就是实数。要注意复数与实数有一些不同，如:两个复数相等，必需它们的实部和虚部别高相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。(2)复数的代数运算两个复数Zi=%+力J?2=+。21)加减法的概念：(xl+jyl)±(x2+jy2)=(xi+x2)+j(yl±y2)2)乘法的概念(%+方X-+力2)=(项%2-%/2)+/(“2%+玉为)3)除法的概念设芍=X2+力2工。W+M芍+九石+及复数的运算和实数的情形一样，也知足互换律、结合律和分派律。4)共

4、轨复数实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共规复数，与Z共规的复数记作之o若是z=x+力则之=x_jyo(3)复数的几种表示法1)点表示法，由于任一复数Z=X+小与一对实数X.y成一一对应，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数z=x+/y能够用坐标为(x,y)的点来表示，这是一个常常利用的表示法，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或Z平面，如此，复数与复平面上的点成一一对应。2)向量表示法或极坐标表示法。向量表示法即用从坐标原点指向点(x,y)的向量表示，如图211所示。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作|z|=r=yjx1+y1在zWO的情形，向量与x轴的夹角。称为z的相

5、角.记作=6=或Argz=0x0角逆时针为正，顺时针为负。任何一个复数ZHO有无穷多个相角，若是是其中的一个，那么Argz=q+2成(A为任意整数)就给出了z的全数相角。在zWO的相角中，咱们把知足-丸V()iW/的0，称Argz的主值。3)三角表示法和指数表示法。复数的直角坐标与极坐标的关系如下：x=rcosO,y=rsin复数Z能够表示为Z=r(cos+JsinC)该式称为复数的三角表示法。再利用欧拉公式一,=cos8+/sin。,又可得Z=red=或者z=|z|exp(j)这种形式称为复数的指数表示法复数的各类表示法能够彼此转换，以适应不同问题时的讨论。例将2=-、/五-2/化为三角表示

6、式和指数表示式。解：r=|z|=-712+4=4八y-28tgO=x-V123由于z在第三象限，所以。=一2万6z的三角表示式是Z=4cos(-)+Jsin(-66=4(cos/r-jsin-7r)66z的指数表示式是一)二月Z=4e6例求复数z=一的实部、虚部、模值与相角。1+2)解：.，二-丛一"1+2)(l+2j)(l-2y)55,12R/z)=/w(z)=-20=tg-=2=-63.43°5(4)关于模与相角定理1)乘积：设有两个复数&，S=r«在ZZ2=八.®*'定理：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的相角等于它

7、们的相角的和。推论3Z2Z"=0"2"也一一2)商：设有两个复数Z1=用，z2=r2e,6'当ZiHO时，Zif复变函数的概念(1)复变函数的概念设G是一个复数z=x+iy的集合，若是有一个肯定的法则存在，依照这一法则，对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数卬=+"与之对应，那未称复变数w是复变数Z的函数简称复变函数，记作卬=/(z)(2)复变函数的极限极限运算法则:设lim/(z)=A和limg(z)=8,那么ZTQZTS1) lim/(z)±g(z)=lim/±limg(z)=A+B；ZTq:TJ:TJ2) lim

8、/g(z)=lim/(Z)limg=48；ZT“i><i)ZTZoHm/a3)当limg(z)wO时，山。八2=三=_oZf。isg(z)limg(z)B导数例求/(Z)=z2的导数解：因为/(z+Az)-/(z)(z+Az)2-Z2Inn=limztuAza。Az=lim(2z+也)=2z所以:=2z例问f(z)=J+2!是不是可导?解：这里11m/(z+Az)/-11m(x+Ax)+2()，+a，)/-x-2”Ax + 2Ayy二一0AzaoAz=lim设Z+也沿着平行于x轴的方向趋向于z(图2-1-2)因此)，=(),这时极限Ax+2A>yAxlim=lim=1*一。A

