2020年九年级数学中考复习最值与轨迹问题专题训练测试卷含参考答案及试题解析

1、2020年九年级数学中考复习最值与轨迹问题专题训练测试卷选择题(共6小题，18分)1.已知点A,点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P,使得PA+PB2.如图，点C为线段AB的中点,E为直线AB上方的一点，且满足 CE=CB,连接AE,以AE为腰，A为顶角顶点作等腰C. 67.5°D. 90RtAADE ,连接CD,当CD最大时，/ DEC的度数为3 .如图，在锐角三角形 ABC中，BC=4, /ABC = 60° , BD平分/ ABC,交AC于点D,M, N分别是BD, BC上的动点，则 CM + MN的最小值是()A .:;B. 2C, 2. ：D.

2、44 .在平面直角坐标系 xOy中，点0(0, 0), A (2, 0), B (0, 2)，C ( - 2, 0).将 OAB绕点。顺时针旋转 a (0° V a< 360° )得到AOA' B'(其中点 A旋转到点 A'第1页(共28页)A. |22-2B.2V3-2C. 2D. |2V5-2的位置），设直线AA'与直线BB'相交于点P,则线段CP长的最小值是（）A. 5B.2H3-2C. 6D, 2+25 .如图，正方形 ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接 BE,过点A作AFXBE于点F,点P是AD边上另一动点

3、，则 PC+PF的最小值为（）6 .如图，AB是。的直径，M、N是蛆（异于A、B）上两点，C同上一动点，/ ACB 的角平分线交 OO于点D, / BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时， 则C、E两点的运动路径长的比是（）B.二.填空题（共8小题，32分）7 .如图，在 RtAABC中，/ C=90° , / B= 30° ,以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交AB, AC于点M, N,再分别以点 M, N为圆心，大于-iMN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法：AD是/BAC的平分线； /ADC = 60° ;

4、点D在 AB的中垂线上； SaADC: SaABC= 1 : 3.其中正确的个数 是.SaPCD,8 .如图，矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,点P是矩形 ABCD内一动点，且S“AB、则PC+PD的最小值为 9 .平面直角坐标系 xOy中，若P (m, m2+4m+3), Q (2n, 4n-8)是两个动点(m, n为实数)，则PQ长度的最小值为10 .如图，AB为。的直径，AB=4, C为半圆AB的中点，P为AC上一动点，延长 BP至点 Q,使 BP?BQ=AB2.若点 P由A运动到C,则点Q运动的路径长为11.如图，已知半径为4cm的扇形OAB,其圆心角/ AOB = 45

5、76; ,将它沿射线 OA方向作无滑动滚动，当第一次滚动到扇形O' A' B'的位置时，点 。运动到点O'所经过的路径长为 cm.12. 如图，在圆心角为 90°的扇形OAB中，OB = 2, P为友&上任意一点，过点 P作PEXOB于点E,设M为OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路13. 如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, / DCA = 30°，点F是对角线 AC上的一个动点，连第3页(共28页)接DF,以DF为斜边作/ DFE=30°的直角三角形 DEF ,使点E和点A位于DF两侧,点F从点

6、A到点C的运动过程中，点 E的运动路径长是 14. 如图，在 RtAABC中，/ ACB = 90° , AC=10, BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点 P旋转，两条直角边分别交 AB边于M, N,则MN的最小值是.15. （12分）如图，4ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A, C重合）， 连接BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点 D,将线段AD绕点A逆时针旋转60 ° 得到线段AE,连接DE, CE.（1）求证：BD = CE;（2）延长ED交BC于点F,求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若 ABC

7、的边长为1,直接写出EF的最大值.16. (12分)如图，在平面直角些标系中，二次函数y=ax2+bx-才豆的图象经过点 A ( - 1,0), C (2, 0),与y轴交于点B,其对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接 PD,求二PB+PD的最小值；2(3) M (x, t)为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个.备用团第#页(共28页)17. （12分）如图，已知 AB是圆。的直径，F是圆。上一点，/ BAF的平分线交。于点E,交。的切线BC于点C,过点E作EDL

8、AF,交AF的延长线于点 D.（1）求证：DE是。的切线;(2)若 DE = 3, CE=2,求;二的值;施若点G为AE上一点，求 OGEG最小值.DB第9页（共28页）18. （14分）定义：长宽比为 Vn： 1 （n为正整数）的矩形称为 右矩形.下面，我们通过折 叠的方式折出一个 比矩形，如图a所示.操彳1:将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线 AE上的点G 处，折痕为AH.操彳2:将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则 四边形ABCD为的矩形.（1）证明：四边形 ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点.如图b,。是对角线

