第十一章动量定理和动量矩定理

1、12动力学的研究内容：动力学的研究内容：研究物体运动变化与作用于物体上的力之间的关系研究物体运动变化与作用于物体上的力之间的关系动力学研究的模型：动力学研究的模型： 1、质点、质点 2、质点系、质点系自由质点系非自由质点系动力学研究的问题：动力学研究的问题：1、已知物体的运动，求作用于物体上的力；、已知物体的运动，求作用于物体上的力；2、已知作用于物体上的力，求物体的运动。、已知作用于物体上的力，求物体的运动。（刚体）（刚体）3动力学课程体系：动力学课程体系：1、经典动力学（矢量动力学）经典动力学（矢量动力学）牛顿第二定律牛顿第二定律动力学普遍定理动力学普遍定理达朗伯原理达朗伯原理2、分析力学

2、初步分析力学初步分析力学静力学分析力学静力学虚位移原理虚位移原理分析力学动力学分析力学动力学拉格朗日方程拉格朗日方程3、两种特殊的动力学问题两种特殊的动力学问题 碰撞碰撞机械振动机械振动（适用于惯性参考系）（适用于惯性参考系）4对对质点质点动力学问题：动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。建立质点运动微分方程求解。对对质点系质点系动力学问题：动力学问题： 理论上讲，理论上讲，n个质点列出个质点列出3n个微个微 分方程，联立求解它们即可。分方程，联立求解它们即可。实际的问题：实际的问题： 1、联立求解微分方程、联立求解微分方程（尤其是积分问题尤其是积分问题） 非常困难。非常困难。 2、大量的问

3、题中，不需要了解每一个质点、大量的问题中，不需要了解每一个质点 的运动的运动, 仅需要研究质点系整体的运动仅需要研究质点系整体的运动 情况。情况。本章本章我们开始研究我们开始研究动力学普遍定理动力学普遍定理（包括动量定理、包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理定理）。56 111 质点系的质量几何性质质点系的质量几何性质 112 动量和动量定理动量和动量定理 113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理 114 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程 115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心的动量

4、矩定理 116 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程第十一章第十一章 动量定理和动量矩定理动量定理和动量矩定理7质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。质点系质心质点系质心C点的位置点的位置： i iCm rrMCi iMrmr,ccccrx iy jz k设则MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,质心是表征质点系质量分布情况的重要概念。质心是表征质点系质量分布情况的重要概念。8 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置法来确定质心的位置

5、。 但是，质心与重心是两个不同的概念，质但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义心比重心具有更加广泛的力学意义。91、定义、定义2zi iIm r2zmIr dm（连续体）（连续体）刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。国际单位制中单位：国际单位制中单位：kgm22、转动惯量的计算、转动惯量的计算）积分法）积分法 适用于规则几何形状的均匀刚体适用于规则几何形状的均匀刚体10 xyzOxyzOa、均质圆环半径为均质圆环半径为R、质量为

6、质量为m， 对垂直于圆环平面且过中心对垂直于圆环平面且过中心O的的z轴轴 的转动惯量：的转动惯量：2zImRb、均质圆盘半径为均质圆盘半径为R、质量为质量为m， 对垂直于圆盘平面且过中心对垂直于圆盘平面且过中心O的的z轴轴 的转动惯量：的转动惯量：212zImRc、均质细杆长为均质细杆长为l、质量为质量为m， 对过质心且与杆轴线垂直的对过质心且与杆轴线垂直的z轴轴 的转动惯量：的转动惯量：2112zImlxz112）回转半径）回转半径若刚体的质量为若刚体的质量为m，对对z轴的转动惯量为轴的转动惯量为Iz则由式则由式 定义的长度称为定义的长度称为回转半径回转半径zzIm若已知刚体的回转半径，则刚

7、体转动惯量为：若已知刚体的回转半径，则刚体转动惯量为：2zzIm123）平行轴定理平行轴定理刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。方之乘积。2 zzIImdxzz2222111223zzlIImdmlmml例例1134）计算转动惯量的组合法）计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。例例

8、2钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R ； 求 IO 。盘杆OOOIII222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm141、质点的动量质点的动量质点的质量与速度的乘积质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是相同。单位是kgm/s。 pmv2 2、质点系的动量：、质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系中所有各质点的动量的矢量和。（质点系动量系主矢量）（质点系动量系主矢量）iipmvCi iMrmr两边对时间两边对时间t求导求导CiiMvmvCpMv15

