第十二章微分方程习题课

1、第十二章微分方程习题课一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 1高阶微分方程的定义高阶微分方程的定义( )( ,)0nF x yyy 2可降阶的高阶微分方程类型可降阶的高阶微分方程类型(1)( )( )nyf x (2)( ,)yf x y (3)( ,)yf y y 3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示出通解。解题方法

2、流程图如下图所示。解题方法流程图解题方法流程图逐次积分逐次积分),(yxfy 解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程),(yyfy 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程)()(xfyn特点特点:不显含不显含y转化为一阶方程转化为一阶方程),(pxfp 特点特点:不显含不显含x),(ncccxy21通解通解YesNo令令)(xPy 令令)(yPy 转化为一阶方程转化为一阶方程),(Pyfpp4. 典型例题典型例题【例【例1】求方程】求方程 的通解。的通解。 2xyyx 解：由于不显含解：由于不显含 ，令，令 ，则，则 y( )yp x yp 代入原方程整理得代入原方程整理得

3、21xppx 即即 ()1px 因此因此 2ypCxx 再积分一次，即得原方程的通解为再积分一次，即得原方程的通解为：2321123yCxxC 此解可以写成此解可以写成321213yxC xC 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 ( )yp x 【例【例2】求方程】求方程 (1)ln(1)x yyx 的通解。的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此

4、方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量所以可引入变量()yp x 将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含解：由于不显含 ，令，令 ( )yp x ，则，则 yp y代入原方程整理得代入原方程整理得(1)ln(1)x ppx 即即 ln(1)11pxpxx 为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程 利用公式得利用公式得11111ln(1)()1dxdxxxxpeedxCx ln(1)ln(1)1ln(1)()1xxxeedxCx 11( ln(1)1x dxCx 1ln(

5、1)11Cxx 即即 1ln(1)11Cyxx 积分得积分得 12()ln(1)2yxCxxC 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量所以可引入变量( )yp y 将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。x解：由于不显含解：由于不显含 ( )yp y ypp x,令令 ,则则 代入原方程整理得代入原方程整理得20yppp 所以所以0p 或或0ypp 当当0ypp 时，此方程为可分离变量的方程，时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：分离

6、变量得：dpdypy 【例【例3】求方程】求方程 2()0y yy 满足初始条件满足初始条件012xy 的特解。的特解。01,xy 积分得：积分得：1lnlnlnpyC 所以所以1Cpy 即即1Cyy 将将0011,2xxyy 代入得代入得112C ，从而，从而12yy 分离变量得：分离变量得：22yxC将将01xy 代入得代入得21C 所求方程的特解为：所求方程的特解为：21yx 特解为特解为1y ，含在，含在 内。内。21yx当当 时，即时，即0y 积分得积分得yC 0p 二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程1定义定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分

7、方程： 0ypyqy (2)二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程: ( )ypyqyf x2解的结构性质解的结构性质(1)若若 和和1y2y是齐次方程的解是齐次方程的解,则则1 122C yC y 是齐次方程的解。是齐次方程的解。(2)若若 1y和和 2y是齐次方程的线性无关解是齐次方程的线性无关解,则则 是齐次是齐次1 122C yC y 方程的通解。方程的通解。(3)若若 1 12 2Y CyC y 是齐次方程的通解，是齐次方程的通解，*y是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解，则则*Yy 是非齐次方程的通解。是非齐次方程的通解。和和 (4)若若 1y2y分别是非齐次方

8、程的特解，则分别是非齐次方程的特解，则12yy 是非齐次是非齐次 方程的特解。方程的特解。3. 非齐次方程的解题方法非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步： 1）写出特征方程并求根；）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解）求对应的齐次线性方程的通解 ;Y3）根据不同类型的自由项）根据不同类型的自由项 ( )f x，利用待定系数法求出，利用待定系数法求出一个特解一个特解 *y4）写出原方程的通解）写出原方程的通解 。 *Yy 解题方法流程图如下图所示解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图解题方法流

9、程图特征方程：特征方程：20rprq 有实根有实根12(cossin)xYeCxCx 的类型的类型( )f x混合混合型型对对 分别分别求特解求特解12( ),( )f x f x12*,y y*12yyy 令令 k为特征方程为特征方程含根含根 的重复次数的重复次数*( )kxmyx eQx 0 1 2(, , )k 代入原方程，用待定代入原方程，用待定系数法确定其参数系数法确定其参数令令 k为特征方程含根为特征方程含根 的重复次数的重复次数12*( )( )( )cos( )sinkxmmyx eRxx Rxxi0 1(, ).max( ,)kml n通解通解 *y Yy12rrYes12(

10、 )( )( )f xfxfxYes112()r xYCC x e Yes1,2riNo1212r xr xYC eC eNo1( )( ) ( )cos( )sinxlnf xf xe P xx P xxNo求求 通解通解( )ypyqyf x1( )( )( )xmf xf xepxNo4、典型例题、典型例题【例【例4】已知】已知 21xxyxee 2,xxyxee 23,xxxyxeee 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。及方程的表达式。 分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出分析：由二阶线性非齐次微分方程

11、解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。 解：因为解：因为 212xxyyee 13,xyye 是对应齐次方程是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根122,1rr ，特征方程为，特征方程为22 0rr 对应齐次方程为：对应齐次方程为：20yyy 对应齐次方程通解为：对应齐次方程通解为：212xxY CeCe 又因为又因为2xxxee 是非齐次微分方程的特解，将其代入是非齐次微分方程的特解，将其代入2( )yyyf x 有有222()()2() (1 2 )( )xxxxxx

