回归课本（精品）

1、1回归课本讲义整合回归课本讲义整合一、集合与逻辑一、集合与逻辑1 1、区分集合中元素的形式、区分集合中元素的形式：如：函数的定义域；函数的xyxlg|xyylg|值域；函数图象上的点集，xyyxlg| ),(如：如：（1）设集合，集合 N，则 |3Mx yx2|1,y yxxM_ （答：MN 1,)（2）集合，集合 342xxyxM3,6,cos3sinxxxyyN （答：）MN 1 2 2、条件为、条件为，在讨论的时候不要遗忘了，在讨论的时候不要遗忘了的情况的情况BAA如：如：（1）若非空非空集合，则5312/axaxA0)22)(3/(xxxB使得成立的 a 的集合是_ （答：）BAA96

2、 a（2）集合 M=N =若NM ，则实数 a,04/2axxx,02/2 xxx的取值范围为_（条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况）BAA （答：）3a（3），如果，求的取值。 （答：a0）012|2xaxxARAa3 3、; ; |BxAxxBA且|BxAxxBA或CUA=x|xU 但 xA;真子集怎定义？如：如：含 n 个元素的集合BxAxBA则的子集个数为 2n,真子集个数为 2n1;如：如：满足集合 M 有_个。 （答：7）1,21,2,3,4,5M4 4、C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;B; C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;

3、B;5 5、AB=AAB=AAB=BAB=BA AB BC CU UB BC CU UA AACACU UB=B=C CU UAB=UAB=U6 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：如：（1）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是xaxx|1|2|a_（答：）3a2（2）已知函数在区间上至少存在一个12)2(24)(22ppxpxxf 1 , 1实数，使，求实数的取值范围。 （答：）c0)(cfp3( 3, )27 7、原命题、原命题: : ; ;逆命题逆命题: : ; ;否命题否命题: : ；逆否命题；逆否命题: :

4、；互；互pqqppq qp 为逆否的两个命题是等价的为逆否的两个命题是等价的. . 如：如：（1）“”是“”的 条件。（答：充分非必要条件）sinsin （2）设命题“已知函数，使得，:p0, 1)(002yRxmxxxf00)(yxf命题：“不等式有实数解”，若且为真命题，则实数的取值q229mxpqm范围为_ （答：）)3 , 22, 3(8 8、若、若且且; ;则则 p p 是是 q q 的充分非必要条件（或的充分非必要条件（或 q q 是是 p p 的必要非充分条件）的必要非充分条件）; ; pqqp如：如：写出“成立”的一个必要而不充分条件_ （答：比范围大即21 x)3 , 1(可

5、）9 9、注意命题、注意命题的否定与它的否命题的区别的否定与它的否命题的区别: : pq命题的否定是；否命题否命题是pqpq pq 命题“p 或 q”的否定是“P 且Q”，“p 且 q”的否定是“P 或Q” 注意：注意：如：如：命题：“若和都是偶数，则是偶数”abba 否命题：“若和不都是偶数，则是奇数”abba 命题的否定：“若和都是偶数，则是奇数”abba 二、函数与导数二、函数与导数1、指数式、对数式指数式、对数式：， ，mnmnaa1mnmnaa当为奇数时，；当为偶数时， . nnnaan,0|,0nna aaaa a15lg2lg3，01(0)aalog(0,1,0)baaNNb a

6、aNbabalog, ,; logaNaN()log()logmnaanbbmlog ()loglogaaaMNMN; logloglogaaaMMNN1loglogabba如：如：的值为_（答：） = （答：1）2log81( )264133)5(lg5lg2lg3)2(lg2 2、一次函数、一次函数:y=ax+b(a0):y=ax+b(a0) b=0b=0 时奇函数时奇函数; ;3 3、二次函数、二次函数三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(对称轴,a0,顶点);顶点abx2)44,2(2abacab式 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对

