第三章机械运动的守恒定律-2

1、1 万有引力、重力、弹性力作功的特点万有引力、重力、弹性力作功的特点 一、保守力与非保守力一、保守力与非保守力)2121(22ABkxkxA)()(ABrmmGrmmGA)(ABmgzmgzA重力功重力功弹力功弹力功引力功引力功力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质，仅决定于相互作用质点的点的始末始末相对相对位置位置 .保守力保守力: 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相互作，仅决定于相互作用质点的用质点的始末始末相对相对位置位置 .（例如：（例如：万有引力、重力、弹万有引力、重力、弹性力）性力）2 保守力和非保守力保守力和非保守力非保守力非保守力: 力所

2、作的功与路径有关力所作的功与路径有关 .（例如（例如摩擦摩擦力）力）mgsA保守力沿保守力沿闭合路径闭合路径一周所做的功为零。一周所做的功为零。 即即 0d Lrf1.1.势能势能与物体间相互作用及相对与物体间相互作用及相对位置位置有关的能量有关的能量 . 推广：推广：质点在保守力场中某点的质点在保守力场中某点的势能势能，在量值上等于，在量值上等于质点从该点移动至质点从该点移动至零势能点零势能点的过程中保守力所作的功。的过程中保守力所作的功。二、势能和保守力的功二、势能和保守力的功)(12mgzmgzA以重力功为例以重力功为例有能量量纲，有能量量纲，称为重力势称为重力势能能EppppEEEA)

3、(12211dzzprFAE如果如果 Z2=0，则，则Ep2=0势点ozrdF1：质点系质点系保守力保守力作功作功零势点MprFEd1） 重力势能重力势能 0d)(zpzmgE2）弹性势能弹性势能 0d)(xpxkxEmgz221kxpppEEEkxkxA)()2121(122122势能：势能：三三. 几种常见的势能函数和势能曲线几种常见的势能函数和势能曲线3） 万有引力势能万有引力势能 rrmMGErpd )(2rMmF等势面等势面rmMG)()(12rmmGrmmGApppEEE)(12弹性势能总是大于等于弹性势能总是大于等于0。弹性弹性0势点势点一般一般选在弹簧的平衡位置。选在弹簧的平衡

4、位置。此时引力势能为负值。此时引力势能为负值。引力引力0势点势点一般一般选在两物体相隔无限远。选在两物体相隔无限远。P1p2p)(EEEA 保守力的功保守力的功弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp重力重力势能势能mgzEp)2121(22ABkxkxA弹力弹力功功)()(ABrmmGrmmGA引力引力功功)(ABmgzmgzA重力重力功功 势能具有势能具有相对相对性，势能性，势能大小大小与势能与势能零点零点的选取的选取有关有关.),(ppzyxEE 势能是势能是状态状态函数函数 势能是属于势能是属于系统系统的，的，如说物体的势能不切确如说物体的势能不切确.讨论讨论0),(

5、ppfd),(EzyxrFzyxE 势能计算势能计算 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关pEzOmgzE p弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0pEx重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEz引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp几种势能曲线：几种势能曲线：例例 在质量为在质量为M、半径为半径为R、密度为密度为 的球体的万有引力场中的球体的万有引力场中求求 质量为质量为m的质点在球外任一点的质点在球外任一点C 的万有引力势能的万有引力势能解解 质点在球外任一点质点在球外任一点C ，与球心距离为，与球心距离为

6、x 万有引力为万有引力为2xMmGf xMmGxxMmGExPd2MRxmO取无穷远为零势能点，取无穷远为零势能点，系统的势能为：系统的势能为：)()(0p0kpkinncexEEEEAA)(0ppincEEA0inncinckkexEEAAA一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理0kkinexEEAA由质点系动能定理由质点系动能定理)()(0p0kpkinncexEEEEAA定义机械能：定义机械能：0inncexEEAApkEEE有有质点质点系的系的功能功能原理原理0inncexEEAA 质点系的功能原理质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和

7、外力和非保守内力作功之和 . 应用功能原理解题的主要步骤：应用功能原理解题的主要步骤：（1 1）确定研究对象，选定物体）确定研究对象，选定物体系系；（2 2）分析对象受力情况与运动过程，注意正确）分析对象受力情况与运动过程，注意正确区分区分内力和外内力和外力，保守内力和非保守内力，写出外力和非保守内力的功；力，保守内力和非保守内力，写出外力和非保守内力的功；（3 3）选定）选定势能零点势能零点，写出系统初态和末态的机械能；，写出系统初态和末态的机械能；（4 4）根据功能原理建立方程，求解方程。）根据功能原理建立方程，求解方程。 例例3.3 如图如图3-12所示，轻弹簧一端固定在墙上，另一端系所

