三角函数在实际生活中的应用

1、第三章 三角函数在实际生活中的应用三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三、四千年之久， 在古代，由于古 代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形， 在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形， 这些问题 的积累便形成了所谓古代球面三角学、古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角 的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 由于三角函数具有周期性，所以并 不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在

2、物理学中 也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单信函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、 交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决 有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决， 如天气预报、建筑设计、 航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问 题应用极广、渗透能力很强。停车场设计问题如图ABCDt一块边长为100m的正方形地皮，其中 ATPN一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其 余部分都

3、是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边 落在BC与CD上的长方形停车场PQCR ,求长方形停车 场PQCR面积的最大值和最小值。分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP ,延长RP交AB于M .若直接设RP的长度为x ,则PM = 100 x ,在R APM中, AM =河 一(100 x)2, 从而得 PQ = MB =100-7902 -(100-x)2 ,S = (100-/902 (100 x)2 ) - x,虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值 比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。解：如上添加辅助线，设NPAB =9(00<曰<90°),则 A

4、M =9 0 C o , PM =90sin3 RP = RM PM =100-90sinH,PQ=MB =100-90cos0, S=PQ PR = (100-90cos 6)(10090sin0)= 100009000(sin8+ cosO)比100 sin8 cos,设 sin 日 + cos6 =t(1<t< 72),贝2 t2 -110 2，10 2sin 8 cos =。代入化间得 S = (t) +950.故当 t=一 时，Smin = 950(m );299当 t =四 时，Smax = 14050- 900072 (m2)通讯电缆铺设问题13如图，一条河宽km,两

5、岸各有一座城市A和B, A与B的直线距离是4km,今需铺设一条电 缆连A与B,已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费是4万元/km,假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问 应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为AD+DB时费用最少，因为河宽 AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨设ZCAD=9.解：设/CAD =9（0900）,则 AD =secH,CB=, BD = tan8 ,总费用为 4-2 sin y =4 sec-2 tan- 2-15=42,15cosi问题转化为求u = 4 -2sin 6的最小值及相应的9值，cos 1而 u = 2 snf表示点 P（

6、0,2）与点 Q（cos9,sin 日） cos11 斜率的一2倍（0日90°）,有图可得Q在-单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧 4切于点Q时，u取到最小值。此时Kpq=-V3,umin=2T3,日=±。即水下6 .3 电缆应从距B城（J15三）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值253+2而（万元）。注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函 数的有界性等方法。探索与思考：1 .你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2 .通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？食品包装问题某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，

7、决定对一种半径为1的糖果的外层包 装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：(1)外包装要呈一封闭的圆锥形状；(2)为减少包装成本，要求所用材料最省；(3)为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？ 如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面 半径AG母线PA及高PC,这些变量之间的关系可以通过一个 “角”把它们联系起来。解：如图，设/OAC=e,则OC=1,下底面半径R 、AC =R = cotH ,母线长 l =,局 h = Rtan 20,cos22 RS =

8、 Rl - R -二 R(-cos2 口21R) - - R (-cos212 .1)=二 cot F(1 +1)= 21 -tan tan %1 tan2 f1 21V 二一二 R2h 二33(1 -tan2 ('9.1HR2 Rtg2B 工gg2一 3二代十二；2tg2八1 -tg21)一.,2一 当且仅当tg2e=1tg2e,即tge=,时，能使S全和v同时取到最小值，此时R =板,h =2,即当圆锥的下底面半径和高分别为 后、2时能同时满足条件,外包装用料是8兀，体积是8 n3营救区域规划问题如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口 A, 一机艇以60km/h的速度 从A出发，

9、30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后 又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。 如何去营救，用图示表示营救 的区域。分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立 直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角 8作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机 艇的最初航向的方位角为0 ,设OP方向前进m到达点P,然后向东前进n到达 点Q发生故障而抛锚。则m + n =30，令点Q的坐标为(x, y),x = msin【nj = mcos 日JT 睚叱.Aq2 =x2 +y2 =m2 +n2 +2mns

10、in8 <m2 + n2 +2mn = (m + n)2 = 900 0.机艇中途东拐，又Vx2 y2 < 900.x = (，y 二 s =、， m icmsinC ) n - m n =30, 4, x + y >30？满足不等式组和的点Q(x, y)所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示 探索与思考：1 .你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2 .通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意 义了吗？足球射门问题在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线 GC的直线EF助 攻到前场(如图，设球门宽 AB=a米，球门柱B到FE的距离BF =

11、b米)，那么 你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？(即射门角 /APB最大时为射门的最佳位置)？请你帮助左前锋回答上述问题。分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对 题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位 置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。若直接在非特殊LAPB中利用边来求上APB的最值，显得比较繁琐，注意到/APB =/APF/BPF ,而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。解： 如图， 设 FP=x, NAPB=a,NBPF =P(u、P为锐角)则/APF =a +P, tg(a + P)=tg : =tg： = tg(:-=tg(a + P)-tg

