高数1-6闭区间上连续函数的性质

1、一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 第一章 第十节闭区间上连续函数的性质第十节闭区间上连续函数的性质 一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数在该区间上在该区间上即即: :设设, ,)(baCxf则则, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa一定有最大一定有最大值和最小值值和最小值.注注: : 若函数在开区间上连续,结论不一定成立结论不一定成立 . ., ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa或在闭区间内有间断点 ,例如例如, ,

2、) 1 , 0(, xxy无最大值和最小值 xoy1121, 31,110, 1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, , ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、介值定理二、介值定理定理定理2.2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf定理定理3.3.(介值定理)设 , ,)(baCxf且,)

3、(Aaf,)(BABbf则对A 与B 之间的任一数 C , ),(baAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有一点( ) , , ( ), ( ),f xC a bf aA f bB AB( , ),a b 证证: : 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论: :().fC在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .,CACB例例1. 1. 证明方程证明方程01423xx证证: : 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理

4、故据零点定理, ,至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423在区间在区间)1 , 0(内至少有内至少有一个根一个根 .例例1. 证明方程01423 xx一个根 .说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21x

5、fxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在在在则则设设)(. 1xf,ba)(. 2xf,ba)(. 3xf,ba0)()(bfaf. 0)(=xf, ),(ba, ),(ba小结小结( ) , ,f xC a b则证明至少存在使提示提示: 令则易证1. 设作业作业P73 题 2 ; 3; 4一点, 2,0)(aCxf, )2()0(aff, ,0a. )()(aff, )()()(xfaxfx, ,0)(aCx 0)()0(a备用题备用题 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且0根据零