汽车振动学第二章

1、第二章 单自由度系统的振动2.1 单自由度振动系统 单自由度振动系统指的是在振动过程中，振系的任一瞬间形态由一个坐标即可确定的系统。m2.1.1 等效刚度刚度k的定义 使系统的某点沿指定方向产生单位位移时，在改点同一方向上所要施加的力，就称为系统在该点沿指定方向的刚度。xFk 弹性元件为等截面直圆杆，质量忽略不计，在杆上不同截面处的刚度均不相同。下端D点在力作用下的伸长变形为 拉压刚度为B点截面沿水平方向的弯曲挠度为 弯曲刚度为C点截面处绕纵轴线的扭转角为 扭转刚度为EAQlxD33lEAxQkDD313lEJfPkBBEJPlfB331ptCGJlM22lGJMkpCtC组合弹簧系统的等效刚

2、度2.1.1 等效刚度用能量法确定等效刚度 实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等2.1.1 等效刚度221xkUUeea例题2.1 如图所示弹簧-质量振动系统，滑轮与绳索之间无相对滑动，滑轮对其中心的转动惯量为J，其半径为r，绳索上还有一个作上下振动的质量m，若选取滑轮的角位移作为系统的运动坐标，求系统的等效刚度ke例题2.2 如图所示振系，水平刚杆的质量不计，在它的左端有一个固定铰支座，质量和弹簧在杆上的分布如图所示，将振系简化为C处的单自由度振系，求振系的等效刚度ke例题2.3 两轴平行、速比为i的齿轮传动机构，齿轮的转动惯量可忽略不计。轴的刚度为k1，转角为1，轴的刚度为

3、k2 ，转角为2，定义速比i= ，求轴向轴转化的单轴振系的等效刚度。212.1.2 等效质量保持动能在等效前后不变 例题2.4 如图，除质量块m的质量外，还要考虑到弹簧k的本身质量的影响，假设该弹簧单位长度的质量为常量，弹簧长度为L，求一个与之等效的单自由度振系的等效质量me例题2.5 如图（a），发动机配气机构中，摇臂AB的转动惯量为J，气门的质量为mv,弹簧的质量为ms，不计挺杆的质量和变形，试求简化为（b）所示等效系统在A点的等效质量。2.1.3 等效粘性阻尼等效粘性阻尼系数)sin(tXx)cos(tXx粘性阻尼力为)cos(tcXxcFc粘性阻尼在振动的一周期内所作的功为222202

4、0)(cosXcdttcXdtxFWcTc等效粘性阻尼在一个周期内所做的功等于非粘性阻尼所作的功wddewXc22Xwcde例题2.7 试求如图所示干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数。mxl 牛顿第二定律建立力学模型取隔离体进行受力分析应用牛顿第二定律2.1.4 振动微分方程方程，可由此建立振动微分常数对振动系统：势能：动能；0)(UTdtdUTUT2.1.4 振动微分方程l 能量法例题2.11 半径为r，重力为mg的圆柱体在半径为R的圆柱面内滚动而不滑动，试求圆柱体绕其平衡位置作微小振动的振动微分方程。2.2 单自由度振系的自由振动kxxm mxkmkp 202xpx 0222psesxexsts

5、t，方程变为，则设解为 ptpxptxxpxDxBxxxxtDBptDptBpticcptccptiptcptiptcececxiipsiptiptsincos0sincossin)(cos)()sin(cos)sin(cos100000021212121）时，由初始条件确定（、，方程的通解为，其中解为单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简谐振动固有频率是系统本身的性质，与初始条件无关速度、加速度也是简谐振动) s (21 )HZ(212 )rad/s( arctan )sin( 002020kmfTmkpfmkpxpxpxxAptAx固有周期固有频率固有圆频率初相位振幅可将解写为例题2.12

6、某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随后m1的振动。固有频率的求法惯量可以通过周期计算转动不大，有假定角运动微分方程0sin sin JmgSmgSJ l 根据固有频率的定义来求固有频率的求法l 由等效质量和等效刚度来求，可由此得到固有频率时，势能必取得最大值，则动能为时取势能为若动能达到最大方程，可由此建立振动微分常数对振动系统：势能：动能；maxmaxmaxmax000)(UTUTUTdtdUTUT固有频率的求法l 应用能量法来求例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率mklaplamkaklmdtda