12、B 二 a1 tgG "；) tg -： (a b) bx x。若令 y=x+3, x贝U y 2Jx ,(a.b) b =2<(a+b) b ,x当 x = (ab)-b，即 x = J(a + b) b 时,y 取到 x最小值2<(a+b) b ,从而可知x=J(a+b) b时，tga取得最大值，即tg 二2 (a b )b时，a有最大值。故当P点距底线CD为J(a + b) b米时，为射门的最佳位置。依图像知，在白天的915时这个时间段可供冲浪爱好者进行 冲浪运动。点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型 y = Acoscot + k。另外，模拟汉书中的少数点有误

13、差是允许的。最值问题三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此 ， 三角函数的最值问题的求解，不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、 图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算 等众多知识。这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性。如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中 口：AST是一半径为AT = 90m的扇形小山，其余部分都是平一一、地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一N个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ, CR落在正方形的边BC

14、, CD上，求矩形停车场 PQCR面积的最大值和最小a 卜值。解：设 ZPAB =9,(00 <0 E900)，延长 RP交AB于M ,易得 PQ =MB =ABAM =10090cos日， RP = RM PM =10090sin 0 ,从而 S矩形PQCR =(100 90cosf)(100 90sini) =10000 9000(sini cos71) 8100sin/cosi t=sin日+cos日,(1 <t <22),则 S巨形pqcr =10000 9000t +8100 L二1 =4050(t - -)2 +950 ,故当 t =10 时，S巨形pqcr 29

15、9有最小值950m2;当t = ,2时，S矩形因或有最大值(14050-9000/'2)m2思维点拔引进变量e建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.一条河宽1km!两岸各有一座城镇A和B, A与B的直线距离是4kmI仅需在A B间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费 是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达 到最少？A图九解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C ,若从A到C再到B的线路铺设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并不合算。设在BC之间取一点D,CD = x（km）, /CAD =&则x

16、 = tan日，依题意知总施 工费用y（万元）的函数关系式为y = 4 1 x2 2（ .15-x）= 4,1 tan2 丁 2（15-tarr）,（0 三 tan - 15）2.2.y=4 8sl 2sin 12( 15-9)cosCOSUV4 -2sm 2 15 =2(2SM .15), coscosA 2 - sin 1 一.令 u =,贝U sin 日 + u cos6=2cos12(D有 sin1 =-u21|sinQ：)怪 1即 2-1,解得 u _ .3,u2 1当口 = .3时，贝U tan/=. 3,=，3由（1）知 sing ' :） =1即,2,8时,ymin =

17、2（6+屈）闻 11.2（万元）6I-即先从B镇沿河岸铺设地下电缆至距离B镇（屈-趣）km,处的D点，再从3D点向A镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为 11.2万元。把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？分析：如图所示：设，CAB=8,则 AB =2Rcos8,CB =2Rsin8S巨形ABCD =ABBC =2R2sin2- < 2R22当且仅当sin20 =1时，即一 4时，Smax =2R所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。生活中的实际问题：在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。(让学生探究解决

18、)在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：(1)是半径为10米的半圆；(2)是半径为10米，圆心角为60的扇形；(3)是半径为10米，圆心角为120的扇形；现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计, 使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。分析1:第一种情况，如图所示：连结 OC ,设/BOC =0 ,则 BC =10sinH , OB=10cosB,AB =2OB =20cosiS巨形=AB BC = 200sin cosu =100sin 2u7 sin 2 <1. S矩形-100即 2 L90-45这时 BO = AO -10cos45 -

19、5v2,BC =5.2此时，点A、D分别位于点。的左右方分析2:第二种情况，连结OC设/BOC=e,则 BC=10sin9, OB=10cosOA = BC cot 60、= - sin 713S巨形=AB BC-(OB-OA) BC10.3二 (10cos sin) 10sin100.3 . 2 -二100sin ? cos【sin _ 3= 50sin 2 -(1-cos2u)100x3 .小 二、50、. 3=sin(2 1)363当且仅当sin(2i )=16 时，即 Sm max6时，二5023分析3:如图所示：连结OB,设/AOB=e,贝j AB = 10sinH , S巨形=OA

20、 AB =100sin - cos-OA=10cosi二 50sin 2re当且仅当sin26 =1时，即 4时,Smax =50引导学生分析此题与引学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理;例中的题的联系。试试身手：（看谁做得快又准确）卜表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到 0.1小时）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期 位置 序号x15980117126172225263298355白昼 时间y （小 时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给 定坐标系中画出这些数据的散点图；（R）试选用一个形如y =Asin9x+cP）+t的函数来近似描述一年中白昼时间 y与日期位置序号x之间的函数关系.注：求出所选用的函数关系式；一年 按365天计算（田）用（H）中的函数模型估计该地一年中大约有多少大白昼时间大于15.9小时.8小时）Q 川弧 90 1加 IM 1 弭 210 240 Z7D 3DO 330 演解：（I）画散点图见下面（n）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y = Asin（ x +：；'） t由图形知函数的最大值