二维形式的柯西不等式

1、 大数学家柯西（Cauchy) 法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。 柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出版他的全集，至1970年已达27卷之多。 2221122abababab调和调和平均数平均数几何几何平均数平均数算术算术平均数平均数平方平方平均数平均数 我们来学习数学上两个有名的经典不等式我们来学习数学

2、上两个有名的经典不等式:柯西柯西不等式与排序不等式不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222 abcd联联 想想思考思考:阅读课本第阅读课本第31页探究内容页探究内容若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:222222222222222)()(bd)(ac )(

3、:bdacbcadcbdadbcadcba 证证明明你能证你能证明吗？明吗？若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2 +b2)(c2 +d2)(ac +bd)2当且仅当当且仅当ad =bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式）:bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二维形式的柯西不等式的变式二维形式的柯西不等式的变式: :上面两个不等式等号何时取到何意义是什么？探究：柯西不等式的几,.xOya bc d如图，设在平面直角坐标系中有向量与 之间的夹角为xyO22222)()(bdacdcba定理定理2: （柯西不等式的向量

4、形式）柯西不等式的向量形式） 设设 是两个向量是两个向量,则则, 当且仅当当且仅当 是零向量是零向量,或存在实数或存在实数 ,使使 时时,等号成立等号成立.kkxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0 xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根据两点间距离公式以及三角形的根据两点间距离公式以及三角形的边长关系边长关系:观察观察你能写出这个定理的证明？你能写出这个定理的证明？221221222221212211)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么设设二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理221221222

5、1212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 证明证明22122122222121)()(yyxxyxyx 22122122222121)()( yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxzyxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一

6、一般般形形式式的的三三角角不不等等式式二、二维柯西不等式应用二、二维柯西不等式应用2332244)()(, 1babababa 证证明明为为实实数数已已知知例例22 ,()()a bRab abb aa b证明变式2:22 ,()()a bRab aba ab b证明变式1: 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！位，简洁明了！3 : 110yxx 例求函数的最大值.5110:2 yxx 变式1 求函数的最大值例3变式1解：函数的定义域为解：函数的定义域为【1，5】，且，且y0 36427)5()1()2(552152222xxxxy36时，

7、等号成立，即时，等号成立，即时，函数取最大值为时，函数取最大值为27127x的最大值的最大值求函数求函数变式变式1 1：xxy21015 解：函数的定义域为解：函数的定义域为【1，5】，且，且y0 36427)5()1()2(552152222xxxxyxx551227127x36当且仅当当且仅当时，等号成立，即时，等号成立，即时，函数取最大值为时，函数取最大值为练习：22221.1,| cossin| 12.2x36,211ababyxy已知求证已知求证 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且

8、若若当堂检测当堂检测2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大则则满足满足设实数设实数yxPyxyx AB311小结小结:222221 ( ) ()()() ( , , ,),. abcdacbda b c dRadbc 二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式 当当且且仅仅当当时时等等号号成成立立(4). 柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(22122122222121)()( (5) yyxxyxyx二维形式的三角不等式2222131323232221251( ) ()()()() (x)()xx