9、v+Ay/上WAx设Z+&沿着平行于y轴的方向趋向于Z,因此Ar=O。这时极限2:2Zkv+A>74To所以/(z)=，v+2田的导数不存在。(2)求导法则，由于复变函数中导数的概念与实变函数中导数的概念在形式上完全相同，而且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中的一样，因此实变函数中的求导法则在复变函数中也都完全相同，而且证法也是相同的。现将几个求导公式与法则罗列于下：1) (c)'=0,其中c为复常数。2) (z")'=z"L其中n为正整数。3) f(z)±g(z)=fXz)±gXz)-4) L/'(Z)gI=/

10、'(Z)g(Z)+/(Z)g'(Z)o5) =-g(Z)/'(Z)/(Z)g'(Z)，g(z)。Lgg6) /Lg(Z)B=f'(w)g'(z)，其中w=g(z)。解析函数和调和函数(1)解析函数的概念例/(z)=ex(cosy+ysiny)解：因为«=excosy,v=exsinydutduv.=ecosy,=-esinydxdy史="siny,史=/cosyox'dy“IK用OUdvdudv从上面可得：一=一，=-dxdydydx由于上面四个一阶偏导数都是持续的，所以f(z)在复平而上处处解析。几个初等函数的概念(

11、1)指数函数由/=e"，'=ex-ejv=e”(cosy+ysiny),所以卜1="Argez=y+2k7r(k=0,±l,±2,)/在复平而上解析，且(ezY=ez(参阅导数)襄是以2nj为周期的周期性，即=/e"用=e：(cos2ki+jsin2Arzr)=e:(式中=0,±l,±2,)加法定理ezeZ1="日例求卬=/+，的实部、虚部、模和相角。解：因为e"，=e(cosl+jsinl),所以R<e"j)=ecos/,“("j=esinl叫=eArg(eJ)=1+2

12、k冗(k=0,土l,±2,)主值arg(e,*7)=l例证明/=7证：因为"=e'(cosy+jsiny),所以ez=el(cosy-ysiny)=ex(cos(-y)+ysin(-y)=ex-iy=J(2)对数函数性质L(ZiQ)=Ln%+Lnz2Ln=Lnzx-L%但应注意，这些等式右端必需取适当的分支才能等于左端的某一分支。例求下列各式的值及其主值：1) L”(一1)2) L/?(-2+J)3) 1)=In-1|+;arg(-l)+j2k加=j(2k+1)(k=0,±1,±2,)加(-1)=In-1|+Jarg(-l)=j)2)L”(-2+

13、j)=/止2+j+jarg(-2+j)+j2k汽=InS+j(;r-arctg)+jlkn2=Inyl5+j(2k+1)乃-arctg；(k=0,±l,±2,)。(-2+j)=h忑+j(/r-arctg：)乙(3)索函数性质/z©(zwo,%,%是复常数)Z°的每一单值分支在相应的Lnz的解析域内也解析，且(/)，=(6吗=1.4=叱7Z按。取值又可分成如下几种情形：a.当a=，n是正整数时，w=Z”是复平面上的单值解析函数。1 .,1b.当仁=,n是正整数时，卬=z"包括n个单值分支，即n-inzL/>i|:|+jargw+j2女开)z

14、=Cn=C11IJ/arg+2k.argz+2k/r=zn(cos+jsinnn(k=0,12，-1)nV1c.当2=,n是正整数，m是整数时，仍包括n个单值分支，即nmnt/|-mz、"?/、Zn=Zcos(argz+2A4)+/sin(argz+2攵4)I“JJ(k=0,l,2,1)d.当a是无理数或虚数时，W=Z°包括无穷多个单值分支(4)三角函数三角函数的性质sinz和cosz在复平上解析，且(亦_6一五1(sinz)'=I2/_ejz+e/z2=COSZ(cosz)'=-sinz周期性fin(z+25=sinzcos(z+2Att)=coszg式/

