物理竞赛(机械振动与机械波)

1、)(2cos xddtAy )2(2cos xdtA 1. 如图所示，在坐标原点如图所示，在坐标原点o 处有一波源，它所激发处有一波源，它所激发的振动表达式为的振动表达式为 ，该振动以平面波形，该振动以平面波形式沿轴正方向传播，在距波源式沿轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波处反射波的表达式为的表达式为 。tAy2cos 2. 有一半球形光滑的碗，小球有一半球形光滑的碗，小球在碗的球心处，在碗的球心处，小球小球 在碗壁离底部中心在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图点很近的地方，如图所示。现

2、同时从静止释放两个小球，所有阻力均所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均不计，则小球不计，则小球与与到达碗底到达碗底A点所需时间之比点所需时间之比为为 。12Rtg242TRtg12/0.9tt 3. 两个实验者两个实验者A和和B各自携带频率同为各自携带频率同为1000Hz的声源，的声源，声波在空气中的传播速度为声波在空气中的传播速度为340m/s。设。设A静止，静止，B以速以速率率20m/s朝着朝着A运动，则运动，则A除了能收到频率为除了能收到频率为1000Hz的的声波外，还能接收到频率为声波外，还能接收到频率为 Hz的声波；的声波；B除了能收除了能收到频率为到频率为1000Hz的声波外

3、，还能接收到频率为的声波外，还能接收到频率为 Hz的声波。的声波。3401000106334020uvuv 3402010001059340uvyvux 多普勒效应多普勒效应4 。某时刻的。某时刻的弦波弦波如图示，此时图中用实线示出的弦如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在段中，振动动能最大的部位在 处，振动势能最处，振动势能最大的部位在大的部位在 处。处。驻波的能量驻波的能量5。标准声源能发出频率为。标准声源能发出频率为250Hz的声波，一音叉与的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮

4、泥，则拍频增加，音叉的在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的固有频率固有频率 。将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在从零连续增加时，发现在L=0.34m和和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为据算得声波在空气中的传播速度为 。4)12( nln212 ll38. 1 6。驻波可看作两列行波叠加而成，右上角图中圆点。驻波可看作两列行波叠加而成，右上角图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表一维驻波的波

5、节位置，叉（）代表其波）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（序图（a）、（）、（b）、（）、（c）所示。试在各图中画出另）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。7.一波脉冲在弦上向一波脉冲在弦上向x正方向传播，正方向传播，t=0时刻的波形图如时刻的波形图如下所示，画出自下所示，画出自t=0时刻起，时刻起，P点的位移与时间的关系点的位移与时间的关系曲线曲线ty8.飞机在空中以速度飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频作水平飞行，它发出频率为率为 的声

6、波，静止在地面上的观察者在飞机的声波，静止在地面上的观察者在飞机飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s的时间内测出声波的频率由的时间内测出声波的频率由 降为降为 ，已知声波在空气中的速度已知声波在空气中的速度v=330m/s，由此可求出飞机，由此可求出飞机的飞行高度的飞行高度h= m。02000Hz02400Hz01600HzABMvvu解：由多普勒效应可知：解：由多普勒效应可知：10cosvvu20cosvvucos0.2750, cos0.4125ABMvvu11sinAMhttvv22sinBMhttvv 212111()sinsin

7、httttv21()()tt uABh ctgctg214tt31.034 10hm9.一维谐振子沿一维谐振子沿x轴作振幅为轴作振幅为A的简谐振动。求证：在的简谐振动。求证：在振动区间内任一振动区间内任一x处出现的概率密度（即处出现的概率密度（即x处附近无限处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）小区间内单位距离上振子出现的概率）221( )p xAx解：因振子在解：因振子在xx+dx区间内出现的概率正比于振子区间内出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔在上述区间的时间间隔dt与振动周期与振动周期T的比值，设比例的比值，设比例常量为常量为C，则有，则有pdx=Cdt/T| |dxdtvC

8、dtpdxT| |Cpv Tcos()xAt22| |sin()|vAtAx| |Cpv T22222CCpTAxAx由归一化条件：由归一化条件：2212AACdxAx2C221( )p xAx10.一房屋坐落在一条东西向公路的南面距公路一房屋坐落在一条东西向公路的南面距公路100m的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯号频率为号频率为60MHz，方向如图所示。一汽车沿公路自东，方向如图所示。一汽车沿公路自东向西匀速行驶，使屋内电视机讯号的强度发生起伏变向西匀速行驶，使屋内电视机讯号的强度发生起伏变化。当汽车行经房屋正北面化。当汽车行经房屋

9、正北面O点的瞬时，屋内电视讯点的瞬时，屋内电视讯号的强度起伏为每秒两次，求：汽车的行驶速率。号的强度起伏为每秒两次，求：汽车的行驶速率。,解：设解：设t时刻，汽车在位时刻，汽车在位置置C处，坐标如图所示，处，坐标如图所示，电视机接收到讯号的波电视机接收到讯号的波程差为程差为：BCCAcos()CACA221 cos()dxcos()coscossinsin2222cossinxddxdx22cossindxxd22cossindxxd22cos0dxdxdxdtdtdtdx0,cosvcosddxxdtdt 1vcosddt 2ddt22vcoscoscv11.5/m s11.由两根相距为由两