9、AC的中点，若点 N在边BC上，OMXON,连接 MN .求tan/OMN的值;连接CM,作BR± CM,垂足为R.若AB=V2,求DR的最小值.图aSb（备用图）九年级数学中考复习最值与轨迹问题专题训练测试卷参考答案选择题（共6小题）1 .已知点A,点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P,使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P,则PA+PB的值最小,D的作法正确,2 .如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足 CE=CB,连接AE,以AE为腰，A为顶角顶点作等腰 RtAADE ,连接

10、CD,当CD最大时，/ DEC的度数为A. 60°B. 75°C. 67.5°D. 90解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH,连接CH, DC. . / DAE = Z HAC = 90 ° , ./ DAH = Z EAC,. DA=EA, HA = CA, . DAHA EAC (SAS),DH =CE=定值，. CDWDH + CH, CH 是定值， 当D, C, H共线时，DC定值最大，如图 2中，此时/ AHD =/ACE= 135° ,，/ECB=45° , / DCE = /ACE-/ A

11、CH = 90° , . / ECB=Z CAE + Z CEA,.CA= CE, ./ CAE=Z CEA=22.5° , ./ ADH = Z AEEC = 22.5° , ./ CDE=45° 22.5° =22.5° , ./ DEC= 90° 22.5° = 67.5° .故选：C.3 .如图，在锐角三角形 ABC中，BC=4, /ABC = 60° , BD平分/ ABC,交AC于点D, M, N分别是BD, BC上的动点，则 CM + MN的最小值是()D. 4解：如图，在 BA上

12、截取BE=BN,因为/ ABC的平分线交AC于点D,所以/ EBM =/ NBM ,在 BME与 BMN中,BERNBM二BH所以BME0BMN (SAS),所以ME= MN .所以 CM + MN= CM+ME >CE.因为CM + MN有最小值.当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4 X sin60 ° =二.故选：C.4 .在平面直角坐标系 xOy 中，点 0(0, 0), A (2, 0), B (0, 2d), C ( - 2, 0).将 OAB绕点。顺时针旋转 a (0° V a< 360° )得到AO

13、A' B'(其中点 A旋转到点 A' 的位置)，设直线AA'与直线BB'相交于点P,则线段CP长的最小值是()A, 22-2b, 23-2C. 2D, 25-2解： OAB是直角三角形，点P在以AB为直径的圆上运动,- A （2, 0）, B （0, 2V3）,，AB=4, AB的中点为（1,码）,- C （- 2, 0）,，CP的最小值为2后-2 ;故选：B.于点F,点P是AD边上另一动点，则 PC+PF的最小（DC匚ABA . 5B. 273-2C. 6D cr/工.解：如图：百直为（）D. 2历+25.如图，正方形 ABCD的边长是4,点E是AD边

14、上一动点，连接 BE,过点A作AFXBE第13页（共28页）取点C关于直线DA的对称点C'.以AB中点。为圆心，OA为半径画半圆.连接OC'交DA于点P,交半圆O于点F,连AF.连BF并延长交DA于点E.由以上作图可知， AFLEB于F.PC+PF=PC" +ef=c'f由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小.1. C'B'=4, OB' = 6-CO = V4:2+62 = 2VT3,.C'F = 2/13-2,.PC+PF 的最/、值为 2713-2,6.如图，AB是。的直径，M、N是AB （异于A、B）上两点，C是上一

15、动点，/ ACB 的角平分线交 OO于点D, / BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时， 则C、E两点的运动路径长的比是（）A.贝 B.勺解：如图，连接EB.设OA=r., AB是直径,ACB=90° ,.E是 ACB的内心, ./ AEB=135° ,作等腰 RtAADB, AD = DB, /ADB = 90° ,则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF,点C的运动轨迹是MN,. / MON =2/ GDF ,设/ GDF = % 则/ MON = 2 a面的长的长 二.填空题（共8小题）7.如图，在 RtAABC中，/ 0=90

16、° , / B= 30° ,以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交AB, AC于点M, N,再分别以点 M, N为圆心，大于一MN的长为半径画弧，两2弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法：AD是/BAC的平分线； /ADC = 60° ;点D在AB的中垂线上； Sa adc： Sa abc= 1 ： 3.其中正确的个数是 4 .证明：连接NP, MP,在 ANP与 AMP中， NP=MP, lap=af anpa AMP (SSS),则/ CAD = Z BAD,故AD是/ BAC的平分线，故此选项正确； 证明：在 ABC 中，/ 0=90

