§87 用单边Z变换解差分方程 Read

1、18.7 用单边用单边Z变换解差分方程变换解差分方程解差分方程的方法：解差分方程的方法：（1）时域经典法）时域经典法（2）卷积和解法）卷积和解法（3）Z变换解法变换解法2（一）复习（一）复习Z变换的位移特性变换的位移特性若若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、分别是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边双边右移序列时，它们的双边和单边Z变变换是不同的：换是不同的：（1）双边序列的双边）双边序列的双边Z变换变换(p79-p83)()()()()()()(zXzmnxZTzXzmnxZTznxzXnxZTmmnn3（2）双边左移序列的单边）双边左移序列的单边Z变换变换nnznu

2、nxzX0)()()(100100)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT4（3）双边右移序列的单边）双边右移序列的单边Z变换变换nnznunxzX0)()()(1010)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT因果序列是右移序列5（4）对于因果序列）对于因果序列x(n)()()(zXznumnxZTm0)(1mkkzkx10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT6（二）

3、用单边（二）用单边Z变换解差分方程的变换解差分方程的步骤和思路步骤和思路 x(n-r),y(n-k)均为右移序列均为右移序列 两边取单边两边取单边Z变换变换)()(00rnxbknyaMrrNkkMrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(初始状态若因果信号此项为零7例：?)(2) 1()()()() 1()(nyynuanxnxnbynynbzbzbzbzazazbabzbyzXzYbyzXzYbzzXzyzYbzzY211) 1()()() 1()()(1 )()1()()(111)(2)(1)()(1111nubbabazYZTnynnn完全解里面已含

4、有初始条件8例：?)(6)2(4) 1()(10)2(02. 0) 1(1 . 0)(nyyynunynyny110)1() 2()(02. 0)1()(1 . 0)(221zzzyyzzYzzyzYzzY28. 008. 0110)()02. 01 . 01 (121zzzzYzz1111 . 012 . 002. 0166. 0126. 9)(zzzzY)() 1 . 0( 2 . 0) 2 . 0(66. 026. 9 )(nunynn完全解98.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数一、定义：一、定义：（1）系统零状态响应的）系统零状态响应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之

5、比（2）系统单位样值响应）系统单位样值响应h(n)的的Z变换变换NkkMrrzpzzGzXzYzH1111)1 ()1 ()()()(0)()(nnznhzH10（1）定义一：系统零状态响应的）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比 若若x(n)是因果序列是因果序列, 则在系统零状态下：则在系统零状态下：)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrMrrrNkkkzazbzXzYzHzbzXzazY0000)()()()()(请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态11（2）定义二：系统单位样值响应）定义二：系统单位样值响应h(n)的的Z变换变换 激励

6、与单位样值响应的卷积为系统零状激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应态响应 由卷积定理由卷积定理)(*)()(nhnxny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH0)()(nnznhzH12二、对系统特性的影响二、对系统特性的影响 由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统单位样值响应 由极点分布决定系统稳定性由极点分布决定系统稳定性 由零极点分布决定系统决定系统频率特由零极点分布决定系统决定系统频率特性（性（8.9)13（1）由极点分布决定系统单位样）由极点分布决定系统单位样值响应值响应)()()()1 ()1 ()()(10101111111nupAnApzzAAFTzpz

7、zGFTzHFTnhnNkkkNkkkNkkMrr一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性kpZ)(nh14极点分布对极点分布对h(n)的影响的影响RezImzj113p15（2）由极点分布决定系统稳定性）由极点分布决定系统稳定性 系统稳定的充要条件是单位样值响应绝系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：对可和。即： 因果稳定因果稳定系统的充要条件为系统的充要条件为 ：h(n)是单是单边的而且是有界的。即：边的而且是有界的。即：因果因果稳定稳定nnh)(nnhnunhnh)()()()(非因果也可以稳定16)(nx)(nhkknxkhnhnxny)()()(*)()( Mnx)(

8、kkkhMknxkhny)()()()(kkh)(离散系统稳定的充是要条件为离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和绝对可和1700)()()(1nnnnhznhzHzfor对稳定的因果系统收敛域为：对稳定的因果系统收敛域为：1z全部极点位于单位圆内全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内位圆内。18例：已知因果系统的系统函数如下：例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？试说明该系统是否稳定？解：解：21111)(zzzzH)() 1()(23212321jzjzzzzH12, 12321