7、称轴);b=0 偶函数;221xxx区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：如：(1) 已知函数在区间上有最小值 3，求的 224422aaaxxxf 2 , 0a值 (答:)105 ,21a（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （答：42212xxy2 , 2bb2）实根分布:先画图再研究开口、开口、00、对称轴与区间关系对称轴与区间关系、区间端点函数值符区间端点函数值符号号;4 4、反比例函数、反比例函数: :平移平移(中心为(b,a) ，对勾函数是奇)0 x(xcybxcayxaxy函数,， 上为增函数，在区间时)0(),0(,0a递减，在时)0 ,0(

8、,0aaa递增，在),a,a(5 5、幂、指数、对数函数的图象和性质：、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若，,0.52a log 3b 22log sin5c 则的大小关系为 （答：）cba,abc（2）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 1 或 311132a ，ayxRa4（3）不等式的解集是 方程的解是 1) 1lg(x)11, 1 (07369xx）7log3（4）函数的图象和函数的图象的交点个数是 2441( )431xxf xxxx， ，2( )logg xx（答：3 个）（5）、幂函数 y=，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图像是一族美丽的x曲线（如图）设点

9、A（1，0），B（0，1），连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=，y=的图像三等分，即有xxBM=MN=NA那么，=_ （答：1）（6）、设二元一次不等式组2190802140 xyxyxy所表示的平面区域的图象没有经过域的取值范围 (0 xMyaa为，若函数,1)a ,Ma则（答：）9, 21 , 10aaa6 6、单调性、单调性定义法;导数法. （1）设那么2121,xxbaxx上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在(

10、2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果)(xfy 0)( xf)(xf，则为减函数.0)( xf)(xf如：如：（1）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ 3( )f xxax1,)a(答：)；(,3(2) 函数在上为增函数，则的取值范围为_（答：|)(axxxf), 0 a）0a注意注意：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在0)( xf)(xf3)(xxfNMyBAx5上单调递增，但，是是为增函数的充分不必要条件。为增函数的充分不必要条件。),(0)( xf0)( xf)(xf注意注意：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如：如：已知奇函数是定

11、义在上的减函数,若，求实)(xf)2 , 2(0) 12() 1(mfmf数的取值范围。（答：）m1223m复合函数由同增异减判定 图像判定. 作用:比大小,解证不等式. 如：如：（1）函数的单调递增区间是_(答：（1,2）)。212log2yxx（2）若函数在区间内单调递增，则的取) 10)(log)(3aaxxxfa)0 ,21(a值范围是_(答： ) 1 ,437 7、奇偶性：、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域定义域含零的奇函数过原点含零的奇函数过原点(f(0)=0);(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数

12、或偶函数的必要而不充分定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件的条件。 如：如：（1）若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= （答：2( )12xxkf xk）1k（2）定义在 R 上的偶函数在上是减函数，若，则的)(xf0 ,()2() 1(afafa取值范围是_ （答：）23a（3）已知函数y=f(x),x1，1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的()( )2 3fxf xx的解集为 （答：）)21, 0()21, 1（4）已知函数是定义在 R 上的奇函数，)(xf0) 1 (f，则不等式的解集是 （答：0)()(2xxfxf x）（0

13、 x0)(2xfx）), 1 ()0 , 1(8 8、周期性。、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：6如：如：已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数，则方程在R( )f x( )0f x 上至少有_个实数根（答：5） 2,2（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为( )f x xafxf(0)a ( )f x的周期函数”得：a函数满足，则是周期为 2的周期函数；( )f x xafxf( )f xa若恒成立，则；1()(0)( )f xaaf x2Ta若恒成立，则.1()(0)( )f xaaf x 2Ta如：如：(1) 设是上的奇函数，当时，)(xf),()()2(xfxf10 x

14、，则 等于_(答：)；xxf)()5 .47(f5 . 0（2）若是 R 上的偶函数，是 R 上的奇函数，则与的大)(xf) 1( xf)4( xf)(xf小关系为_ （答：）)()4(xfxf（3）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，R( )f x(2)( )f xf x 3, 2若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_ , (sin),(cos)ff(答：)(sin)(cos)ff9、常见的图象变换常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右axfy xfy x)0(a平移个单位得到的。)0( aa如如：（1）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，)3lg(xyxylg再向_

