导数大题中不等式的证明题

1、导数大题中不等式的证明1. 使用前面结论求证(主要)2.使用常用的不等关系证明，有三种：ln 1 x x，sinx x, x ex 1。1、设函数 ( 为自然对数的底数 ) ，()(1)证明：；(2)当时，比较与的大小，并说明理由；(3)证明：()9x2、已知函数 f(x)2(a 0) 1 ax11)求 f(x)在 1,2 上的最大值；22)若直线 yx 2a 为曲线 y f( x) 的切线，求实数 a 的值；3)当 a 2 时，设 x1 ,x2, ,x142,2 ，且 x1+x2+x1414，若不等式 f(x1)+ f( x2 )+ +f ( x14)恒成立，求实数 的最小值a3、已知 f(

2、x) x (a 0),g(x) 2lnx bx,且直线 y 2x 2与曲线 y g(x)相切x(1)若对 1, )内的一切实数 x ，不等式 f (x) g(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围；2）当 a=1时，求最大的正整数 k ，使得对 e,3（e 2.71828 是自然对数的底数）内的任f (xk 1) 16g(xk )成立；意 k 个实数 x1, x2 , x3, ,xk都有 f (x1) f (x2)3）求证：4ii 1 4i 2 1ln(2n 1)(n N )4、已知函数 f （x） ax ln（1 x2）4（1）当 a时，求函数 f （x） 在（0, ） 上的极值；5（2）证明

3、：当 x 0 时， ln（1 x2） x；111（3）证明： （1 4 ）（1 4） （1 4） e （n N ,n 2,e为自然对数的底数） 2434n45、在平面直角坐标系 xOy上，给定抛物线 L:. 实数 p, q满足， x1,x2是方程的两根，记。（1）过点 （p0 0）作 L的切线交 y 轴于点 B。证明：对线段 AB上任一点 Q（p，q）有；（2）设 M（ a， b）是定点，其中 a，b满足 a2-4 b>0, a0。过 M （a，b）作 L的两条切线，切点分别为，与 y 轴分别交与 F,F'，线段 EF上异于两端点的点集记为 X 证明： M（ a, b） X ；3

4、）设 D= （ x,y）| y x-1, y（ x+1） 2- ，当点 （p,q）取遍 D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）6.设 a<1，集合（1）求集合 D（用区间表示）（2）求函数在 D内的极值点。7、设函数 f （x） （x 1）ex kx2（k R）（1）当 k 1时，求函数 f （x） 的单调区间；1（2）当 k （ ,1时，求函数 f（x） 在0, k 上的最大值 M8、设函数，其中，（1）求函数的定义域 D（用区间表示）；2）讨论函数在 D 上的单调性；3）若，求 D 上满足条件的的集合（用区间表示）9、已知二次函数 f x x2 ax m 1，关于 x的不等式 f

5、 x 2m 1 x 1 m2 的解集为 m,m 1 ，其中 m为非零常数 .设 g xfxx 1 .（1）求 a 的值；（2） k（k R）如何取值时，函数x g xk ln x1 存在极值点，并求出极值点；n（3）若 m 1，且 x 0 ，求证： g x 1n gx12n2( nN*).10、已知函数 f xx2 2x 1 ex （其中 e 为自然对数的底数）1）求函数 f （ x）的单调区间；2）定义： 若函数 h x 在区间 s,t同区间” 试问函数 f（x） 在 1,s t 上的取值范围为 s, t ，则称区间 s, t 为函数 h x上是否存在 “域同区间” ？若存在， 求出所有符合

6、条件的同区间”；若不存在，请说明理由12、已知函数 fa ln xbx(a, bR） 在点 1, f 1 处的切线方程为x 2y 2 0 .11、设 an 是函数 f xx3n2x 1 n N * 的零点（1）证明：0 an1；（2）证明：na13a2 L an n12 n 21）求 a,b 的值；2）当 x 1 时，0 恒成立，求实数 k 的取值范围；3）证明：当 n，且2 时， 1 1 L 1 2ln 2 3ln 3 n ln n3n2n22n2 2na13、已知函数 f x ln 1 xx2 x a 0 .2(1)若 f x 0 对 x 0, 都成立，求 a 的取值范围；2)已知 e为自

