一阶方程的形式ppt课件

1、一阶方程的方式一阶方程的方式下面引见几种特殊类型的一阶方程的解法。下面引见几种特殊类型的一阶方程的解法。2 几类一阶方程的解法几类一阶方程的解法 ),(yxfdxdy 0),(),( dyyxQdxyxP或或一一. .可分别变量的方程可分别变量的方程(1) )()(yhxgdxdy 解法解法: : 分别变量分别变量dxxgyhdy)()( dxxgyhdy)()(两边积分两边积分 )(yH这就是方程这就是方程1 1的通解的通解. .即即为恣意常数为恣意常数.C)(xGC ydy例例1 1 求求 解：解：. 2的通解的通解xydxdy 分别变量分别变量两边积分两边积分 ydy ln y y yx

2、dx2 xdx212Cx 12Cxe 12 Cxe 任任意意CC eyx , 2 2 xeC 21 xCee 所求通解为：所求通解为：12 Cxey 1 CeC 这这里里这就是所求的通解。这就是所求的通解。xdxydy2 xdxydy2yln2 xeCy 简化解法：简化解法：分别变量分别变量两边积分两边积分 2xydxdy 2 x Cln 为恣意常数为恣意常数.C,假设在积分过程中，左端的原函数出现假设在积分过程中，左端的原函数出现有对数函数时，真数普通可以不加绝对有对数函数时，真数普通可以不加绝对值值, ,恣意常数也写为恣意常数也写为 , ,这样便于简化结果这样便于简化结果. .Cln阐明：

3、阐明：例例2 2 求方程求方程满足初始条件满足初始条件0)1(2 dyxxydx的特解。的特解。10 xy解解0)1(2 dyxxydx的通解。的通解。xydxdyx )1(2dxxxydy12 dxxxydy12yln先求先求 )1ln(212 xCln 12 xCy10 xy11 C1 C所求特解为：所求特解为：112 xy任意任意，C即即这就是这就是0)1(2 dyxxydx的通解。的通解。例例3 3 求求的通解。的通解。3122yyxy 解解yxyy2231 yxydxdy2231 2231xdxyydy 2231xdxyydy21221y 03112 Cxy这就是所求的通解。这就是所

4、求的通解。隐式通解或通积分隐式通解或通积分Cx 31 二二. . 齐次方程或齐零次方程齐次方程或齐零次方程方式方式 ：)(xydxdy 作换元，令作换元，令xyu xuy 从而从而 dxdy方程方程2 2变为：变为：)(udxduxu 解法解法: :(2)(2) udxdux求出它的通解，求出它的通解，xyu 代入，代入，即即xuudxdu )( 这是可分别变量的方程，这是可分别变量的方程，我们会求其解。我们会求其解。再将再将即得方程即得方程2的通解。的通解。例例4 4 解方程解方程先化为规范方式先化为规范方式dxdyxydxdyxy 2222)(ydxdyxxy 22xxyydxdy 解解即

5、即1)(2 xyxydxdy这是齐次方程。这是齐次方程。1)(2 xyxy令令xyu xuy 从而从而dxduxudxdy 这样，原方程变为：这样，原方程变为：12 uudxduxu1 uudxduxxuudxdu11 这是可分别变量的方程这是可分别变量的方程xuudxdu11 dxxduuu11 dxxduuu11 uulnCuxulnlnln Cuuxln)ln( xyu Cxyylnln 1 xyeCy 这就是所求的通解。这就是所求的通解。即即任意任意C,xlnCln 给了一阶方程给了一阶方程问题：问题：假设对恣意实数假设对恣意实数),(),(yxftytxf 答：答：都有都有, t成立

6、成立,怎样判别它能否为齐次方程？怎样判别它能否为齐次方程？ ),(yxfdxdy ,那么它是齐次方程。那么它是齐次方程。课堂练习：课堂练习：ydxdy2)1( yxedxdy )2(241)3(xyy )21()21()4(22yxxydxdy yxyxdxdy )5(03)2( )6(22 xydydxyx求以下微分方程的通解：求以下微分方程的通解：课堂练习答案：课堂练习答案：. , )1(2任意任意CCeyx . , )ln( )2(任任意意CCeyx . , )3(2arctan21任意任意CCeyx . , )4(22任任意意CCxeyyx . , ln)1ln(21arctan )5(22任任意意CCxxyxy . ,