圆锥曲线全国高中数学联赛试题一试

1、2000-2010年全国高中数学联赛试题一试(答案)解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是 【答】（ ）(A) (B) (C) 3 (D) 62002直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有【答】（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 2003. 设那么直线和曲线的图形是【答】（ ）2003. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）（A） (B) (C

2、) (D) 2004、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是【答】（ ）A  B。（）C。（）  D。 2005. 方程表示的曲线是【答】（ ）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是【答】（ ）二、填空题2000、在椭圆(ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则ABF=_.2003设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_.2005.若正方形ABCD的一条边在直线

3、上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为.2006. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .2009.椭圆（）上任意两点，若，则乘积的最小值为_2009已知直线：和圆：，点在直线上，、为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 2010.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 三、解答题2000、已知C0:x2+y2=1和C1:(ab0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。2002已知点A(0，2)和抛物线y2=

4、x4上两点B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围2005.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.2006. 给定整数，设 是抛物线与直线的一个交点. 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.2007已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。2008如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值2009.设直线：（其中，为整数）与椭圆交于不同

5、两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由2010（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值十年全国高中数学联赛试题一试(答案)解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是 【答】（ ）(A) (B) (C) 3 (D) 6答案：C 。解析：如图所示，设BD=t，则OD=t-1，从而B（t-1，t）满足方程，可以得到t=,所以等边三角形，ABC的面积是.2002直线+

6、=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0设点P(4cos，3sin) 点P与直线的距离d=， 当0时，d(1)，SABC6(1)<3即此时没有三角形面积=3；当<<2时，d(+1)，SABC6(+1)即此时有2个三角形面积=3选B2003. 2设那么直线和曲线的图形是【答】（ ）题设方程可化为和,观察图形可知；2003.3 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）

7、（A） (B) (C) (D) 易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；2004、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是A  B。（）C。（）  D。 答：   解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。      故选A。2005. 方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦

8、点在轴上的椭圆，选C。2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。二

9、、填空题2000、在椭圆(ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则ABF=_.答案：90° 如图所示，由c2+ac-a2=0，=0则ABF=90°.2003设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_4_.是直角三角形，故的面积为;2005.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为.、联立解得或2006.

10、已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .【解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，A，从而有，。代入（1），（2）得。2009.椭圆（）上任意两点，若，则乘积的最小值为_【解析】 设，由，在椭圆上，有 得于是当时，达到最小值2009已知直线：和圆：，点在直线上，、为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为_3,6_【解析】 设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得解得2010双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 980

11、0 .解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 .又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 .三、解答题2000、已知C0:x2+y2=1和C1:(ab0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。 答案：所求条件为+=1.证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接,与Co外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0

12、 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与CO外切,故必有 =1,整理得+=1. 必要性得证.充分性:设+=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为与C1内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点O的坐标为(r1cos, r1sin),点Q的坐标为(r2cos(+),r2sin(+),代入椭圆方程,得+=1, +=1,于是,+=()+=+=1. 又在RtPOQ中，设点O到PQ的距离为h，则=+=1,故得h=1同理，点O到QR，

13、RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证.注对于给出 ，=1等条件者，应同样给分.2002已知点A(0，2)和抛物线y2=x4上两点B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围 解：设B(y024，y0)，C(y124，y1)则kAB=kBC=由kAB·kBC=1，得(y1+y0)(y0+2)=1 y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124y10， y10，y14当y1=0时，得B(3，1)，当y1=4时，得B(5，3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(，04，+)2005.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线

14、的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. 5分设、，则由知，得EF所在直线方程为：化简得10分当时，直线CD的方程为：联立、解得，消去，得P点轨迹方程为：15分当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 5分令则因为CD为的中线，而是的重心. 10分设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程

15、为20分2006. 给定整数，设 是抛物线与直线的一个交点. 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.【证明】 因为与的交点为.显然有。（5分）若为抛物线与直线的一个交点，则. （10分）记，则 ，（13.1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数. 现在对于任意正整数，取，使得与的交点为. （20分）2007. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为

16、(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。由方程组，消去y，得，即(k1)x2+x1=0。由题意知，该方程在(0，+)上有两个相异的实根x1、x2，故k1，且=1+4(k1)>0(1)，(2)，(3)，由此解得。对求导，得，则，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为(4)。同理可求得直线l2的方程为(5)。(4)(5)得，因为x1x2，故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(32k)xp+2，而xp=2，得yp=42k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。2008如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值解 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ， 5分故，易知，上式化简得， 同理有 10分所以，则因是抛物线上的点，有，则 ， 15分所以 当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分2009. 由消去化简整理得设，则 4分由消去化简整理得设，则 8分因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条14分2010.已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 解一：设线段的中点为，则