7、然对数的底数，证明：n N* ， e 1 12 1 22nn1 n2e.14、设函数 f (x) ex(ln x a) ， e是自然对数的底数， e 2.718 ， a R为常数 若 y f (x)在 x 1处的切线 l 的斜率为 2e，求 a 的值；1在的条件下，证明切线 l 与曲线 y f (x)在区间 (0, 1) 至少有 1个公共点；2若ln 2 , ln3是 y f (x)的一个单调区间，求 a的取值范围15、已知函数 f (x) ax， g(x) ln x，其中 a R, (e)1)若函数 F (x) f (x) g(x) 有极值 1，求 a的值；a的取值范围；2)若函数 G(x)

8、 f (sin( x 1) g(x)在区间 (0,1) 上为减函数，求3)证明：sin(k1)2ln 2 216、设函数 f (x) ln | x | x2 ax 。(1)求函数 f (x)的导函数 f '(x)；1f ( x )的单调递增区间；(2)若 x1, x2为函数 f ( x)的两个极值点，且 x1 x2，试求函数23)设函数 f(x)的点 C(x0,f(x0)( x0为非零常数)处的切线为 l，若函数 f (x)图象上的点都 不在直线 l 的上方，求 x0 的取值范围。1217、已知函数 f （x） ln x,g（x）ax2 bx，设 h（x） f （x） g（x）。2（1

9、）若 g（2） 2，讨论函数 h（x）的单调性；（ 2）若函数 g（x）是关于 x 的一次函数，且函数 h（ x）有两个不同的零点 x1, x2。求 b 的取值范围；求证： x1x2 e2218、 1 当 m 1时，求过点 0, 1 且与曲线 y g x x 1 相切的切线方程；2 求函数 y g x 的单调递增区间；ga3 若函数 y g x 有两个极值点 a ， b ，且 a b ，记 x 表示不大于 x 的最大整数， 试比较 sin gb与 cos g a g b 的大小19、已知定义在 2,2 上的奇函数 f (x)满足：当 x (0,2时， f (x) x(x 2) (1)求 f (

10、x) 的解析式和值域；(2)设 g(x) ln( x 2) ax 2 a ，其中常数 a 0试指出函数 F (x ) g ( f ( x ) 的零点个数；1若当1 是函数 F(x) g(f(x)的一个零点时，相应的常数 a记为ak，其中k 1,2,L ,n k7*证明： a1 a2 L an( n N )620、设函数gxln x 1 求函数gx的最大值；bx，是否存在实数 b ，使 2x 0 在 0, 上恒成立？若存在，求出 b的取值范围；若不存在，说明理由；3 证明：n k112k ln n 1 （ n 1 ， 2 ， ）k 1 k 2 1221、已知函数 f x ln x a()若 a

11、1, 证明 : 函数 f x是 0, 上的减函数；()若曲线 y f x 在点 1,f1 处的切线与直线 x y0 平行 , 求 a 的值；()ln x 1若 x 0, 证明:x( 其中 e 2.718281是自然对数的底数 ).2 x 22、已知函数 f (x) (a ln(x a) axR)1)当 a=0时，求函数 f ( x)的单调区间；2)当 a=1 时，设 h(x)2xf(x)，2的取值范围；i )若对任意的 x 0, ， h(x) kx2 成立，求实数 kx1 x22 2 恒成立.ii )对任意 x1 x21, 证明：不等式1 2h(x1 ) h(x1) x1 x223、设常数 a