9、dvmamFdt()dmvFdt微分形式微分形式质点的动量对时间的导数等于作用于质点的外力质点的动量对时间的导数等于作用于质点的外力()d mvFdt两边积分两边积分22112121()vtvtttmvmvFdtd mvFdt 积分形式积分形式在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量16设质点系由设质点系由n个质点构成，第个质点构成，第i个质点质量为个质点质量为mi，速度为速度为vi，所受外力为，所受外力为Fei，内力为，内力为F ii对质点系内任一质点对质点系内任一质点 i，()eiiiiidm vFFdt对整个质点系：对整个质点系

10、：() (0)ieiiiiiidmvFFFdt而eidpFdt微分形式微分形式2121teietppF dtI积分形式积分形式17投影形式：投影形式：)(eixxFdtdp)(eiyyFdtdp)(eizzFdtdp21)()(12tteixexxdtFIixpp21)()(12tteiyeyydtFIiypp21)()(12tteizezzdtFIizpp 质点系的动量守恒质点系的动量守恒若 则常矢量。若则常量。0,eiF0,eixFiipmvxiixpmv18则则 或或eCiMaFeCiMrF将将 代入到质点系动量定理，得代入到质点系动量定理，得CpMv()eCidMvFdt质心运动定理：

11、质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积，质点系的质量与质心加速度的乘积， 等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。主矢）。投影形式投影形式 eCxixeCyiyeCzizMaFMaFMaF19eiCixixeiCiyiyeiCizizm aFm aFm aF对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它无论它作什么形式的运动，作什么形式的运动， 质点系质质点系质心的运动可以设想把整个质点心的运动可以设想把整个质点系的质量都集中在质心上，系的质量都集中在质心上， 所所有外力也作用在质心上所产生有外力也作用在质心上所产生的运动的运动。

12、 刚体系统：刚体系统：eiCiim aFeCiMaF设第设第 i 个刚体个刚体 mi，vCi，则有则有Ci CiCi CiMrmrMrmrCiCiMama即即代入代入得得质心运动定理质心运动定理是动量定理的是动量定理的另一种表现形式另一种表现形式20只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。eCiMaF质心运动定理：质心运动定理：若存在若存在 则则 常量，常量，质心在质心在x 轴的位置坐标保持不变。轴的位置坐标保持不变。00CxvCx 0eiF 0 , CCav

13、若，则若，则 常矢量常矢量，00Cv若开始时系统静止，即若开始时系统静止，即 则常矢量则常矢量,质心位置守恒。质心位置守恒。Cr 0eixF0 , CxCxav若，则若，则 常量，常量，质心沿质心沿x方向速度不变；方向速度不变；2122232425tW1W2O1O2xyFyFx26解：解：解法一解法一：动量定理动量定理3、运动分析：、运动分析： 定子质心速度定子质心速度v1=0， 转子质心转子质心O2速度速度v2=e， 方向垂直于方向垂直于O1。 v2x=-esin (t)， v2y=ecos (t)1、取整个电动机为研究对象取整个电动机为研究对象2、受力分析受力分析1220(sin)sinx

14、pmmetm et 2cosypm ettW1W2O1O2xyFyFx2v274、由动量定理由动量定理eidpFdtexixdpFdt2(sin)xdm etFdt22cosxFm et eyiydpFdt212(cos)ydm etFm gm gdt2212sinyFm etm gm g tW1W2O1O2xyFyFx28解：解：解法二解法二：刚体系统的质心运动定理刚体系统的质心运动定理3、运动分析：、运动分析： 定子质心加速度定子质心加速度a1=0， 转子质心转子质心O2的加速度的加速度a2=e2， 方向垂直于方向垂直于O1。 a2x=-e 2 cos (t)， a2y=-e 2 sin(

15、t)1、取整个电动机为研究对象取整个电动机为研究对象2、受力分析受力分析tW1W2O1O2xyFyFx2a294、由质心运动定理由质心运动定理eiCiim aF22cosxFm et 212120sinymm etFm gm g 2212sinyFm etm gm g tW1W2O1O2xyFyFx2aeiCixixm aF2120cosxmm etF eiCiyiym aF30解：解：解法三解法三：质心运动定理质心运动定理tW1W2O1O2xyFyFx2212sincyCmayetmm 质心位置及加速度质心位置及加速度 eCxixeCyiyMaFMaF利用利用3132tW1W2O1O2xy3