7、kUlmT 0)( 0)(21)(21)(21)(2122222圆频率可得 22221maxmax2222221max2max22max1max2222maxmaxmaxmax )(21 )cos1 ()(21)(2121)(21)cos()sin( mcmgcbkakpUTmgcAAbkAakmgcbkakUpAmccmTApptApAptA可得由于，则简谐振动假定摆球的微幅振动为思考 求固有频率有阻尼自由振动令令mkp2mcn2pn相对阻尼系数相对阻尼系数过阻尼ptptDeBex)1()1(22 临界阻尼pteDtBx)(小阻尼 例题 质量m=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支承在四个车轮

8、上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为st=15cm。为了能迅速地减少汽车上下振动，在四个支承处均安装了减振器，由实验测得两次振动后振幅减小到10%，即A1/A3=10，试求：1）振动的减幅系数和对数衰减率2）衰减系数和衰减振动的周期3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数2.3 单自由度振系的强迫振动 正弦型激励 周期激励 任意激励无阻尼振系在正弦型扰力作用下的振动tFkxxmsin0 xmkmkp 2tmFxpxsin02 mkxF(t)，称为频率比其中故代入原方程有将特解可设为通解pkFmkFXtFtXkmxtXxptAptDptBx20200222111 sinsin)(sin )s

9、in( cossin 振动。之和，一般不再是简谐频率不相等的简谐运动有，若代入，即得，将初始条件完整解)sin(sin1100 )sin(sin11cossin sin11cossin 20002000002021ptptkFxxxptptkFptxptpxxxxtkFptDptBxxx当两频率当两频率与与p p相近时会产生振幅呈周期性变化的合成振动，相近时会产生振幅呈周期性变化的合成振动，拍振3.2 有阻尼振系在正弦型扰力作用下的振动2220)2()1 (1XXpQ21单位谐函数法求强迫振动titetfticsincos)(ticccekxxcxm)()()(tftxHccieHikicmk

10、H)(2111)(2222)2()1 (1)(kH212arctan不平衡转子激发的振动支座正弦激扰引起的的振动223222222222)2(12arctan)2()1 ()2(1)(22)(22 0)()( HpippipHxpxpxpxpxkxxckxxcxmxxkxxcxmssssss 可写为即有运动方程taxssin)sin()2()1 ()2(1)(2222tatx例 小车重 490 公斤，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重量，弹簧系数50 公斤厘米，轮子的重量与变形都略去不计 。路面成正弦波形，可以表示为y=Ysin(2x / L)，其中Y=4 cm，L=10 米。试求小车在以水平

11、速度v=36 公里小时行驶时，车身上下振动的振幅，设阻尼可以略去不计cm 6 . 61021412 2sin2sinm/s 10rad/s 1049098050 22YtYLvtYytvtxmkp为故小车强迫振动的振幅，所以小车的固有频率振动的隔离实际传递的力幅与不平衡力幅的比值称为力传递率)sin()90sin()sin()(tFtXctkXxckxtfT222)2(1)()(kXXckXFT22220)2()1 ()2(1FFTa 被动隔离隔振系数2222)2()1 ()2(1aXb测振仪表22222212arctan)2()1 (sin sin0)()( YZtmYxmkzzczmtYx

12、xxzxxkxxcxmsssss 则为，并设基座的振动规律令有运动方程3.4 周期激扰下的强迫振动TttnTttnTttnnntdtntfTbtdtntfTadttfTaTtnbtnaatf000000sin)(2 cos)(2 )(2 2 )sincos(2)(010其中任意周期激扰力傅里叶级数222122222012arctan )2()1 ()sin()cos(2pnpnpnpnktnbtnakaxnnnnnn其中的强迫响应之和：弦激励激励的强迫响应为各正由叠加原理可知，周期解可根据叠加原理进行求激振力处的位移处。，将不平衡质量集中到简化的发动机振动模型tlRmtRmmtftlRtRxtlRtRxmmmpp2coscos)()( 2coscossin2)cos1 ( 2222212222221 卷积积分3.5 任意激励下的振动)sincos(/00/0tpppxxtpxexpt有阻尼弹簧质量系统对初始条件的响应初始条件 情况下单位脉冲引起的响应mxx1, 000tpemptxthpt/sin1)()(脉冲响应函数)(sin1)()(/)(/tpemptxthtp单位脉冲输入在t=时作用在系统上dtpefmptxtpt