15、平移 3 个单位而得到(答：；右)；y（2）函数的图象与轴的交点个数有_个(答：2)( )lg(2) 1f xxxx函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下 xfy a xfy y)0(a平移个单位得到的；)0( aa函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得 axfy )0(a xfy xa1到的。如：如：（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再( )yf x13将此图像沿轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为_(答：)；x(36)fx7（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_(答：(21)yfx(2 )yfx)12x 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为

16、原来的倍得 xafy )0(a xfy ya到的.1010、函数的对称性、函数的对称性满足条件的函数的图象关于直线对称。f xaf bx2abx如：如：已知二次函数满足条件且方程)0()(2abxaxxf)3()5(xfxf有等根，则_ (答：)； xxf)()(xf212xx点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为( , )x yy(, )x y xfy y；xfy点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为( , )x yx( ,)xy xfy x； xfy点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为( , )x y xfy ； xfy点关于直线的对称点为；曲线( , )x

17、yyxa (,)xy( (),)yaxa 关于直线的对称曲线的方程为。( , )0f x y yxa ( (),)0fyaxa 特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线( , )x yyx( , )y x( , )0f x y 的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；yx( , )0f y x ( , )x yyx (,)yx曲线关于直线的对称曲线的方程为。( , )0f x y yx (,)0fyx如：如：己知函数,若的图像是,它关于直线33( ),()232xf xxx) 1( xfy1C对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是yx22,CC33,CC 则_（答：）；221xy

18、x 若 f(ax)f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x=对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图2ba 像关于直线 x=对称。2ab 提醒提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如：如：已知函数。求证：函数的图像关于点)(1)(Raxaaxxf)(xf成中心对称图形。( , 1)M a 曲线关于点的对称曲线的方程为。( , )0f x y ( , )a b(2,2)0faxby如：如：若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则xxy2)(xgy 8_（答：）)(xg276xx形如的图像是双曲线，对称中心是点。(0,)axbycad

19、bccxd(, )d ac c如：如：已知函数图象与关于直线对称，且图象C2: (1)1C y xaaxayx关于点（2，3）对称，则a的值为_ （答：2）C（1）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象)(xfy ( )f xxx关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；xx（2）的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然)( xfy ( )f xyy后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。yy如：如：（1）作出函数及的图象；2|log (1)|yx2log |1|yx（2）若函数是定义在 R 上的奇函数，则函数的图象)(xf)()()(xfxfxF关于_对称 （答：轴）y1

20、111、求解抽象函数问题的常用方法是：、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；( )(0)f xkx k()( )( )f xyf xf y幂函数型： -，；2( )f xx()( ) ( )f xyf x f y( )( )( )xf xfyf y指数函数型： -，； ( )xf xa()( ) ( )f xyf x f y( )()( )f xf xyf y对数函数型： -，；( )logaf xx()( )( )f xyf xf y( )( )( )xff xf yy三角函数型： - 。( )tanf xx( )( )()

21、1( ) ( )f xf yf xyf x f y如：如：已知是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则)(xf_（答：0）)2(Tf1212、反函数、反函数: :互为反函数的两函数图像关于 y=x 对称.互为反函数的两函数具相同单调性原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：如：已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点( )yf x4fx_（答：（1,3）；1313、题型方法总结、题型方法总结（）判定相同函数判定相同函数:定义域相同且对应法则相同（）求函数解析式的常用方法：求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（

22、二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：2( )f xaxbxc2( )()f xa xmn）12( )()()f xa xxxx如：如：已知为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截( )f x)2()2(xfxf9得的线段长为 2,求的解析式 。 （答：2( )f x）21( )212f xxx（2）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。( ( )f g x( )f x如：如：（1）已知求的解析式 （答：,sin)cos1 (2xxf 2xf）；242()2,2,2f xxxx （2）若，则函数=_ （答：221)1(xxxxf) 1( xf）；223xx（

23、3）若函数是定义在 R 上的奇函数，且当时，)(xf), 0( x，那么当时，=_ )1 ()(3xxxf)0 ,(x)(xf（答：）. 3(1)xx（3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程( )f x组。如：如：（1）已知，求的解析式 （答：( )2 ()32f xfxx）；2( )33f xx （2）已知是偶函数，是奇函数，且+= ,则( )f x)(xg( )f x( )f x)(xg11x= （答：）。( )f x122x（）求定义域）求定义域:使函数解析式有意义解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有