12、xxeexeexeex ef x 所求的方程为：所求的方程为：2(1 2 )xyyyx e 通解为：通解为：212xxxy Y yCeCexe 【例【例5】求方程】求方程 325yyy 满足初始条件满足初始条件 (0) 1y , (0) 2y 的特解。的特解。 分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解. 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程， 它的特征方程它的特征方程 232 0rr 解得

13、两个不同的实根解得两个不同的实根 121,2rr 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 212xxYCeCe 由于由于 是是 型型(其中其中 )，且，且( ) 5f x ( )xmP x e ( ) 5, 0mP x 0 不是特征方程根，所以应设特解不是特征方程根，所以应设特解 0*yaea ，求出，求出( ),( )yy 把它们代入原方程，得把它们代入原方程，得 52a 得非齐次方程的通解为得非齐次方程的通解为 21252xxy YyCeCe 将初始条件将初始条件 (0) 1, (0) 2yy 代入，有代入，有121251222CCCC 解得解得 1275,2CC 所求的特解为所求的特解为

14、275522xxyee 【例【例6】求微分方程】求微分方程 323xyyyxe 的通解的通解 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程， 它的特征方程为它的特征方程为 232 0rr 解得两个不同的实根解得两个不同的实根 121, 2rr 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 212xxYCeC e 由于由于 是是 型型 ( ) 3xf xxe ( )xmP xe （其中（其中 ）( ) 3 , 1mP xx 且且 是特征方程的单根，是特征方程的单根，1 所以应设特解所以应设特解 001223b xbbx 解之，得解之，得 013,32bb 由

15、此求得一个特解为由此求得一个特解为比较等式两边的系数，得比较等式两边的系数，得 00123, 20bbb 22123+(3 )2xxxy Y yCeCexx e 01*()xyx b xb e 求出求出 把它们代入原方程，得把它们代入原方程，得 () ,()yy 【例【例7】求微分方程】求微分方程 25sin2xyyy ex 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 225 0rr ，其根为，其根为 1,21 2 ri 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12(cos2sin2 )xYe Cx Cx （其中（其中 ( ) 0,( ) 1,1,2lnP xP x ）,因为因为1 2 ii 是

16、特征方程根，所以应设特解是特征方程根，所以应设特解 *( cos2sin2 )xyxe Ax Bx 由于由于 ( )sin2xf xex 是是( ( )cos( )sin)xlneP xx P xx 型型( *)( cos2sin2 )( cos2sin2 )xxye Ax Bxxe Ax Bx ( 2 sin22 cos2 )xxeAxbx ( *)2 ( cos2sin2 ) 2 ( 2 cos2sin2 )xxye Ax BxeAx Bx 2( 2 sin22 cos2 )( 3 cos23 sin2 )xxxeaxBxxeAxBx 代入原方程，解之得代入原方程，解之得 1, 04AB

17、故特解为故特解为 *cos24xxyex 于是所求通解为于是所求通解为12(cos2sin2 )cos24xxxy e Cx Cxex 注：不能因为自由项只出现正弦项，而将注：不能因为自由项只出现正弦项，而将 *y设为设为 sin2xxe Bx。此例可理解为。此例可理解为 cos2x的系数为的系数为0 。 【例【例8】求微分方程】求微分方程 cosxyy ex 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 21 0r ，其根为，其根为 1,2 ri 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12cossinY Cx Cx 由于由于 ( )cosxf xex 根据特解结构原理，此方程的自由项根据特解结

18、构原理，此方程的自由项 ( )f x属于混合型，令属于混合型，令 12( ), ( ) cosxf xef xx 由于由于 是是 型型 1( )xf xe ( )xmP x e （其中（其中 ） ( ) 1, 1mP x 1 不是特征方程根，故可设不是特征方程根，故可设*1xyAe 所以所以*112xye ，求，求*1 ( )xyAe 代入原方程代入原方程xyy e 中，则有中，则有*1( ), xyAe 2,xxAee 1 2A 得得（其中（其中 ( ) 1,( ) 0,0,1lnP xP x ）,而而 ii 是特征方程根，故可设是特征方程根，故可设 *2 ( cossin )yx Bx C

19、x 又因为又因为 2( ) cosf xx 是是( ( )cos( )sin)xlneP xx P xx 型型求求 *2( )cossin(sincos )yBx Cx x Bx Cx *2( )2(sincos )(cossin )yBx Cxx Bx Cx 代入方程代入方程 cosyyx 中中 ,解得解得 10, 2BC ，所以，所以 *2sin2xyx 于是原方程的通解为于是原方程的通解为*12121cossinsin22xxy Y yyCx Cxex 【例【例9】求微分方程】求微分方程 22sinyyyx 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 221 0rr ，其根为，其根为 1

20、,21r 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12()xYCC x e 由于由于21 1( ) sincos22 2f xxx 属于混合型，可设特解为属于混合型，可设特解为*12*cos2sin2yyyA Bx Cx 代入原方程，并比较两边系数，得代入原方程，并比较两边系数，得 132, , 25025ABC 所以原方程的通解为所以原方程的通解为132*cos2sin22 5025yxx 从而从而121 32()cos2sin22 5025xyC Cxexx 【例【例10】设】设 ( )f x具有二阶连续函数，且具有二阶连续函数，且 (0) 0, (0) 1ff 已知曲线积分已知曲线积分 2(6 ( )sin(5 ( )( )cosxLxef xydxf xf xydy 与积分路径无关，求与积分路径无关，求 ( )f x分析：曲线积分分析：曲线积分 LPdx Qdy 与路径无关的充分必要条件是与路径无关的充分必要条件是PQyx 。故应首先分别求出。故