平面向量的数量积的运算律

1、平面向量的数量积的运算律要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件.?教学重点：运算律.?教学难点：运算律的理解?教学方法：启发式.?教学过程：、复习引入1. 平面向量数量积(内积)的定义及其几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.T 2 2性质：1、a b a b = 0。2、a a2. 判断下列各题正确与否：1若a= 0，则对任一向量 b,有a b = 0.(V)2若a0,则对任一非零向量 b，有ab0.(x)3 若 a 0, a b = 0,贝U b = 0.( x )4若ab = 0，贝U a、b至少有一个为零.(x)5 若 a0, a

2、b = ac,贝U b = c.(x)6若a b = ac,贝U b = c当且仅当a 0时成立.(x )7 对任意向量 a、b、c,有(a b) c a(bc).( x )8对任意向量a，有a2 = |a|2.( V )、新课讲解1. 交换律：a b = b a证：设 a, b 夹角为 ，则 a b = |a|b|cos , b a = |b|a|cos a b = b a2. ( a) b = (a b) = a ( b)证：若 > 0, ( a) b = |a|b|cos ,(a b) = |a|b|cos ,a ( b) = |a|b|cos ,若 < 0, ( a) b

3、=| a|b|cos()=(a b) = |a|b|cos ,a ( b) =|a| b|cos( )=3. (a + b) c = a c + b c在平面内取一点 0,作OA = a, AB = b,/ a + b （即OB ）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2|a|b|( cos ) = |a|b|cos ,|a|b|( cos ) = |a|b|cos。 c (a + b) = c a + c b即：(a + b) c = a c + b c'I c | |a + b| cos =|c| |a

4、| cos 1 + |c| |b| cos 2三、例题分析r|-i|22rI例1、已知：a 2,3,a与b勺夹角为1200,求ab .（2） a解：（1） 2千2ab->2 a 2b4 95(2)a b:ab)2需2 2ab b2 J 2 a2Ela'b cos 2 b例2、已知a、b都是非零向量，且 a 3b与 7a 5b垂直,a 4b与 7a 2b垂直，求a、b的夹角.解：由(a + 3b)(7a 5b) = 07a2 + 16a b 15b2 = 0(a 4b)(7a 2b) = 07a2 30a b + 8b2 = 0a bb21则 cos =|a|b|2|b|22例3、

5、已知:向量a、b不共线，且2a两式相减：2a b = b2 代入或得:a2 = b2设a、b的夹角为，=60.b a 2b,求证:(a b) (a b).解： 2a b a 2b,(2a b)2 (a 2b)22 - 2 4a 4ab b a4ab 4b , a b 2 2(a b) (a b) a b0,又a与b不共线,a b 0,a b 0(a b) (a b).例4、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：AtBCD 中: ABDC,ADBC ,AC=ABADAD |2. 2. 2 .DC| AC |2=| ABABAD2ABAD八而BD=ABADJAD |222AB| BD |2=| ABABAD2AB