17、6; , / B=30° , ./ CAB=60° .AD是/ BAC的平分线，/ 1 = / 2 =停/ CAB =30° ,.Z 3=90° - / 2=60° , / ADC = 60° ,故此选项正确;证明：: / 1 = Z B= 30 ,AD= BD,点D在AB的中垂线上，故此选项正确； 证明：在 RtAACD 中，Z 2=30° ,.-.cd=_Lad, 2 .BC= BD+CD = AD+AD =区AD, Sadac=AC?CD =-LaO?AD , 2224Saabc=Aac?bc=Aac?_1ad=_1a

18、c?ad, 2224- SaDAC ： Saabc= 1 ： 3,故此选项正确;8.故答案为：4.如图，矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且 SaPABSaPCD,2第17页(共28页)则PC+PD的最小值为4解：如图，作 PMLAD于M,作点D关于直线PM的对称点E,连接PE, EC.设AM.AB/ CD, AB = CD=4, BC = AD = 6,SaPAB= -Sa pcd,X4Xx=x x 4X (6-x)2x= 2,AM =2, DM = EM = 4,在 RtECD 中，EC = ,Jcd2+ed2=4/5, PM垂直平分线段DE ,PD=

19、PE,PC+PD = PC+PE'EC,.PD+PC>4,店PD+PC的最小值为气闰.29.平面直角坐标系 xOy中，若P (m, m +4m+3), Q (2n, 4n - 8)是两个动点(m, n为实数)，则PQ长度的最小值为2_.解：Q点在直线I: y=2x-8上，P在抛物线y=x2+4x+3±直线与x, y标轴交点分别为 B (4, 0), D (0, 8),设与直线y= 2x- 8平行的直线为 y= 2x+b,当直线为y=2x+b与抛物线y=x2+4x+3有一个交点时，即 2x+b = x2+4x+3, -x2+2x+3- b=0, = - 8+4 b = 0

20、,b = 2,此时交点坐标为 A (- 1, 0),过A作AC,直线I,V AB=5, DB = 4/5, .sin/ABC =_=,币5AC=故答案为2后;10.如图，AB为。的直径，AB=4, C为半圆AB的中点，P为AC上一动点,BP至点Q,使BP?BQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q运动的路径长为4解：如图所示：连接 AQ, AP.又. / ABP=Z QBA,ABPAQBA, ./ APB=Z QAB = 90° ,QA始终与AB垂直.当点P在A点时，Q与A重合，当点P在C点时，AQ = 2OC=4,此时，Q运动到最远处,点Q运动路径长为4.故答案为：4.11 .如图，

21、已知半径为 4cm的扇形OAB,其圆心角/ AOB = 45° ,将它沿射线 OA方向作 无滑动滚动，当第一次滚动到扇形O' A' B'的位置时，点。运动到点O'所经过的路径长为 5兀 cm.解：.扇形 OAB的圆心角为45° ,半径为4cm,AB 弧长=45*" X 4 =兀（cm）,180.点。到点O'所经过的路径长= 毁吧L2工X2+L 5兀（cm）.180故答案为：5兀.12 .如图，在圆心角为 90°的扇形 OAB中，OB = 2, P为杷上任意一点，过点 P作PEXOB于点E,设M为OPE的内心，当点P

22、从点A运动到点B时，则内心M所经过的路 径长为返氏.解：如图，以OB为斜边在OB的左边作等腰 RtP' OB,以P'为圆心PB为半径作OP，, 在优弧OB上取一点 H,连接HB, HO, BM , MP. PEXOB,点M是内心,OMP = 135° ,. OB=OP, /MOB = /MOP, OM = OM,OMBAOMP (SAS), ./ OMB = Z OMP= 135 . / H = Z BP' O=452.H+Z OMB= 180° , .O, M, B, H四点共圆,.点M的运动轨迹是OB,内心M所经过的路径长=故答案为返兀.2竺一:

23、亚兀,180213.如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, / DCA = 30°，点F是对角线 AC上的一个动点，连接DF,以DF为斜边作/ DFE=30°的直角三角形 DEF ,使点E和点A位于DF两侧,EE'的长;点F从点A到点C的运动过程中，点 E的运动路径长是第21页（共28页） AB=4, / DCA = 30° ,. BC_ W3BC3当F与A点重合时，在 RtADE'中，AD =-, D DAE'=30° , /ADE'=60° ,3. DE' = _Z1, / CDE'=30&

24、#176; , 3当F与C重合时，/ EDC = 60° , ./ EDE'=90° , / DEE'=30° ,在 RtDEE'中，EE'=W3 .14.如图，在 RtAABC中，/ ACB = 90° , AC=10, BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点 P旋转，两条直角边分别交 AB边于M, N,则MN的最小值是 2m1'*解：取MN的中点D连接PD, . / MPN = 90° ,MN = 2PD, 当PDXMN时，PD值最小，此时 MN的值最小，如图所示, .