12、>0，R，函数 f (x) x2(x a) (x a)3 .(1) 若函数 f ( x) 恰有两个零点，求 的值；(2) 若g( )是函数 f (x)的极大值，求 g( )的取值范围.x 1 x24、已知函数 f x aln x ， g x ex(其中 e 为自然对数的底数) x1(1)若函数 f x 在区间 0,1 内是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)当 b 0时，函数 g x 的图象 C 上有两点 P b,eb ，Q b,e b ，过点 P ，Q作图象 C 的切线分别记为 l1 ， l2 ，设 l1与l 2的交点为 M x0,y0 ，证明 x0 025、已知 a0，函数 f (

13、x) x 2a1)记 f (x)在区间 0，4 上的最大值为 g(a)，求 g(a) 的表达式；2)是否存在 a ，使函数 yf (x) 在区间 0,4 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由26、已知函数 f ( x) x x2 2ax a2 1,(a R)(1)当 a 1时，解不等式 f (x) x 1 ；(2)当 a 0时，求函数 f (x) 的单调区间；3)若在区间 (0,1上，函数 f (x) 的图象总在直线 y m(m R, m是常数)的下方，求 a的取值范围27、设函数 f x lnx, g x 2 a x 1 2f x .

14、1)当 a 1 时，求函数 g x 的单调区间；2)设 A x1, y1 ,B x2,y2 是函数 y f x 图象上任意不同的两点，线段 AB 的中点为 C x0,y0，直线 AB的斜率为 k.3）设 F x f xF x1 F x2证明： k f x0 ；b b 0 ，对任意 x1,x2 x11，求实数 b 的取值范围 .0,2 ,x1 x2，都有b128、已知函数 f (x) ln x ax ，对任意的 x (0, )，满足 f(x) f ( ) 0，xx其中 a,b 为常数(1)若 f ( x)的图像在 x 1处切线过点 (0, 5) ，求 a的值；2a( 2)已知 0 a 1，求证：

15、 f ( ) 0；23)当 f (x) 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围(1)若 f ( 1)0，且函数 f (x) 的值域为 0, )，求 f (x)；(2)设 F (x)f (x) , x 0 ， mn 0,m n 0,a 0，且函数 f (x) 为偶函数f (x),x 029、已知函数 f ( x)证明： F(m) F (n) 0；2ax2 bx 1, (a, b为实数， a 0, x R)3) 设 g(x)ln x 1,g( x)的导函数是 g(x), 当b 1 时， 证 明 ： 对 任 意 实数 x0，f(x) 1g (x) 1e2R )， g(x)ln( x 1)x230、已

16、知函数 f ( x) mx (m 2) ln x( mx1)讨论 f(x) 的单调区间；2)是否存在 m 0 时，对于任意的 x1 , x21,2 ，都有 f (x1) g( x2 ) 1恒成立？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由131、已知函数 f(x)x3 bx2 cx d，设曲线 y f (x)在与x轴交点处的切线为 y 4x 12，f (x)为 f (x) 的导函数，满足 f (2 x) f (x) (1)求 f (x) ；(2)设 g(x) x f (x) ，m 0，求函数 g(x)在0,m 上的最大值；(3)设 h(x) ln f ( x) ，若对一切 x 0,1 ，

17、不等式 h(x 1 t) h(2x 2)恒成立，求实数 t的取 值范围32、已知函数 g(x) 1ax3 2x2 2x，函数 f(x)是函数 g(x)的导函数 .3(1) 若 a 1，求 g(x) 的单调减区间；(2) 若对任意 x1,x2 R且x1 x2，都有 f(x1 x2) f (x1) f(x2) ，求实数 a的取值范围；(3) 在第( 2)问求出的实数 a的范围内，若存在一个与 a有关的负数 M ，使得对任意 x M,0 时 f(x) 4 恒成立，求 M 的最小值及相应的 a 的值 .x33、已知函数 f(x) ex kx,x R 1)若 ke，试确定函数 f (x) 的单调区间；2)若 k0 ，且对于任意 x R， f (| x|) 0 恒成立，试确定实数k 的取值范围；3)设函数 F(x)f (x) f ( x) ，求证： F (1)F (2)nF(n) (en 1 2)2(n N*) 1234、已知 f(x) ln(x 1),g(x)ax2 bx