15、用以卜in(-z)=-sinz奇偶性<cosQz)=coszm加法定理shiQi土Z2)=sinZcos?土coszisin4cos(z,±z2)=cosZcosz2+sinz,sinz2平方关系sinJkf(z)dz = kJ于(z)dz , k 为常数。 ccJV(z) ± g 依=J f(z)dz ± J g(z)dz积分的计算1)化为两个二元实函数的线积分，即J / 改=- v6/y+ jJ vdx+ udy2)化为对实参量的定积分设曲线 C： x = x(f), ")， (aWtWb)则 z(f) = x(t) + jy(t),a <

16、;t <bjy(z)以=fz(f)z'(/)，其中 z'«) =，Q) +力'(f)例计算Jz"z，其中c为从原点到点3+4j的直线段，如图a所示。解：直线的方程可写作z+cos2z=1注意：sinz不口cosz的模能够大于1，例如:I.1/+e|cosz|=->1只要Z的虚部足够大，sinz,cosz的模能够大于任何正数，也就是说，yfs时，卜inz|和|cosz|越趋于无穷大。复变函数积分概念及计算积分存在的条件若/(z)=(x,y)+川(x,y)在滑腻的简单曲线C上持续，则/(z)沿C的积分存在,/或=/(+jv)(dx+jdy)=

17、udx-vdy+jvdx+udy所以复变函数的积分相当于两个实变函数的线积分。性质。与实变函数中定积分的性质类似.1)2)3)CJx=3，,y=4f,OWtWl或z=3f+/4f,OWtWl在C上,z=3f+/4r,"z=(3+/4).,，于是J/z=73+4力2/力=（3+4力2|=，（3+4力2co（）2例求市/z。其中c是从1至Uj的直线段。如图b所示。解：因为C的直线方程为x=lT,y=f,OWtWl即z=(l-r)+jt,又dz,=(-l+j)df,z=jt所以彳以=(1一)一%(一1+力，(iz(z -z。)向=f(2/_+j),=(/+/"：=j其中C为以Zo

18、为中心，r为半径的正向（逆时针方向）圆周，n为整数如图c所示。y解：圆的参数方程为x=a+rcosO,0<0<2tty=b+rsinO因此圆的复数方程为Z=a+rcosO+j(b+rsin0),=a+jb+r(cos0+jsin6)=z0+re”Zo>2-id2k2所以f-=f-do=fJdeJeedO!(Z-Zo严疑"rnif2开当n=0时，=jie=2可cz-z°o当田。时' g音产.2开所以r de!(1Zo 严那个结果以后常常要用到，应记住,例求积分，二二一，此处C是不包围Zo点的任一闭曲线。 c Z -解：设2。=%+力0,则积分为/ d

19、Z _j"(Z-Zo)!z-Zo ! ”Zo仇( - A + /U-yo)c (x-x0) + j(y-y0)=,(X-Xo)4(x- Xo) +(3 - %)”(>一 %) (工一丁尸+ - %)2£ (x-x0 )d(y -)" ) + (y-y0 )"(x - ”) + Jf;：(x-5+()1 厂利用高等数学中格林公式可求得此积分为零。柯西定理例求下列积分的值：1 f sinz , 小/ 12 、，0 f 此：2) (一- + -)dz2刃启 z"4 z + 1 z-3解：1）由/（Zo）= ： f ,（）"z 式可知:

20、/= sinz , Z0 =。2刃，Z - ZO/(Zo) = sin(z(>) = sinO = O=4|(cos/70-jsinn3)d0=0ro所以I2叫工= sin(z() = 0 z2)按照积分性质(W+z 3)dz=S"+I""=2用"1+2万2=6可1中4l：l=4z+1"3台劳级数和罗朗级数例计算积分，字产，C为正向圆周：lzl=2.76、解：由于f(z)=r有两个极点+1,-1,而这两个极点都在圆周lzl=2内，所以Z-1=2/Res"(z)+Re，一1，Res/(z),l=lim(z-1)4=lim=-Z1Z