8、示，轻弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为一质量为m的物体，物体放在水平桌面上。弹簧的劲度系数的物体，物体放在水平桌面上。弹簧的劲度系数为为k，物体与桌面间的摩擦系数为物体与桌面间的摩擦系数为。若以不变的力若以不变的力F将物体自将物体自平衡位置向右拉，求物体到达最远时系统的势能。平衡位置向右拉，求物体到达最远时系统的势能。解解：取弹簧和物体组成的系统，弹力是保守内力，取弹簧和物体组成的系统，弹力是保守内力，摩擦力摩擦力和和F F是外力是外力。以平衡位置为坐标原点，建立以平衡位置为坐标原点，建立如图所示坐标轴如图所示坐标轴O OX。物体物体m在在水平方向上受合力为水平方向上受合力为其中其中 f=

9、kx，fr=mgF合合=F- f - fr 取取O点为弹性势能零点。系统初态的动能和势能均为零，点为弹性势能零点。系统初态的动能和势能均为零，因而系统初态机械能为零；系统末态的动能为零，弹性势能因而系统初态机械能为零；系统末态的动能为零，弹性势能为为Ep=kx2/2，即系统末态机械能为即系统末态机械能为kx2/2。解得解得)(2 mgFkx根据根据功能原理功能原理，有，有所以物体所以物体m到达最远点时，系统的势能为到达最远点时，系统的势能为2)(2mgFkEp221kxmgxxF思考：如果选弹簧、物体和地球为思考：如果选弹簧、物体和地球为系统，内力、外力分别是什么？系统，内力、外力分别是什么？

10、pkEE)(0pp0kkEEEE当当0inncex AA0EE 时，时，有有)()(0p0kpkinncexEEEEAA 由功能原理：由功能原理： 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变质点系的机械能保持不变 . 二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律pkEEE常量常量动能和势能相互转化动能和势能相互转化 守恒定律的守恒定律的意义意义 不究过程细节不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点各个守恒定律的特点和优点 .说明说明 守恒定律是对一个守恒定律是对一个系统系统而言的而言的 只

11、有保守力作功时只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。 例例3.5 如图如图3-14所示，总长为所示，总长为l的均匀细链条，开始时长为的均匀细链条，开始时长为a的一段从桌面边缘下垂，另一部分放在水平桌面上，并用手拉的一段从桌面边缘下垂，另一部分放在水平桌面上，并用手拉住住A端，使整个链条静止不动，然后放手，链条开始下滑。求端，使整个链条静止不动，然后放手，链条开始下滑。求链条刚好全部离开桌

12、面时的速率。链条刚好全部离开桌面时的速率。 解解: 系统机械能守恒系统机械能守恒, 以桌面高度为以桌面高度为重力势能零点。重力势能零点。设链条的总质量为设链条的总质量为m2212mvlmgE系统末态机械能为系统末态机械能为20aglmaE系统初态机械能为系统初态机械能为由机械能守恒定律，有由机械能守恒定律，有22122aglmamvlmg)(22allgv解方程得解方程得如果链条和桌面之间有如果链条和桌面之间有摩擦，摩擦系数为摩擦，摩擦系数为，问速率是多少？问速率是多少？此时，摩擦力为此时，摩擦力为非保守内力非保守内力，当链条下落长度为当链条下落长度为y y时时摩擦力的功摩擦力的功)21()2

13、121()(2122aaglmlmgmalglmv222)()(allgallgv根据功能原理有根据功能原理有laalglmygyllmA 2)(21d)(gyllmf)( 例例: 如图，已知斜面的倾角是如图，已知斜面的倾角是300，弹簧一端固定在斜面上，处，弹簧一端固定在斜面上，处于自然长度时，其另一端位于于自然长度时，其另一端位于B点，一质量为点，一质量为2 kg的物体以初的物体以初速度速度3.0m.s -1从斜面从斜面 上上A点处滑下，物体到点处滑下，物体到B点时，开始压缩弹点时，开始压缩弹簧簧0 .2m后停止，然后又被弹送回去。后停止，然后又被弹送回去。AB间距离为间距离为5.0m，

