传染病模型SISIRSIS

1、数学模型实验一实验报告10学院：专业：姓名：学号：实验时间：实验地点：、实验项目：传染病模型求解、实验目的和要求a. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种 3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一（模型）：(1) 模型假设1. 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群

2、分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s( t )和i (t )。2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数a, a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。(2) 建立模型根据假设，每个病人每天可使(t)个健康人变成病人，t时刻病人数为(t)，所以每天共有(t)i ( t) 个健康者被感染，即病人的增加率为：又因为s( t)(t) =1再记时刻0时病人的比例为i0则建立好的模型为：diai (1-i)dti(0)0(3) 模型求解(代码、计算结果或输出结果)a i t i0 % a:日接触率，i :病人比例，s :健康人比例，i0 :病人比例在0时的值('*i

3、*(1)','i(0)0','t');(i,0,0.3,0.02);(y，0,100)2(i)；0:0.01:1;0.3*i.*(1);()e AUST IL itu iriEcn jjdim LLtsKtcipILitapwfl-S-L'PAG呂1 1百B Q0.9o.a070.60.50.40.30.2O'001020304090B0706090-01模型的曲线模型的曲线（4）结果分析由上图可知，在0:1内，总是增大的，且在 0.5时，取到最大值，即在 时，所有人都将患病。模型上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假

4、设，建立模型二（模型）（1）(2)假设条件1.2与模型相同;3. 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 健康者。显然u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的 是平均传染期。(2)模型建立病人的增加率:且 i (t)(t)=1 ；则有:(1)模型假设在此定义，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：di匸_1/k)i(0)0；(3)(4)模型求解(代码、计算结果或输出结果)>> a i u t i0 % a:日接触率，i :病人比例，u :日治愈率，i0:病人比例在0时的值>> ('*i*(1)*i',&#

5、39;i(0)0','t')%求用u表示的i t解析式>> k% k:接触数>> ；>> ('*i*i*(1-1)','i(0)0','t')%求用k表示的i t解析式% 给 k、a、i0指定特殊值,作出相关图像>> (i,0,2,0.3,0.02);%k>1的情况，以2为例>> (y,0,100)>> %作it图，分析随时间t的增加,i的变化>> ('1')>>('k>1 本例中 2'

6、;)>>>> 2(i);>> 0:0.01:1;>> 0.3*i.*1/2;>> ()%作一i的图像>> ('1-1, 在此图中为0.5')>> (i,0,0.8,0.3,0.02);k<1的情况，以0.8为例>> (y,o,ioo)%作i t图，分析随时间t增加，i的变化>> ('k<1 本例中 0.8')>>>> 2(i);>> 0:0.01:1;>> 0.3*i.*(1-1/0.8);>

7、;> ()作一i的图像>> ('0.8')>> ('k<=1 时的情况)模型的一i曲线（k>1）模型的i 一t曲线（k>1）模型的一i曲线(k<1)模型的i t曲线(k<1)(4)结果分析不难看出，接触数1是一个阈值，当k>1时，i (t )的增减性取决于i0的大小，但其极限值0,这是由于传染期i( a)=1-1随k的增加而增加；当 k<=1时，病人比例i (t )越来越小，最终趋于内经有效解除从而使健康者变为的病人数不超过原来病人数的缘故。模型三.模型(1) 模型假设1.2.总人数N不变，人群分为

8、健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称模型。时刻t三类人在总人数 N中占得比例分别记作s(t)，唯)和r(t)。3.4.病人的日接触率为1，日治愈率为(与模型相同)，传染期接触数为(2) 模型建立由假设1显然有s(t) i(t) r(t) =1(1)对于病愈免疫的移出者而言应有dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨设移出者的初始值 r0=0 ),则模型的方程可以写作 = Ksi Pi,i(O) =t0 dtds .(3)'si, s(0) = so dt(3) 模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:",0.3,i(0

9、) =0.02,s(0)=0.98，用软件编程:(t，x)10.3;a*x(1)*x (2)*x(1), *x(1)*x(2)'0:50;x0=0.02,0.98;45('i11'0);(:,1)(:,2)(x(:,2)(:,1)表1i(t),s(t)的数值计算结果2345678i(t)°.°2°°0.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530

10、354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398i(t),s(t)的图形s图形(相轨线)(4) 结果分析i(t)，s(t)的图形见左图，is的图形见右图，称为相轨线，随着t的增加，(s，i)沿轨线自右向左运动。 由上图结合表1可知，i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少，：=，t ' °s(t)则单调减少 t ，s ' O.0398。进行相轨线分析，可得：si平面称为相平面

11、，相轨线在相平面上的定义域(s,i) D为D =( s,t) | s _°,i _°,s i 汨在方程(3)中消去dt，并注意到二的定义，可得di 1,1 .dt 兀，i|sn°_i0( 4)容易求出它的解为i =(s° i°) -s 丄 In 主°( 5)在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1.不论初始条件So,io如何，病人终将消失，即(6)i ： - 0空0虫0其证明如下，首先，由（3），dt 而s（t）K0故存在；由（2），dt ，而r（t）兰1，故G存在,再由（1），对于充分大的t有dt 2，这将导致，与 G存在相矛盾。2

12、.最终未被感染的健康者的比例是S：，在（5）式中令i 得到，是方程S0 i° s： 2|n 乞=0口S0（ 7）在（0,1/匚）内的根。在图形上，S：:是相轨线与s轴在（0,1/匚）内交点的横坐标。3.若$ /二，则i（t）先增加，当s=1/二时，i（t）达到最大值1i ：- f i°（1 l n y）a（ 8）然后i（t）减小且趋近于0，s（t）则单调减小至S：:。4.若色咗1/二，则i（t）单调减少至0，s（t）单调减少至s：:。如果仅当病人比例i（t）有一段增长的时期才 认为传染病在蔓延，那么“二是一个阈值，当（即匚1/s0）时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数即提高阈值12，使得s0兰（即° -1/s0），传染病就不会蔓延（健康者比例的 初始值s。是一定的，通常可认为 s。接近1）。并且，即使s。1/CF，从（7），（ 8）式可以看出，b减少时，H增加（通过作图分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我们注意到，在二二'/ A中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率 "越大，于是二越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，二s = '