24、意义实际问题有意义;若 f(x)定义域为a,b,复合函数 fg(x)定义域由ag(x)b 解出；若 fg(x)定义域为a,b,则 f(x)定义域相当于 xa,b时 g(x)的值域；如：如：（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（答：)(xfy 2 ,21)(log2xf）；42| xx（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_ （答：2(1)f x 2,1)( )f x1,5）（）求值域）求值域: 配方法：如：如：求函数的值域 （答：4,8）；225, 1,2yxxx 逆求法（反求法）：10如：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得31 3xxy y3x3x出的取值范围（答：

25、（0,1）；y 换元法：如：如：（1）的值域为_（答：）；22sin3cos1yxx17 4,8（2）的值域为_（答：）（令，211yxx 3,1xt 。0t 运用换元法时，要特别要注意新元运用换元法时，要特别要注意新元 的范围的范围；t三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：的值域 （答：）；2sin11cosy3(, 2不等式法利用基本不等式求函数的最值。2( ,)abab a bR如：如：设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是12,x a ay12,x b by21221)(bbaa _.（答：）。(,04,)单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性

26、求值域。如：如：求，的值1(19)yxxx229sin1 sinyxx232log5xyx域为_（答：、）；80(0,)911,920,数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如：如：（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：( , )P x y221xy2yx2yx、）；33,335, 5（2）求函数的值域（答：）；22(2)(8)yxx10,) 判别式法：如：如：（1）求的值域 （答：）；21xyx1 1,2 2（2）求的值域（答：）211xxyx(, 31,) 11导数法;分离参数法;如：如：求函数，的最小值。（答：48）32( )2440f xxxx 3,3x 用 2

27、种方法求下列函数的值域：32( 1,1)32xyxx ；)0 ,(,32xxxxy)0 ,(,132xxxxy（V V）解应用题）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.(VI)(VI)恒成立问题恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立af(x)max,; af(x)恒成立af(x)min; 如：如：（1）若不等式对恒成立，则 a 的取值范围是04)2(2)2(2xaxaRx_（答：）2 , 2(2)对于任意，函数的值恒大于零，那么 1,1a 2( )(4)42f xxaxa的取值范围是 （答：）x), 3() 1 ,(（3）已知：不等式0lo

28、g2xxm.在210 x上恒成立，则实数m的取值范围是_（答：）) 1 ,161(4)设函数，若时，恒成立，则实数的取xxxf3)(02(cos )(1)0f mfm值范围是 _（答;m0)成等比； 若bn(bn0)等比,则logcbnnb1nnba nac(c0 且 c1)等差。如：如：（1）若是等比数列，且，则 （答：1）na3nnSrr（2）已知是等比数列，则=_ na22a84a1433221nnaaaaaaaa（答：）3)41 (2n（3）数列满足 na.27),2,( 12231anNnaannn（1）求的值； （答：）21,aa9, 221aa（2）是否存在一个实数 t，使得且数

29、列为等差数列？),)(21Nntabnnn nb若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由。 （答:）1t3 3、首项正的递减、首项正的递减( (或首项负的递增或首项负的递增) )等差数列等差数列前 n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?)，)00(0011nnnnaaaa或由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如如: :（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前na125a 917SS13 项和最大，最大值为 169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和na10,a 200320040aa200320040aa成立的最大

30、正整数n是 （答：4006）0nS 15（3）设为等差数列的前 n 项和，若,则中最小的是nSna0, 0993Saa,321SSS_(答)5S（4）已知为等差数列，若，且它的前 n 项和 Sn有最大值，那么当 Sn取得最小正值时，na11011aan=_（答：19）（5）等差数列满足，且，为的前 n 项和，则 Sn中的最大项是 na13853aa 01anSna（答：）20S4 4、基本量方法：、基本量方法：等差数列中 an=a1+(n-1)d; Sn=dnnna2) 1(12)(1naan等比数列中 an= a1 qn-1; 当 q=1,Sn=na1 当 q1,Sn=qqan1)1 (1q