9、223211pjpjp临界稳定19例：已知系统函数如下，试说明分别在（例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：）两种情况下系统的稳定性： （1） （2）解：（解：（1） 因果系统，右边序因果系统，右边序列列 z10105 . 0 z z10)10)(5 . 0(5 . 9)(zzzzH10105 . 05 . 0)(zzzH)()10()5 . 0()(11nunhnn1105 . 0221zzz因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散20（2） 非因果系统，非因果系统， 右序右序 左序左序 有界有界所以，该所以，该非非因果系统，但是，是因果系统，但是，是稳定稳定的的

10、) 1()10()()5 . 0()(11nununhnn105 . 0 z1021作业 旧版：8-21（4），8-23（3）， 8-24（2） 新版：同上228.8 离散系统的频率响应离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？一、什么是离散系统的频率响应？定义一：单位样值响应的傅定义一：单位样值响应的傅立叶变换立叶变换定义二：离散系统在正弦序定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态响应列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定二、系统的频率响应的几何确定23定义一：序列的傅立叶变换定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的傅立叶变换：由由S_Z的映射来看，当的映射来看，当 ，

11、则，则 ，于是相当于自变量沿着于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，单位圆周变化，则：则：0js jTTjsTeeez1)()()()(jnnjnneXenxznxzXnnjjenxeX)()(序列的傅立叶正变换024序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换deeXnxedeeeXjdzzzXjnxjnjjzjjnjzn)(21)()()(21)(21)(111序列的傅立叶逆变换25连续信号和离散序列的傅立叶变换的连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较比较 连续连续 离散离散dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(26定义一：系

12、统频率响应即系统单位样定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换值函数的傅立叶变换 当当h(n)已知时，下列表达式表示系统频已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，率响应函数， 是以是以 h(n) 为加权系数，对各次谐为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。波进行加权或改变的情况（物理意义）。nnjjenheH)()()(jeH)(n)(nh)()()(*)(nhnrnhn27 系统的激励是系统的激励是 时，它的频谱覆盖了时，它的频谱覆盖了 的的 范围范围 于是系统的单位样值响应于是系统的单位样值响应 可以看可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果成对各次的谐波的滤波的总的

13、效果 )(n)(nh)()(nnx)(jeX1n)(nh)(jeH)()(jjeHeY反映了系统对整个频带的滤波作用28定义二：正弦序列及其作用下系统的定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比稳态响应的傅立叶变换之比)(sin)(1nAnx)(nh)(sin)(2nBnyss)(sin)(1nAnx)(sin)(2nBnyss1229)()()()()()(12)()()(12ABeHeABeeHeHjjjjj)()()(jjjeXeYeHje因为因为 是周期的，所以是周期的，所以 也是周期的，也是周期的，其周期为重复频率其周期为重复频率 。)(jeHTs230定义二的物理意义

14、把把 看成无数个窄带滤波器，每个滤看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是波器的幅频特性是 ，且对信号有，且对信号有相移作用相移作用 。)(jeH)(jeH)()()(12310s2sLPBPHPBSAP32二、系统的频率响应的几何确定二、系统的频率响应的几何确定)(1111)()()()()()(jjNkkjMrrjNkkMrreeHpezepzzzzHkrjkkjjrrjeBpeeAzeNkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)(33系统的频率响应的几何确定法系统的频率响应的几何确定法RezImzj1p2pje1z2z1122NkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)()(

15、)()(jjeeHzH34由几何法可以看出：由几何法可以看出：（1）z=0处的零极点对幅频特性处的零极点对幅频特性 没有没有影响，只对相位有影响影响，只对相位有影响（2）当）当 旋转某个极点旋转某个极点 附近时，附近时，例如在同一半径上时，例如在同一半径上时， 较短，则较短，则 在该点应当出现一个峰值，在该点应当出现一个峰值， 越短，越短， 附近越尖锐。若附近越尖锐。若 落在单位圆上，则落在单位圆上，则 ，则，则 处的峰值趋于无穷大。处的峰值趋于无穷大。（3）对于零点则其作用与极点的作用正好）对于零点则其作用与极点的作用正好相反相反。jez ipiBiB)(jeH)(jeHipip0iBip3