21、-13Z+12771ze7geRes"(z)1=UmU+D-=山”2=ilZ、1Z-Tz-I2例计算积分为正向圆周：心。解：z=0为被枳函数的一阶极点，z=l为二阶极点，而Res/(z)0=lim7=lim-r=1一。Z(Z1)2x(zl)2Res",1=-7二则；(z-(2-1)5dzrd/(z-1)=lun()=lim；=0dz,ZJ(所以&=2可Res"(z)O+Res"(z)J=2可(1+0)=2可拉氏变换的概念及常常利用函数的拉氏变换拉普拉斯变换的概念设函数f概念在实轴上，假定它知足下列三个条件：当tvO时，f(t)=O：当住0时，f在

22、任何有界区间上最多只有有限个中断点，即f在任何有界区间上可积;当1+8时，f具有有限增加性，即存在常数M>0及a20,使得OWt上述条件称为狄利赫利条件，知足狄利赫利条件的函数f的拉普拉斯变换为X尸=L/(f)=j7(f)df0其中s=cr+为复数。F(s)称为f的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。常常利用函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数为1r>0(，)=0t<0按照拉普拉斯变换的概念，单位阶跃函数的拉普拉斯变换为Fs=41(r)=J=jedt(6>0)(2)单位脉冲函数的拉普拉斯变换单位脉冲函数为/，)=按照拉普拉斯变换的概念，单位脉

23、冲函数的拉普拉斯变换为fs=J6h=j6(廿出+J5(r)e-，=J5=1(3)单位斜坡函数的拉普拉斯变换单位斜坡函数为(1) =40r<0t t>0按照拉普拉斯变换的概念，单位斜坡函数的拉普拉斯变换为Fs=Lt=jte-x,dt=-1”+，=Re(5)>00S0S0S(4)位抛物线函数的拉普拉斯变换单位抛物线函数为0，<0=1年012按照拉普拉斯变换的概念，单位抛物线函数的拉普拉斯变换为项=层门=jres!dt=3凡>02J2s(5)指数函数的拉普拉斯变换指数函数：for<0M(0=U0按照拉普拉斯变换的概念，指数函数广"的拉普拉斯变换为

24、7;/卜=Le，l!=Je'l"-e"dt081X1f-<a+s"i,1)/1=eat=e=Js+a0s+a同理可得Fs=leat=(6)基函数的拉普拉斯变换。Re（5）>0拉氏变换的性质(1)线性性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和登加性。拉氏变换的齐次性是：一个时刻函数乘以常数时，其拉氏变换为该时刻函数的拉氏变换乘以该常数。若Lf(t)=F(s)则Lkf(t)=kF(s)其中攵为常数。拉氏变换的叠加性是：两个时刻函数力与力。）之和/的拉氏变换等于力、f2（t）的拉氏变换"（$）、尸2（$）之和。即4/1(0=(5)：Lf2(t)=

25、F2(s)则4/(o=+%=G(s)+心例求cosot及sind的拉氏变换。解：按照欧拉公式""=cos6X+ysinyr=cosa)t-jsincot则coscot=(eJC，Jt+©-"x)2sincot=eJCX-)j2又按照拉普拉斯变换的线性性质，有Z,cosdx=；+；乙e""leiat1=1,/Ji=i-LJ(s-/&)LJS+jCO所以小。s.=-，+，=(""+(5一。)=2(5一jc。)2(5+jco)2(s-+)u+cr-Err.11111ilcoCO同理Lisin6x1=一一=；-=-

26、J2(s-/g)J2(s+jcd)/2($-+3-)u+3-F(5)= y/(0=l_l_2s(s + 2)例已知/。）=1一6-，求/的拉氏变换。解：应用线性性质，则（2）微分性侦若4。=尸co,则L1/(Z)=)-/(0)例已知/«）=/，加为整数，求/的拉氏变换。解：由于/(0)=广(0)=(0)=0,且=?!，由拉氏变换微分性质得4/叫“=婢4/(川，又因力叫川=l加卜加/s故Lf(t)=4/，m，("/产=/M/S*(3)积分性质若“/(川=尸，则L|Jf(t)dt=F(s)/s+Jf(t)dt/s例已知/«)=JsinK力，k为实数，求/的拉氏变换。解