31、qaan11如：如：数列是公差不为零的等差数列，并且，是等比数列的相邻三项，若， na5a8a13a nb25b 则等于 （答：）nb2)35(5nnb5 5、利用等差（比）数列的性质：、利用等差（比）数列的性质：等差数列中, （1）an=am+ (nm)d, ;nmaadnm（2）当 m+n=p+q,am+an=ap+aq；若，则2mnp2mnpaaa（3）任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列.（4）等差数列an,项数 2n 时,S偶-S奇nd;项数 2n-1 时,S奇-S偶an ; 项数为 时，则;项n2qSS奇偶数为奇数时，

32、21n1SaqS奇偶等比数列中，（1）; n mnmaa qmnmnqaa（2）若，则;若，则；2mnp2pmnaaa（3）等比数列的任意连续项的和且不为零时不为零时构成的数列nam仍为等比数列. 如：公比为-1 时，、-、-23243mmmmmmmSSSSSSS、4S8S4S12S、不成等比数列。8S如：如：（1）在等比数列中，公比 q 是整数，则=_（答：na3847124,512aaa a 10a512）；16（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 na569aa3132310logloglogaaa（答：10）。（3） 一个等差数列共n项，其和为 90，这个数列的前 10 项的和为 2

33、5，后 10 项的和为 75，则项数为_ （答：18）n（4）等比数列中，前四项之和为 240，第二、第四项之和为 180，则首项为 na（答：6）（5） 等差数列的前 12 项的和是 98，前 98 项的和是 12，则的前 110 项的和为nana_ （答：）110（6）设等比数列的公比为，前 n 项和为，若成等差数列，则的值为naqnS21,nnnSSSq_（注意在运用等比求和公式时对公比进行讨论） （答：q）2q（7）设等差数列的前项和为，已知nannS, 1) 1(2009) 1(232aa，则下列结论正确的是_1) 1(2009) 1(200832008aa（1） （2）220082

34、009,2009aaS220082009,2009aaS （3） （4）220082009,2008aaS220082009,2008aaS6 6、 等差三数等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,a+d,a+3d;等比三数可设 a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 如：如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）7 7、求数列、求数列aan n 的最大、最小项的方法（函数思想）：的最大、最

35、小项的方法（函数思想）：an+1-an= 如如 an= -2n2+29n-3 (an0) 如如 an= 答： 0001111nnaannn10) 1(9109aa an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如如 an= （答：）1562nn1312aa8 8、求通项常法求通项常法: : （1）已知数列的前 n 项和,求通项，可利用公式:nsna2)(n SS1)(n Sa1nn1n如：如：数列满足，求（答：）na12211125222nnaaanna114,12,2nnnan（2）先猜后证17（3）递推式为f(n) (采用累加法)；f(n) (采用累积法)；1nana1nana如：如：已知数

36、列满足，则=_（答：na11a nnaann111(2)n na）121nan （4）构造法形如形如、（为常数）的递推数列1nnakab1nnnakab, k b如：如：已知，求 （答：）；111,32nnaaana1321nna （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 3 个公式的合理运用 an（anan-1）+(an-1an-2)+（a2a1）a1 ； an1122n1n1nnaaaaaaa如：如：数列an中,已知,则=_ （答：11a 2) 1(1nnannana）23 nan（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11nnnaakab如：如：（1）已知，

37、求 （答：）；1111,31nnnaaaana132nan（2）已知数列满足=1，求 （答：）1a11nnnnaaa ana21nan9 9、数列的求和、数列的求和数列求和的常用方法：关键找通项公式，确定项数。 公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式 分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）n(-1)如：如：已知数列,满足 an=，求 nan32 nnS倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）如

38、：如：（1）设，则11log)(2xxxfNnnnfnfnfan),1()2()1(=_ 2013a （2）已知，则_22( )1xf xx111(1)(2)(3)(4)( )( )( )234fffffff72错位相减法：（“差比数列”的求和）如：如：已知数列,满足 an=(2n-1)2n ，求nanS 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：（1）11 11()()n nkk nnk18（2） 2211111()1211kkkk211111111(1)(1)1kkkkkkkkk（3） （4）1111(1)(2)2(