14、设弹设弹簧的质量不计，物体与斜面之间的的摩擦力为簧的质量不计，物体与斜面之间的的摩擦力为6.2N。试求弹簧试求弹簧的倔强系数的倔强系数k和物体被弹回后所能达到的最大高度和物体被弹回后所能达到的最大高度 h 。 ( g 取取10 m.s -2 )AB 0 解：解：研究研究系统系统选选0为重力势能零点，为重力势能零点，B为弹性势能零点（初态为弹性势能零点（初态A，末态末态0）物体受力分析：物体受力分析：Nfmg,xmgf由由功能原理：功能原理： Afx)1()sin21(2122 AABmgxmvkx030BAvA2 . 05Nh222sin2BAAAxfxmgxmvk 13104 . 1 mN最

15、高点坐标为最高点坐标为x，由功能原理：由功能原理： fx222 . 00 . 52 . 62210 . 510220 . 32 )sin(22fmgkxxB )2 . 621102(22 . 0104 . 123 m 728. 1 物体被弹回的最大高度物体被弹回的最大高度mxh 86. 0sin sinmgx221Bkx xB 0 xmg2 . 0hf设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 .EmERmvh 解解 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 ，当物，当物体离开地球飞去时，只有保守力做功，体离开地球飞去时，只有保守力做功，所以这一系统的机械能所以这一系统

16、的机械能 E 守恒守恒 .1） 人造地球卫星人造地球卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度所需的最小速度 .1v三三、宇宙速度宇宙速度)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmvvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmvv2EEE2)(hRmmGhRmv由由牛顿第二定律和万有引力定律得牛顿第二定律和万有引力定律得解得解得hRGmRGmEEEE12v 表示地面上发射人造地球卫星所需的表示地面上发射人造地球卫星所需的最小速度最小速度 . 1vv表示物体离开地球高度为表示物体离开地

17、球高度为h时的速度时的速度 .2EERGmg )2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hR E故故E1gRvhRGmRGmEEEE12vvhm/s109 . 731v第一宇宙速度第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0E2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 . EmERm 第二宇宙速度第二宇宙速度 ，是，是抛体脱离地球引力所需抛体脱离地球引力所需的最小发射速度的最小发射速度 .也称为逃逸速度。也称为逃逸速度。2vE 取抛体和地球为一系统系统机械能取抛体和地球为一系统系统机械能 守恒守恒 .v表示物体远离地球时

18、的速度。表示物体远离地球时的速度。p2EE2221)(21EmRmmGmEvv取无穷远处为势能零点，取无穷远处为势能零点，逃逸速度是应为最小值，逃逸速度是应为最小值，这和无穷远处速度为零相对应。这和无穷远处速度为零相对应。EEE222gRRGmv0Evhkm/s2 .112v计算得计算得0)(21pkEE22EERmmGmEv3） 飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度 第三宇宙速度第三宇宙速度 ，是，是抛体脱离太阳引力所需的抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度最小发射速度 .3vvh设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 , EmERm 太阳质量太阳质量 ,

19、 抛体与太阳相距抛体与太阳相距 . SmSR取地球为参考系取地球为参考系,由机械能由机械能守恒得守恒得2EE2321)(21vvmRmmGm 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统，抛体抛体首先要首先要脱离脱离地球引力的束缚地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为其相对于地球的速率为 .v 取太阳为参考系取太阳为参考系 , 抛体抛体相对于太阳的速度相对于太阳的速度为为 ，3 v地球相对于地球相对于太阳的速度太阳的速度E3vvv则则如如 与与 同向同向,有有E vvE3vvv要要脱离太阳引力脱离太阳引力，机械能至少为零，机械能至少为零0)(21pkSS23EERmmGmEv21SS3)2(RGm

20、v则则由于由于 与与 同向同向,则抛体与太阳的距离则抛体与太阳的距离 即为地球绕太阳的轨道即为地球绕太阳的轨道半径。半径。 设设地球绕太阳轨道近似为一圆，地球绕太阳轨道近似为一圆，E3v vSR则则2SSES2EERmmGRmv21SSE)(RmGv1-21EE23s.4km16)2(RmGvv计算得计算得第三宇宙速度第三宇宙速度2EE2321)(21vvmRmmGm将将 E 、 代入代入vhE3vvv21SS)(12(RGmv计算得计算得三、普遍的能量守恒定律三、普遍的能量守恒定律 对于一个与自然界对于一个与自然界无无任何联系的系统来说任何联系的系统来说, 系统系统内各种形式的能量是内各种形式的能量是可以可以相互转换的，但是不论如何相互转换的，但是不论如何转换，能量既转换，能量既不能产生不能产生，也不能消灭，这一结论叫做，也不能消灭，这一结论叫做能量守恒定律能量守恒定律 .1）生产斗争和科学实验的经验总结；生产斗争和科学实验的经验总结；2）能量是系统能量是系统状态状态的函数；的函数；3）系统能量不变系统能量不变, 但各种能量