16、3W1W2O1O2tW1W2O1O23435tW1W2O1O22212sin0yFm etm gm g 122()sinmm gm et22tk最易跳起最易跳起12min2()mm gm e363738113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理引例引例均质圆轮绕均质圆轮绕O轴做定轴转动，轴做定轴转动，已知重为已知重为W,半径为半径为R,在一力偶在一力偶M作用下，以匀角加速度转动，作用下，以匀角加速度转动，试求：力偶试求：力偶M利用动量定理无法求解利用动量定理无法求解39113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理1、质点的动量矩质点的动量矩()

17、OOLMmvrmv1）质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩：质点对任一点质点对任一点O的动量矩为的动量矩为该质点动量对该质点动量对O 点的矩。点的矩。2）质点对质点对z轴的动量矩：轴的动量矩：()()zzOxyxyLMmvMmvmv d正负号规定与力对轴矩的规定相同正负号规定与力对轴矩的规定相同40113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理3）质点对点）质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：的动量矩之间的关系：OxxLL 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。2、质点系的动量矩质点系的动量

18、矩质点系动量系对质点系动量系对O点的主矩点的主矩称为称为质点系对质点系对O点的动量矩点的动量矩即：即：质点系中各质点对质点系中各质点对O点动量矩的矢量和点动量矩的矢量和()OOiiiiiLMmvrmv()zzi iOzLM mvL质点系对质点系对z轴动量矩：轴动量矩：动量系主矩动量系主矩质点系质点系动量系主矢动量系主矢动量动量动量矩动量矩41113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理3、刚体动量矩的计算刚体动量矩的计算1）刚体平动：刚体平动：OiiiLrmv（各点速度相同）（各点速度相同）iCvv()()i iCi iCmrvmrv()zzCLMmv平动刚体对固定点（

19、轴）的动量矩等于平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质量全部集中在质心对该点（轴）的动量矩。刚体质量全部集中在质心对该点（轴）的动量矩。Ci imrmrOCCLrmv()CM mv42113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理2）刚体定轴转动：刚体定轴转动： （研究对转轴的动量矩）（研究对转轴的动量矩）()zziiLMmv2iiii izmrIr rmiivr定轴转动刚体对转轴的动量矩等于定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴

20、的动量矩，等于刚体随同质心作平动时的动量矩与动量矩，等于刚体随同质心作平动时的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。绕质心轴作转动时的动量矩之和。3）刚体平面运动：刚体平面运动： （特例）（特例）()zzCCLm mvI43113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理例例5、 滑轮滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮滑轮B：m2，R2，I2 ；物体物体C：m3 已知物体速度为已知物体速度为v3 求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。11222321RRvv1223232222()OIILmmR vRROCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmRv

21、mII解解：44113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理1、质点的动量矩定理质点的动量矩定理()d mvFdt两边左叉乘两边左叉乘r()d mvrrFdt()()ddrd mvrmvmvrdtdtdt 0drmvdt()()dd mvrmvrdtdt45113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理得：得：()drmvrFdt又又()OMmvrmv( )OMFrF()( )OOdMmvMFdt（O为固定点）为固定点）质点的动量矩定理：质点的动量矩定理： 质点对任一固定点的动量矩对时间的一阶导数，质点对任一固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用

22、在质点上的力对同一点之矩。等于作用在质点上的力对同一点之矩。46113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理投影形式：投影形式：()( ), ()( ), ()( )xxyyzzdddMmvMFMmvMFMmvMFdtdtdt质点对固定轴的动量矩定理：质点对固定轴的动量矩定理： 质点对任一固定轴的动量矩对时间的一阶导数，质点对任一固定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。等于作用在质点上的力对同一轴之矩。质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒1、若若( )0 OMF 则则()OMmv 常矢量常矢量 ( )0zMF 2、若若()zMmv 常量常量则则例：

23、例：质点受有心力的作用质点受有心力的作用47113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理2、质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 设质点系由设质点系由n个质点构成，第个质点构成，第i个质点质量为个质点质量为mi，速度为速度为vi，对固定点，对固定点O的矢径为的矢径为ri所受外力为所受外力为Fei，内力为内力为F ii；对质点系内任一质点对质点系内任一质点 i，由对固定点的动量矩定理：由对固定点的动量矩定理：()eiiiiiiiidrmvrFrFdt (1,2,3, )in对整个质点系：对整个质点系：111()nnneiiiiiiiiiiidrmvrFrFdt48113