10、根相距为d竖直放置的棒状天线竖直放置的棒状天线O1和和O2组成的组成的天线阵列，可在水平平面内各向同性地发射波长为天线阵列，可在水平平面内各向同性地发射波长为、强度相同，但有一定相位差的无线电波。强度相同，但有一定相位差的无线电波。O1O2中点中点O与远方与远方A、B两镇连线间的夹角为两镇连线间的夹角为（v，则，则而后而后t时刻时刻B的接收频率的接收频率(t) ，从，从 t0到到t时刻期间，时刻期间，B接收的振动次数接收的振动次数N（t） 。多普勒效应多普勒效应振动次数振动次数 tdt)t ()t (N0 0BuvuSBvL24界（一）界（一）6. 在均匀介质中沿在均匀介质中沿x轴传播的平面简

11、谐轴传播的平面简谐波，因介质对波的能量吸收，波的平均能流密度大波，因介质对波的能量吸收，波的平均能流密度大小小I（x） 随随x衰减的规律为衰减的规律为I（x）I0ex，其中，其中I0为为x0处的处的I（x）值）值 为正常量。将为正常量。将x0处波的处波的振幅记为振幅记为A0 ，则，则x0处的振幅处的振幅A（x） 。保留介质和波的种类，改取球面简谐波，考虑到介保留介质和波的种类，改取球面简谐波，考虑到介质对波的能量吸收，将质对波的能量吸收，将r0处的振幅记为处的振幅记为A0，则，则rr0处处的振幅的振幅A（r） 。xeA)x(A 210 )rr(errA)r(A02100 u)x(A)x(I22

12、21 )urt (cosrrA000 平均能流密度平均能流密度球面简谐波方程球面简谐波方程24界（一）界（一）12. 微波探测器微波探测器P位于湖岸水面上方位于湖岸水面上方h处，处，发射波长为发射波长为 电磁波的射电星位于地平线上方电磁波的射电星位于地平线上方角角时，图中所示的直射波线时，图中所示的直射波线1与反射波线与反射波线2之间的波程之间的波程差差 。已知。已知h0.5m,=21cm,在在从接从接近零度开始增大的过程中，近零度开始增大的过程中，P接受到的信号第一次接受到的信号第一次达到极大值时，达到极大值时， 。 求波程差，从求波程差，从2向向1作作垂线，注意角度值。垂线，注意角度值。有

13、半波损失。有半波损失。 信号第一次达到极大信号第一次达到极大值时，相干加强，波值时，相干加强，波程差等于波长的整数程差等于波长的整数倍，倍，k1 12Ph湖面湖面分析：分析：波程差：波程差：sin(2 )sinsin222 sin2hhh 第一次达到第一次达到极大值：极大值：2 sin2sin4arcsinarcsin(0.105)6 14ohhh 22界（一）界（一）2.由由t0时振子的位置时振子的位置x0和速度和速度v0，可确，可确定临界阻尼振动定临界阻尼振动x（A1A2t）et，（其中，（其中为为已知量）中的待定常量已知量）中的待定常量A1、A2分别为分别为 。t0时振子加速度为时振子加

14、速度为a0 。t0时振子加速度为时振子加速度为1212222122()2tttttttxAA t edxvAeAeAtedtdvaAeAeAtedt 01012xAvAA 10200AxAvx2012002(2)aAAxv 22界（一）界（一）3. 在介质中传播速度在介质中传播速度u200cm/s，波，波长长100cm100cm的一列的一列平面简谐波，某时刻的一部分曲平面简谐波，某时刻的一部分曲线如图所示。已知图中线如图所示。已知图中P点坐标点坐标xP20cm，振动量，振动量P4cm4cm，振动速度，振动速度v vP12cm/s12cm/s，则可解得波动，则可解得波动振幅振幅A A 。x0点振

15、动初相位点振动初相位0 0 。设设P点振动方程：点振动方程：oPuxP20.54uTsTuTcos()sin()pPpPAtvAt 设设P点振动方程：点振动方程：cos()4sin()120pPpPAtvAt o oA A由旋转矢量法：由旋转矢量法：534PAcmarctg oPuxPP点振动方程：点振动方程：35cos(4)4ptarctg简谐波方程：简谐波方程：2035cos4 ()2004pxtarctg002030,0,4 (0)0.192004xtarctg22界（二）界（二）13. 匀质柱形木块浮在水面上，水中部匀质柱形木块浮在水面上，水中部分深度为分深度为h，如图所示。今使木块沿竖直方向振动，如图所示。今使木块沿竖直方向振动，过程中顶部不会浸没入水中，底部不会浮出水面，过程中顶部不会浸没入水中，底部不会浮出水面，不计水的运动，略去木块振动过程中所受阻力，不计水的运动，略去木块振动过程中所受阻力， 试求：振动周期试求：振动周期T。解：解： 证明：木块作的是简谐运动证明：木块作的是简谐运动h水水1 1hS2 2y2mgShg22()FS hy gmgSgy 合木块静止时，重力和浮力平衡木块静止时，重力和浮力平衡木块受