25、 /A=/A, Z ADP = Z ACB=90° ,APDA ABC,.PE AP Rn PD 5BC AB 5 &V5 l- pd = V5,MN = 2PD = 2'/5.故答案为：加.三.解答题（共4小题）连接得到15.如图， ABC为等边三角形，点 P是线段AC上一动点（点P不与A, C重合）BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点 D,将线段AD绕点A逆时针旋转6（ 线段AE,连接DE, CE.（1）求证：BD = CE;（2）延长ED交BC于点F,求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若 ABC的边长为1,直接写出EF的最大值.证明：（1）二.将

26、线段AD绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,.AD= AE, / DAE = 60° . ADE是等边三角形.ABC为等边三角形 .AB=AC, Z BAC=Z DAE=60° ./ DAB = Z CAE,且 AB = AC, AD = AEADBA AEC (SAS)BD= CE（2）如图，过点 C作CG/ BP,交EF的延长线于点 G,. / ADB = 90° , / ADE = 60 °BDG= 30° CG / BPG=Z BDG = 30° , ADBA AEC .BD=CE, / ADB =/AEC=90°/

27、 GEC= / AEC - / AED = 30 ° ./ G=Z GEC = 30°.GC=CE,.CG=BD,且/ BDG = Z G, / BFD = / GFCBFDA CFG (AAS)BF= FC 点F是BC中点(3)如图，连接AF,.ABC是等边三角形， BF= FC AFXBC ./ AFC =90 ° ./ AFC=Z AEC =90°，点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上， EF最大为直径，即最大值为116.如图，在平面直角些标系中，二次函数y=ax2+bx-心的图象经过点 A (- 1, 0), C(2, 0),与y轴交于

28、点B,其对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接 PD,求LpB+PD的最小值；2(3) M (x, t)为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点 N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 5个.备，用国(1) ,二次函数 y=ax2+bx-的图象经过点 A (- 1, 0) C (2, 0),4a+2b-Vs二次函数的表达式为 尸”/二应广6, 2(2)如图，连接 AB,作DHXAB于H,交OB于P,此时PB+PD最小.理由：OA=1, OB = a/3, .tan/ABO=X, OB 3 ./ ABO =30

29、° ,pb+pd = ph + pd= DH , 2.:此时pb+pd最短(垂线段最短).q在 RtAADH 中，. / AHD = 90° , AD=, / HAD = 60° ,2sin60 =AB. DH =blL, 4 二pb+pd的最/、值为 川m ；24(3)以A为圆心AB为半径画弧，因为 AB>AD,故此时圆弧与对称轴有两个交点,且AM=AB,即M点存在两个，所以满足条件的 N点有两个；以B为圆心AB为半径画弧，因为 AB得，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且 BMbi= AB,即M点有两个，所以满足条件的 N点有两个；线段AB的垂直平分线与对称

30、轴有一个交点，此时AM = BM,因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；则满足条件的N点共有5个，故答案为：5.第25页(共28页)17.如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，/ BAF的平分线交 OO于点E,交。O 的切线BC于点C,过点E作EDLAF,交AF的延长线于点 D.(1)求证：DE是。的切线;(2)若 DE = 3, CE=2,求三蛆的值;若点G为AE上一点，求OG+,EG最小值.(1)证明：连接OE .OA= OEOAE=Z OEA AE 平分/ BAFOAE=Z EAFOEA=Z EAFOE / AD ED，AFD=90°OED= 180° -

31、/ D=90° .OELDEDE是。O的切线(2)解：连接BEAB是。O直径AEB = 90°BEA=/D=90° , / BAE+/ABE = 90 BC是。O的切线 ./ ABC=Z ABE+ZCBE = 90° ./ BAE=Z CBE . / DAE = Z BAE ./ DAE = Z CBEADEA BEC.AE _D&BC -CE第29页（共28页）. DE=3, CE = 2过点E作EH ±AB于H ,过点G作GP / AB交EH于P,过点P作PQ / OG交AB于 .EPXPG,四边形OGPQ是平行四边形 ./ EPG=90° , PQ= OG.收上AE 3 设 BC = 2x, AE=3x .AC= AE+CE=3x+2 . /BEC=/ABC =90° , /C=/C . BEC