39、1)(1)(2)n nnn nnn12(1)2(1)nnnnn 如：如：求和： （答：）111112123123n21nn四、三角函数四、三角函数1 1、三角函数的基本概念、三角函数的基本概念角度制与弧度制的互化：弧度，弧度， 弧度18018011)180(1857弧长公式：；扇形面积公式：。RlRlRS21212 如：如：已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2） 2cm2 2、函数、函数 y=y=b b（） 五点法作图;)sin(xA0, 0A振幅?相位?初相?周期 T=,频率?=k 时奇函数;=k+时偶函数.单调增（减）区间，如增区22间

40、可有（）来求出的范围2222kxkx对称轴处对称轴处 y y 取最值取最值,对称中心处值为 0;余弦正切可类比. 如：如：（1）函数的奇偶性是_ （答：偶函数）；522ysinx（2）已知函数为常数），且，则_5_ 31f( x)axbsin x(a,b57f( )5f()（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_ )cos(sincos2xxxy、；128k(, )(kZ )28kx(kZ )（4）已知为偶函数，求的值。3f( x)sin( x)cos( x)6k(kZ )（5）函数为增函数的区间是_ _（错因不注意内层函数的), 0)(26sin(2xxy单调性。）（答：）65,319

41、 (6) 已知函数,设为常数，若在区间2( )4sin sin ()cos242xf xxx 0 ()yfx 上是增函数，求的取值范围 (答：)2,23 w430变换: 正左移负右移；b 正上移负下移; )sin()sin(sin1|xyxyxy倍横坐标伸缩到原来的左或右平移)sin(sinsin|1xyxyxy左或右平移倍横坐标伸缩到原来的bxAyxAybA)sin()sin(|上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的（1）要得到函数的图像，只需将的图像向左平移 个单位 )42cos(xyxy2sin（答：）8（2）将函数的图像沿轴向右平移个单位（）所得的图像关于xxy2cos32sinxa0a轴对称

42、，求的最小值是 （答：）ya123 3、同角基本关系：、同角基本关系：，=，.22sincos1tancossintan1cot如：如：已知，则_；_（；11tantancossincos3sin2cossinsin235）；5134 4、正弦、余弦的诱导公式，、正弦、余弦的诱导公式，诱导公式简记诱导公式简记: :奇变偶不变奇变偶不变, ,符号看象限符号看象限( (注意：公式中始终视注意：公式中始终视 为锐角为锐角) )212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数

43、)20如：如：若，则角的终边在第_象限。54)2sin(53)22sin(5 5、（、（1 1）和（差）角公式）和（差）角公式 ;sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(.tantan1tantan)tan(tantantan()(1tantan)如：如：已知 tan tan是方程 x2+3x+4=0 的两根，若，(-)，则+=_ （答：32,2）32错因：没有准确限制角的范围。（2 2）二倍角公式）二倍角公式；cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan变形公式： 22cos1sin22cos1cos2222

44、sin22cos1cos22cos1 1sincossin222sin2cos)2sin2(cossin12如：如：（1）函数的单调递增区间为255 3f( x)sinxcos xcos x532( xR)_（答：）51212k,k(kZ )（2） （答：2）40cos270tan10sin310cos20cot（3）已知，那么的最大值和最小值分别是_ 2sin6cosy（答：7 或）5（4）已知,则的取值范围是_ cos4cos4cos52222coscos21（答：）2516, 0巧变角：巧变角：如，()()2()()，等），2()()22222如：如：（1）已知，那么的值是_ （答：2t

45、an()51tan()44tan()4）；322（2）已知为锐角，则与的函数关, sin,cosxy3cos()5 yx系为_（答：）23431(1)555yxxx 6 6、辅助角公式中辅助角的确定：、辅助角公式中辅助角的确定：(其中) 22sincossinaxbxabxtanba如：如：如果是奇函数，则= (答：2)； sin2cos()f xxxtan7 7、正弦定理、正弦定理: :2R=; （是外接圆直径）AasinBbsinCcsinR2ABC； CBAcbasin:sin:sin:111sinsinsin222SabCbcAcaB； 内切圆半径 r=CRcBRbARasin2,si