24、动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理11()()nniiiiiiOOiidddrmvrmvLLdtdtdt1()neeiiOiOirFMFM1niiiirF外力系对点外力系对点O的主矩的主矩内力系对点内力系对点O的主矩的主矩()0iOMF()eOOiOLMFM质点系对固定点的动量矩定理：质点系对固定点的动量矩定理： 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。主矩）。49113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和

25、矩心为定点的动量矩定理投影形式：投影形式：();();()eeexxixyyiyzzizLM FM LM FM LM FM 质点系对固定轴的动量矩定理：质点系对固定轴的动量矩定理：质点系对任一固定轴质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。变质点系的动量矩。 质点系的动量守恒质点系的动量守恒 若若 则常矢量。则常矢量

26、。 若若 则则 常量。常量。()0,eOOiMMFOL ()0,exxiMMFxL 50113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理51113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理52113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理OABr1r2(a)53113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理54113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理3、运动分析：、运动分析：1、取整体为研究对象取整体为研究对象2、受力分析受力分析解：解：BOAr1r2yA物块速度物块速度为v1， B

27、物块速度物块速度为v2设轮设轮O转动角速度为转动角速度为，角加速度为角加速度为()ezziLM F55113 动量矩和矩心为定点的动量矩定理动量矩和矩心为定点的动量矩定理BOAr1r2y56114 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程把质点系动量矩定理应用于把质点系动量矩定理应用于刚体定轴转动刚体定轴转动 设刚体在主动力系作用下设刚体在主动力系作用下 绕定轴绕定轴z转动，刚体对转动，刚体对轴轴z的转动惯量为的转动惯量为Iz ，某瞬时角速度为某瞬时角速度为。则刚体对轴则刚体对轴z的动量矩为的动量矩为Lz=Iz 应用动量矩定理应用动量矩定理()ezziLM F()()ezzidIM Fdt

28、()()eezzizziIM FIM F或刚体定轴转动微分方程：刚体定轴转动微分方程：57114 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程解决两类问题解决两类问题：1、已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律（角、已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律（角 加速度）。加速度）。2、已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。、已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。()()eezzizziIM FIM F或适用于定轴转动刚体适用于定轴转动刚体58115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心

29、的动量矩定理OxyziriFivirOrim质点系中任一质点的质量为质点系中任一质点的质量为mi，对定点的矢径为对定点的矢径为ri，绝对速度为绝对速度为vi而对于任一动点的矢径为而对于任一动点的矢径为ri动点动点O的矢径为的矢径为rOiOirrr质点系对原点质点系对原点O的动量矩为：的动量矩为：OiiiLrmv将上式代入将上式代入()OiOiiiiiOiiLrrmvrmvrmvO59115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心的动量矩定理()()OiiiOiiLrmvrmv其中：其中：()OiiiLrmv()OiiOiirmvrmvOCrMvOOOCLLrMv若若O为质点系质心，则为质点系质心，则

30、OCrrOCCCLLrMv平面运动刚体对定点平面运动刚体对定点O的动量矩的动量矩OCCCLrMvIOxyziriFivirOrimOOxyziriFivirCrimC60115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心的动量矩定理xyz()CiiiLrmvvi为绝对速度，应用不方便为绝对速度，应用不方便OxyziriFivirCrimC建立以质心为原点，随质心平动的动系建立以质心为原点，随质心平动的动系iCivvv代入上式代入上式()CiiiiiCiLrmvrm vv()()iiCiiirmvrmv()i iCiiimrvrmv0i imrCiiiCrLrmvL质点系在绝对运动中对质心的动量矩等于质点

31、系质点系在绝对运动中对质心的动量矩等于质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。61115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心的动量矩定理二、矩心为质心的动量矩定理二、矩心为质心的动量矩定理()eOOiiLMrF质点系对固定点的动量矩定理：质点系对固定点的动量矩定理：iCirrr代入上式代入上式OCrCCLLrMv()()eCrCCCiidLdrMvrrFdtdt()eeCrCCCCCiiiLvMvrMarFrF其中：其中：0CCvMv又又eCiMaFeCriiLrF()eCiMF（质心运动定理）（质心运动定理）62115 矩心为质心的动量矩定理矩心为质心的动量矩定理质点系对