《概率论教学》(5)

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第1 1章章 随机事件随机事件 随机试验与样本空间随机试验与样本空间 随机事件及其概率随机事件及其概率 古典概型古典概型 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 独立性独立性二、二、 随机现象随机现象 四、四、 样本空间样本空间 一、一、 概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用三、三、 随机试验随机试验五、五、 随机事件随机事件 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac

2、),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯卡与费马通信讨论这一问题费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了概年共同建立了概率论的第一个基本概念率论的第一个基本概念数学期望数学期望.一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生第一节第一节 基本概念基本概念2. 概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机现象它研究随机现象的数量规律的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学概率论的应用几乎遍及所有的科学领域领域，例如

3、天气预报例如天气预报、 地震预报地震预报、产品的抽样调产品的抽样调查查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性扰性、分辨率等等分辨率等等.在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象二、随机现象二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的

4、现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 ,

5、观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学

6、学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的统计一定的统计规律性规律性 , 概率论就是研究随机现象这概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 ,

7、其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义三、随机试验三、随机试验说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样

8、的科学实验, 也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2) 试验的所有可能结果试验的

9、所有可能结果:字面字面、花面花面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 四、样本空间四、样本空间1、样本空间：、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合记为 .2 2、样本点、样本点: : 随机试验的单个结果，或样本空间的元素。五、随机事件五、随机事件样本空间的任意一个子集记作A、B、C等。1

10、1、随机事件：、随机事件：2 2、基本事件：、基本事件：（事件）（事件）只含一个试验结果的事件3 3、事件发生：、事件发生：当事件中的一个样本点出现时4 4、必然事件：、必然事件：不可能事件：不可能事件：六、事件之间的关系与运算六、事件之间的关系与运算1 1、包含关系：、包含关系： “事件A发生必有事件B发生”记为ABABABBA且2 2、和事件：、和事件： “事件A与事件B至少至少有一个发生”记作.AB（并事件）（并事件）（1）A1 1, ,A2 2, , An n中至少一个事件发生，中至少一个事件发生，（2）A1 1, ,A2 2, 中至少一个发生，中至少一个发生，推广：推广：记作记作in

11、iA1记作记作1iiA3 3、积事件：、积事件： “事件事件A A与事件与事件B B同时同时发生发生”，记作记作.ABAB（交事件）（交事件）推广：推广：（1）A1 1, ,A2 2, , An n都发生，都发生，记作记作1.niiA记作记作1.iiA（2）A1 1, ,A2 2, , 都发生，都发生，4.4.互斥事件（也称互不相容事件）：互斥事件（也称互不相容事件）：“事件事件A与事件与事件B不可能同时发生不可能同时发生”,AB=.=.5.5.差事件：差事件： “事件事件A A发生而事件发生而事件B B不发生不发生”记作记作.ABAB6. 6. 逆逆事件事件( (对立事件、补事件）对立事件、

12、补事件）ABAB 且记作.A四、小结四、小结 随机现象的特征随机现象的特征:1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. .条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现. 随随机机试试验验事件的运算规律：

13、事件的运算规律：1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广1.2.1 事件的频率事件的频率I. 频率定义频率定义 设设A是一个事件是一个事件, 在相同条件下进行在相同条件下进行n次试次试验，验，A发生了发生了m 次。次。 则称则称 m为事件为事件A在在 n 次试验次试验中发生的频数或频次，称中发生的频数或频次，称 m与与 n之比之比 m/n 为事件为事件A在在 n次

14、试验中发生的频率，记为次试验中发生的频率，记为 fn(A)。1.2 1.2 事件的概率事件的概率( (1).01).0 fn n( (A)1)1；(2)(2). . fn n()=1, ()=1, fn n()=0()=0；(3).(3).若事件若事件 A1 1, ,A2 2,Ak k 两两互斥，则两两互斥，则: : II. 频率性质频率性质。 kiinkiinAfAf11)(历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n n增大时，增大时， fn(A) fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向

15、一个稳定值。(2). P()=1 ; (3). 若事件若事件A1, A2 , 两两互斥，则有两两互斥，则有 设设E是随机试验，是随机试验，是样本空间，对是样本空间，对中中的每个事件的每个事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A) ，如果事，如果事件件(集合集合)函数函数 P(A) 满足下述三条满足下述三条:(1). P(A)00；则称则称P(A)为事件为事件A 的概率。的概率。1212()()() .P AAP AP A I. 概率定义概率定义1.2.2 事件的概率事件的概率II. 概率的性质概率的性质 1. P()=01. P()=0； 2. 2. 若事件若事件 A1 1, ,A2, , An n 两两互斥，则有：两两互斥，则有： P(P(A1 1A2 2An n)=P()=P(A1 1)+P()+P(An n), ), ( (有限可加性有限可加