46、n2,sin2cbaSABC2余弦定理：余弦定理：a =b +c -2bc;； ABC 中，222AcosbcacbA2cos222sinsinABABba 三角形内角和定理 ：在ABC 中，有()ABCCAB. 222CAB222()CAB术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角 的取值范围是：0360如：如：（1）已知锐角三角形中，边长满足，且，ABC, a b2 3,2abab2sin()30AB则另一边长= 答：c6（2）在中，分别是的对边长，已知.ABCcba,CBA,AAcos3sin2()若

47、,求实数的值; （答：）mbcbca222m1m22()若,求面积的最大值. （答：）3aABC433maxS五、平面向量五、平面向量1 1、向量定义、向量模、零向量、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相a反向量是。)、共线向量、相等向量a如：如：与向量平行的单位向量_，垂直的单位向量_。5 ,12a（答：（）；（）1251313，5121313，2 2、向量加法与减法运算、向量加法与减法运算代数运算：(1) ;；BCABACACABCB nnnAAAAAAAA113221(2)若=（）, =（）则=（）a11, yxb22, yxab2121

48、,yyxx几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量=+,AB aAD bAC a b=,=.且有+BD ba DB abababab如：如：已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,21), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足： 0OPOM1,0OPON1,则OPOQ的最大值为 （答：4）233 3、实数与向量的积：、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。a=；aa(1) 当0 时，与的方向相同；当0 时，与的方向相反；当=0 时，aaaa= a 0 (2)若=（），则=（）a11, yxa11,

49、yx两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=baba(2) 若=（）, =（）则a11, yxb22, yxab01221yxyx4 4、向量的数量积、向量的数量积向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, = ,则AOB= （abOA aOBb）叫做向量与 的夹角（两个向量必须有相同的起点）。001800ab两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，ab则=cos abab其中向量在方向上的投影为cos且cosbabbaba向量的数量积的性质：若=（）, =（）a11, yxb22, yx（1）=cos (为单位向量)；ea aeae（2）=

50、0；ab ab02121yyxx（3）= ； （4）cos= =a2211a axy a bab 222221212121yxyxyyxx向量的数量积的运算律：= ； ()=()=()； ()=+ abbaababababcac24bc注意：与向量垂直且模相等的向量为或；),(nma ),(mnb),(mnb在平分线上的向量可以记为AOB)|(OBOBOAOAOC)0(向量与向量夹角为锐角且、不共线；ab ab0ab向量与向量夹角为钝角且、不共线。ab ab0ab如：如：已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 )2 ,(a)2 ,3(bab（答：或且）；43 0135 5、平面向量基本定理、

51、平面向量基本定理（1）若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有有且只有1e2e a一对实数，使得=+ 12a11e22e （2）有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，使得 1e2e 121+ =，则=0.1e22e 012特别：特别：则是三点 P、A、B 共线的充要条件如充要条件如平面直角坐标系中，OP12OAOB 121为坐标原点O如：如：已知两点,若点满足,其中且) 1 , 3(A)3 , 1(BCOCOBOA21R21,则点的轨迹是_ _ （答：直线 AB）121C6 6、三角形中一些向量结论、三角形中一些向量结论：在中，ABC为的重心

52、，特别地为的1()3PGPAPBPC GABC0PAPBPCP ABC重心；为的垂心； PA PBPB PCPC PAP ABC向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；()(0)|ACABABAC ABCBAC如：如：（1）若 O 是所在平面内一点，且满足，则ABC2OBOCOBOCOA 25的形状为_ _ABC（答：直角三角形）（2）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足DABCBCABCP，设，则的值为_ _ 0PABPCP |APPD （答：2）（3）设点O在ABC的内部且满足:，现将一粒豆子随机撒在ABC中，04OCOBOA则豆子落在OBC中的概率是_ （答：）32（4）若点是的

