2001年全国初中数学联赛试题

1、20012001 年全国初中数学联赛年全国初中数学联赛一、一、选择题（每小题选择题（每小题 7 分，共分，共 42 分）分） 1、a，b，c 为有理数，且等式为有理数，且等式成立，则成立，则 2a+999b+1001c 的值是（的值是（ 62532cba）（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定）不能确定 2、若、若，且有，且有 5a2+2001a+9=0 及及，则，则的值是（的值是（ ）1ab05200192bbba （A）（B）（C）（D）59955200192001 3、已知在、已知在ABC 中，中，ACB=900，ABC=150，BC=1，则，则 AC 的长为（的长为

2、（ ） （A）（B）（C）（D）32 32 3023 4、如图，在、如图，在ABC 中，中，D 是边是边 AC 上的一点，下面四种情况中，上的一点，下面四种情况中，ABDACB 不一定成立不一定成立的情况是（的情况是（ ） （A） （B）BDABBCADACADAB2 （C）ABD=ACB （D）BDACBCAB 5、在实数范围内，一元二次方程在实数范围内，一元二次方程的根为的根为；在在ABC02cbxaxaacbbx242中，若中，若，则，则ABC 是锐角三角形；是锐角三角形；在在ABC 和和中，中，a，b，c 分别为分别为222ABBCAC111CBAABC 的三边，的三边，分别为分别为的

3、三边，若的三边，若，则，则ABC 的面积的面积 S 大于大于111,cba111CBA111,ccbbaa的面积的面积。以上三个命题中，假命题的个数是（。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）111CBA1S （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过如一次购物不超过 200 元，则不予折扣；元，则不予折扣；如一次购物如一次购物超过超过 200 元但不超过元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过如一次购物超过 500 元的，其中元的，其中 500 元按元按第第条给予优惠，超过条给予

4、优惠，超过 500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和元和 423 元；元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8 元（元（B）510.4 元（元（C）560.4 元（元（D）472.8二、填空题（每小题二、填空题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 1、已知点、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（在直角坐标系中的坐标为（0，1） ，O 为坐标原点，为坐标原点，QPO=1500，且，且 P 到到 Q 的距的距离为离为 2，则，则 Q 的坐标为的坐

5、标为 。 2、已知半径分别为、已知半径分别为 1 和和 2 的两个圆外切于点的两个圆外切于点 P，则点，则点 P 到两圆外公切线的距离为到两圆外公切线的距离为 。 3、已知、已知是正整数，并且是正整数，并且，则，则= 。yx,120,2322xyxyxxyy22yx 4、一个正整数，若分别加上、一个正整数，若分别加上 100 和和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。三、三、 解答题（共解答题（共 70 分）分）1、 在直角坐标系中有三点在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直线；已知直线上横坐标为上横坐标为

6、baxy0、1、2 的点分别为的点分别为 D、E、F。试求。试求的值使得的值使得 AD2+BE2+CF2达到最大值。达到最大值。 （20 分）分）ba,（1）证明：若证明：若取任意整数时，二次函数取任意整数时，二次函数总取整数值，那么总取整数值，那么都都xcbxaxy2cbaa,2是整数；是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。 （25 分）分） 3、如图，、如图，D，E 是是ABC 边边 BC 上的两点，上的两点，F 是是 BC 延长线上的一点，延长线上的一点，DAE=CAF。 （1）判断判断ABD 的外接圆与的外接

7、圆与AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若）若ABD 的外接圆的外接圆的半径的的半径的 2 倍，倍，BC=6，AB=4，求，求 BE 的长。的长。解答题：解答题：1、 如图，如图，EFGH 是正方形是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线的内接四边形，两条对角线 EG 和和 FH 所夹的锐所夹的锐角为角为，且，且BEG 与与CFH 都是锐角。已知都是锐角。已知 EG=k，FH= ，四边形，四边形 EFGH 的面积为的面积为 S。 l （1）求证：）求证：sin=；klS2 （2）试用）试用来表示正方形的面积。来表示正方形的面积。Slk ,2、 求所有的正整数求所有的正整数 a，b，c，使得关于，使得关于 x 的方程的方程， 0232baxx0232cbxx的所有的根都是正整数。的所有的根都是正整数。0232acxx3、在锐角、在锐角ABC 中，中，ADBC，D 为垂足，为垂足，DEAC，E 为垂足，为垂足，DFAB，F 为垂足。为垂足。O 为为ABC 的外心。的外心。 求证：（求证：（1）AEFABC；（；（2）AOEF 4、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCD 中，中，AC 与与 BD 交于点交于点 O，直线，直线 平行于平行于 BD