第八章-向量值函数的曲线积分与曲面积分(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上8.5 场论简介8.5.1 向量场的散度1沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件对于曲面积分在怎样的条件下与曲面无关而只取决于的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分为零？对空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G是空间二维单连通区域；如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称G是空间一维单连通区域.定理2 设G是空间二二维单连通区域，在G内具有一阶连续偏导数，则曲面积分在G内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线（或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是（4）在G内恒成立.证 类似于第三节第二目的证明.2. 通量与散

2、度设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由给出，其中假定具有一阶连续偏导数，是速度场中的一片有向曲面，又是在点处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示：其中表示流体的速度向量在有向曲面的法向量上的投影.如果是高斯公式（1）中闭区域的边界曲面的外测，那么公式（1）的右侧可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开的同时，内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.为简便起见，把高斯公式（1）改

3、写成以闭区域的体积V除上式两端，得 上式左端表示内的源头在单位时间内所产生的流体质量的平均值。应用积分中值定理于上式左端，得，这里是内的某个点.令缩向一点，取上式的极限，得上式左端称为v在点M的散度，记作，即在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度在单位时间内所产生的流体质量.如果为负，表示点M处流体在消失.一般地，设某向量场由给出，其中具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点处的单位法向量，则叫做向量场通过曲面向着指定侧的通量（或流量），而叫做向量场的散度，记作，即高斯公式现在可以写成，其中是空间闭区域的边界曲面，而是向量在曲面的外测法向量上的投影.例1 设向量场A(x,

4、 y, z)=(xy, y, xz)，求A(x, y, z)在点(0, 1, 0)处的散度divA。解 这里P= xy, Q=y, R=xzdivA=于是div8.5.2 向量场的旋度1空间曲线积分与路径无关的条件定理2 设空间区域G是一维单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是（5）在G内恒成立.证 略定理3 设区域G是空间一维单连通区域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则表达式在G内成为某一函数的全微分的充分必要条件是等式（5）在G内恒成立；当条件（5）满足时，这函数（不计一常数之差）可用下式求出： （6）或用

5、定积分表示为（按图1029取积分路径）（6）其中为G内某一定点，点2. 环流量与旋度设斯托克斯公式中的有向曲面在点处的单位法向量为而的正向边界曲线在点处的单位切向量为则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为（7）设有向量场在坐标轴上的投影分别为的向量叫做向量场的旋度，记作，即.（8）现在，斯托克斯公式可写成向量的形式，或，（9）其中为在的法向量上的投影，而为向量在的切向量上的投影.沿有向闭曲线的曲线积分 叫做向量场沿有向闭曲面的环流量.斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量,这里的正向与的侧应符合右手规则.为便于记忆，

6、的表达式（8）可利用行列式记号形式地表示为.作业 2，4（2）（4），6习题课1计算曲线积分，其中L是圆周.解 利用L的极坐标方程被积函数，于是 图820例 2 计算，其中L是圆周.解 利用曲线积分的性质，得对于，因为积分曲线L是关于y轴对称的，被积函数是L上关于的奇函数，所以0.对于，因为积分曲线L是关于轴也是对称的，被积函数是L上关于y的奇函数，所以0.综上所述，得0.关于对称性的一般法则设函数在一条光滑（或分段光滑）的曲线L上连续，L关于y轴（或x轴）对称，则（1）当是L上关于x（或y）的奇函数时，；（2）当是L上关于x（或y）的偶函数时，其中曲线是曲线L落在y（或x）轴一侧的部分。例3

7、 计算，其中为，取逆时针方向.解 积分路径如图821，利用对称性。将原式分成两部分，即第一个积分，曲线关于轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被积函数是y的偶函数。第二个积分，曲线关于轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图821分的走向相反(前者，后者)，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即0上述结论再一般情况下也成立.对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，（1）若（即为的偶函数），则；（2）若（即为的奇函数），则 ，其中为L的上半平面的部分.类似地，对的讨论也有相应的结论.例4

8、设，在光滑的有向曲线上连续，L为曲线弧的弧长，而，证明证 由两类曲线积分的联系和性质，有例5 求面密度为常数的均匀抛物面壳的重心坐标.解 由抛物面的对称性和均匀性知，重心坐标中，下面求坐标.抛物面在xOy平面上的投影区域为，故有所以重心坐标为例6 计算其中是锥面被平面和所截得的部分的下侧.解 在计算时，可分为两块，即前面一块和后面一块，在yOz平面上的投影为正，在yOz平面上的投影为负，其投影区域相同.见图922.故图822在计算时，可分为两块，即右面一块和左面一块，在zOx平面上的投影为正，在zOx平面上的投影为负，其投影区域相同.故在计算时，注意被积函数中，在xOy平面上的投影为负，投影区

9、域可用极坐标表示为，故例7 计算，其中是平面在第一卦限部分的上侧.解 因为取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是 ，则有.计算。的方程为，其在xOy平面的投影区域：，又曲面的面积元素所以 例8 计算，其中L是从点到点的上半圆弧，为常数.解 我们补一条直线，得闭曲线，从而可以是呀格林公式 图823其中为半圆又 ，故例9 计算，其中为任一不经过原点的闭曲面的外测.解 因为，所以（1）当不包围原点时，由高斯公式即得0。（2）当包围原点时，取的外测，由高斯公式，得。而即 例10 计算，其中，是锥面 在xOy平面上方的部分，n是的上侧的单位法向量.解 曲面与xOy平面的交线（即其边界）为，并取为逆时针方向.由斯托克斯公式，知，在和所围成的平面上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式，得，其中 例11 设函数有连