53、外心，且，则的内角为_ _ OABC0OAOBCO ABCC（答：）120（5）O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足,则 P 的轨迹一定通过ABC 的 心 ), 0),|(ACACABABOAOP（答：内心）（6）为平面上的定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若( -)(+-2OOB OCOB OC)=0，则ABC 是 三角形 （答:等腰三角形）OA（7）已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，,O A BPAB| 7OA ，则的值为 （答：12）| 5OB )(OBOAOP（8）等边三角形 ABC 中，P 在线段 AB 上,且APAB

54、，若CP ABPA PB ，则实数的值是_ （答：）2217 7、 P P 分分的比为的比为,则=,0 内分;0 且-1 外分.21PPPP12PP若 1 则(+);设 P(x,y),P1(x1,y1)，中点（x,y） 重心（x,y）OP211OP2OP.2,22121yyyxxx.3yyyy,3xxxx321321268 8、点、点按按平移得平移得,则 或 函数按平),(yxP),(kha ),(yxPPPakyyhxx)(xfy ),(kha 移得函数方程为：)(hxfky如：如：（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_（答：a(2, 3)(1, 2)a( 7,2)（，）；（2）函数的

55、图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则xy2sina12cosxy_（答：）a) 1 ,4(六、不等式六、不等式1 1、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：若 ab0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。ba11如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知，则的取值范围是_（答：11xy 13xy3xy）；137xy2、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5

56、）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如：如：（1）设，比较的大小 （答：当时，0, 10taa且21loglog21ttaa和1a （时取等号）；当时，（时取等11loglog22aatt1t 01a11loglog22aatt1t 号）；（2）设，试比较的大小 （答：）2a 12paa2422aaqqp,pq3 3、常用不等式：、常用不等式：若，（1）（当且仅当时取等号） 0,ba2222211ababababba ；（2）a、b、cR R，（当且仅当时，取等号）；222abc

57、abbccaabc（3）若，则（糖水的浓度问题）。0,0abmbbmaam如：如：如果正数、满足，则的取值范围是_ （答：）ab3baabab9,27基本变形： ； ；ba2)2(ba注意注意：一正二定三取等一正二定三取等；积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：如：函数的最小值 （答：8）)21(4294xxxy若若，则的最小值是_ （答：）；21xy24xy2 2正数满足，则的最小值为_ （答：）；, x y21xyyx1132 24 4、( (何时取等？何时取等？) )；|a|a；|a|abababa5 5、证法、证法:比较法:差比:作差-变形(分解或通分配方)-定号.另

58、:商比 综合法-由因导果; 分析法-执果索因; 反证法-正难则反。 放缩法方法有：添加或舍去一些项，如：；aa12nnn ) 1(将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log22) 1() 1(nnnn利用常用结论：、；kkkkk21111、 ； （程度大）kkkkk111) 1(112111) 1(112kkkkk、 ； （程度小）)1111(21) 1)(1(111122kkkkkk换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；222ayxsin,cosayax已知，可设()；122 yxsin,cosryrx10 r已知

59、，可设；12222byaxsin,cosbyax已知，可设；12222byaxtan,secbyax28最值法,如：afmax(x),则 af(x)恒成立.6 6、解绝对值不等式、解绝对值不等式: :几何法(图像法)定义法(零点分段法);两边平方公式法：|f(x)|g(x) ;|f(x)|0)直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一条直线上的三个点等）2 2、点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系：、点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系：（1）P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)(x0-a)2+(y0-

60、b)2r2) 设圆的直径为 AB，则90 (90 ,90 )APBAPBAPB0(0,0)PA PBPA PBPA PB （2）直线与圆相交（相切，相离）有两（一，零）个公共点(,)dr dr dr（3）圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的关系。设圆心距为 d,两圆半径分别为 r,R,则 dr+R两圆相离;dr+R两圆相外切;|Rr|dr+R两圆相交;d|Rr|两圆相内切;db0);参数方程1byax2222sinbycosax定义:=e2c e=,a2=b2+c2 长轴长为 2a2a，短轴长为 2b2b相应d|PF|22ab1ac焦半径左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦点弦,右