16、51pje低通1p1zje高通)(jeH)(jeH00361p2p带通)(jeH01p2p1zjeje)(jeH0带阻371p2prrr1r11z2z)(jeH全通T2T20)(jeHjeje靠近单位圆周的极点附近有尖峰38例：（8-34）)(nx1z1z1z)cos(2N1)cos(22N)(ny?)()4(?)3(?)()2(?)() 1 (jrkeHzpzHnh解)2() 1()cos(2) 1()cos()()(22nynynxnxnyNN39)()cos()cos(21)cos()cos(21)cos(1)(222212221212NNjjNNNNNezezzzzzzzzzzzH)(

17、cos)(2nunhNnNNjjNepepzz2221221)cos(01z2zRezImzj)(jeH02N2IIRDF40例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?因果系统的极点必须在单位圆内3282)() 1 (2zzzsH解)34)(12(2)(zzzsH432121pp极点在单位圆内, 系统稳定。432121ppRezjImz1412121252)1 (8)()2(zzzzsH解)2)(12() 1(8)(2zzzzsH22121pp有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。jImz21212ppRez14221111)()3(zzzsH解)231)(231()1(

18、1)1()(2jzjzzzzzzzsH2312, 1jp有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jImzRez1p2p143例：（8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应) 1()()(naynxnyjnenxnunx)()2()()() 1 (解)(1)1(111)(azzaazzazzazzzY1)() 1 ()()()1)(1zzzXazzzHzXazzY已知：)(11)(1)(nuanuaaanyn暂态解稳态解44jnenx)()2(jezzzX)(jjjjezeazazeaezzazzzY1)()()()()()(nueeaenuaeaanynjjjnj暂态解稳态解45例：（

19、8-31）已知系统函数如下：kzzzH)(求：（1）写出对应的差分方程； （2）画出系统结构图 （3）求系统的频率响应，并画出k=0, 0.5 , 1 三种 情况下系统的幅度响应和相位响应解)() 1()(nxnkyny)(11)()()()(1zXkzzXkzzzXzHzY)(nx1z)(nyk461)(1)(0) 1 (jeHzHk5 . 0)(5 . 0)2(jjjeeeHk1)(1)3(jjjeeeHkHHH)()(478.10 数字滤波器的基本原理和构成数字滤波器的基本原理和构成)()()(jjjeHeXeY)(jeX)(jeH)(jX)(1)(kssjkXTeXksjskXeHGT

20、Y)()()(1)(周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗48)(X)(jeX)(jeHsmmcc)(G1ksjskXeHGTY)()()(1)()(jeYmmmm49数字滤波器的构成数字滤波器的构成 一般差分方程一般差分方程 系统函数系统函数)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrzazbzXzYzH101)()()()()()(1010rnxbknyanyaMrrNkk50(1)递归式数字滤波器递归式数字滤波器(IIR)(a)直接式直接式)(nx1a) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyanyE1E1) 1( ny

21、)2( ny2aE1E10b1b2b0a) 1( nx)2( nx)(ny51（b）简化直接式）简化直接式)(nx1aE1E12a0a1b2b) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyany0b)(ny52简化直接式的证明：简化直接式的证明：MrrrNkkkMrrrNkkkzbzWzYzHzazXzWzHzHzHzbzazH02112101)()()(11)()()()()(11)()()()(1zXzHzW)()()(2zWzHzY53)()()(1knwanxnwNkkMrrrnwbny0)()(1aE1E12a0a1b2b0b)(ny)(nx)(nw) 1( nw) 2( nw541a2a0a1b2b0b)(zW1)(zzW1z1z2)(zzW)(zX)(zY)(11)()()(11zXzazXzHzWkkkMrrrzbzWzWzHzY02)()()()(55(c)级联形式级联形式kiizHAzH10)()(22112211111111)(11)(zazazbzbzHzazbzHiiiiiiii1zia1ib11zia1ib11zia2ib2)(1zH)(2z