27、：按照拉氏变换的枳分性质得=sinktdt=-LsinAr/(4)延迟性质如图2-4-1所示，原函数沿时刻轴平移t,平移后的函数为f(LT)。该函数知足下述条件tvO时，f=0t<T时，f(HT)=0若Lf(t)=F(s),则Lf(t-T)=eSTF(s),(r>0)例求函数W(r-r)=°5的拉氏变换。1,t>T解：由延迟性质得：Li(t-T)=esTL(t)=exr/s(5)位移性质若L/(0=尸(s),则3/=F(s+a)例求不"sinGf的拉氏变换。解：因为 Lsina)t = -(°_7s. +“CD(5 + i/)2 +C02例求下面

28、各图所示函数的拉氏变换。图 243图 24一2解：图2-4-2可表示成如下时刻函数:“)=/1«) + 却7)一.一27)一2.1"37)利用延迟性质，求得f(t)的拉氏变换为-27S1 八_37k图24一3三角波可表示为48T4/(')=_Tf_T(_)+_T('一7)T2利用延迟性质，求得f的拉氏变换为尸(5) =4.L7.(1一2。2+/5)1-s(6)时刻尺度性质若/(，)=b(s),则a>0(7)初值定理若Lf(t)=F(s),且limsF")存在，则STR/(O)=limf(t)=limsF(s)Z>0'$T8(8)

29、终值定理若Lf(t)=F(s),且liinf(t)存在，则r-/(oc)=liinf(t)=limsF(s)例已知F(s)=，求f(0)和f(8).s+a解：由初值定理和终值定理可得f(0)=limsF(s)=lim5=1is5+a/(x)=limsF(s)=lims=0iods+a例已知F(s)=、，求f(0)和f(8)。s-+(r解：由初值定理得s-85-+a-由于s=±"，是s/(s)的奇点，位于虚轴上，不能应用终值定理，既/(s)不存在。例(1)拉氏变换的数学表达式为()o8888Jfitydt：/(母一曲由：fktyldt：(4)J/”,-“力。-Xoc00答：。

30、54-1(2)已知误差函数E(s=一,则由终值定理可知其稳固误差s(s+2s+1)exx=lime(f)=()。1：8；0。答:=lim e(t) = lim s 十1=1， D s(s-+2s + l)所以选择O(3)已知函数/(f)=2-b3的拉氏变换为()e、2I尸2121'111 r：一一一:-r：+oS(5+5)*s5-s(s5厂SS+5答：依据线性性质和位移性质选择.(4)图244所示函数的拉氏变换为()。0 tt图2T42；小；%，SSSS答：因为x(f)=(，=)，依据延迟性质，X(r)的拉氏变换为一0所以选择.(5)已知/(s) = 其原函数/'(f)为(&q

31、uot;+45 + 5)o sin / ： /'sin，： e"' sin2r ： e2r cost。答：由于/（$） = =L一，其原函数为sin，所以选择。 s1 2+4s + 5 （s + 2）2+1拉氏反变换0拉氏反变换的概念部份分式法5 4-3例已知 F（5）=，求 /（/） = ?1r + 3s+ 2解：因。（5）= 1+35 + 2 =（5 + 1）（5 + 2）,5 = -1和5 = -2是尸（5）的一阶极点，可得式中s+3, 八G =(s +1)(5+ 1)(5+ 2)房=2f=-l=-1 5=-2所以 /。)= 2广, 一厂” (r > 0) O例求尸(s) =的原函数。s(s + 2)3(s + 3)解：尸=丛+缶+碧+口鼻Cu=F(5)(5 + 2)3s(s + 3)q噢必）（"2）i=幺看一(25 + 3).S?(S +3) 一15万s(s + 3)L1 d -(25 + 3)2! ds s2(s + 3)2a=/(s)M0=5=-.(s+2)3(s+3)i24C +