一方向场积分曲线ppt课件

1、一、方向场一、方向场 积分曲线积分曲线 设设(1)(1)中右端的函数中右端的函数),(yxf在区域在区域D内内有定义，那么过有定义，那么过D内每一点内每一点),(yxM作一条以作一条以),(yxf为斜率的直线，并把向量为斜率的直线，并把向量 ),(, 1),(yxfyx 所指的方向定义为直线的方向所指的方向定义为直线的方向. .这样，对于这样，对于D内内每一点每一点),(yx, ,方方程程( (1 1) )都都确确定定一一个个方方向向与与之之对对应应，于于是是我我们们说说方方程程( (1 1) )在在D内内确确定定了了一一个个方方向向场场)1(),(yxfy 一一阶阶微微分分方方程程定义定义1

2、*第六节第六节 欧拉欧拉柯西近似法柯西近似法 过过D内内任任一一点点),(yxM,做做一一个个以以M为为起起点点长长度度等等于于 的的向向量量),(, 1),(1),(20yxfyxfyx 如如图图所所示示,可可形形象象地地表表示示方方向向场场.xoy定义定义2等斜线的方程为等斜线的方程为.),(Cyxf 在这条等斜线上的各点处在这条等斜线上的各点处, 1120CC 方方向向场场中中具具有有同同一一方方向向)(Cy 的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做方方程程( (1 1) )的的等等斜斜线线方向场画法方向场画法 适当画出若干条等斜线适当画出若干条等斜线,再在每条再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对

3、应的向量等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量0 ,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例1 1画出方程画出方程22yxy 所确定的方向所确定的方向解解方程的等斜线为方程的等斜线为,22Cyx , 2, 5 . 1, 1, 5 . 0, 0 C取取画出五条等斜线画出五条等斜线, 再在再在每条等斜线上适当选取每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向若干个点画出对应的向量量0,如图方向场如图方向场.xoy场表示图场表示图.xoy的积分曲线的积分曲线的曲线就是方程的曲线就是方程点处的方向一致，这样点处的方向一致，这样线方向都和方向场在该线方向都和方向场在该处的切处的切内的一条曲线在任一点

4、内的一条曲线在任一点如果如果)1(D定义定义3如图，如图，)1, 0(),0 , 0(),1 , 0( 的三条积分曲线的三条积分曲线经过点经过点根据方向场即可大致根据方向场即可大致描画出积分曲线描画出积分曲线二、欧拉二、欧拉- -柯西近似法柯西近似法问题问题: : 一阶微分方程的初值问题一阶微分方程的初值问题 ,),(00yyyxfyxx的解不能或不易用初等积分法求出时的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？怎么办？方法：近似积分法方法：近似积分法欧拉欧拉柯西近似法柯西近似法一阶微分方程初值问题的解存在及独一的一阶微分方程初值问题的解存在及独一的充分条件如下定理：充分条件如下定理：样的积分曲

5、线是唯一的样的积分曲线是唯一的上也连续，那末这上也连续，那末这在在线一定存在如果线一定存在如果的积分曲的积分曲通过点通过点上，微分方程上，微分方程闭区域闭区域的内点，那末在的内点，那末在是是上连续，点上连续，点在闭区域在闭区域右端的函数右端的函数设方程设方程定理定理DyfMDDyxMDyxf 0000)1(),(),()1(留意留意上上连连续续闭闭区区域域在在及及下下面面总总假假定定函函数数Dyxfyyxf),(),( 内内的的一一段段积积分分曲曲线线位位于于时时，对对应应，并并设设当当的的积积分分曲曲线线为为经经过过点点设设方方程程DHxxHxxyyxM 00000)(),()1( :,00

6、上作欧拉折线上作欧拉折线在在Hxx ，如图，如图轴的直线轴的直线作平行于作平行于，为步长；记为步长；记称称，等分，记等分，记把区间把区间), 2 , 1 , 0(,000nixxyihxxhnHhnHxxii 1x2x1 nxyxo0 xH；则则，交于点交于点，与直线，与直线段段为斜率的直线为斜率的直线作以作以，过点，过点值值求出函数求出函数上取点上取点在直线在直线001111110000000000),(),(),(yhyyyxMxxMMyMyyxfyxMxx ；，则则于于点点，交交直直线线为为斜斜率率的的直直线线段段作作以以，过过点点求求出出函函数数值值)(),(),(1001122222

7、2111111yyhyyhyyyxMxxMMyMyyxf 1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M如此一段接一段地如此一段接一段地作下去，得一条折线，作下去，得一条折线，称欧拉折线称欧拉折线 .),(,),(,),()(11112111110000nnnnnnxxxxxyyxxxxxyyxxxxxyyxy 方程为方程为).,(,)(,100110iiiiiiiiyxfynHhhyyyhyyyihxx 其其中中函数函数表示表示的一个表（函数表）来的一个表（函数表）来可列出可列出)(,xyyxnii 留意留意内，且内，且于于应位应位折线折线)()(lim

8、)()(00 xxDHxxxxynnn 初值问题的近似解初值问题的近似解例例2 2，计算到四位小数，计算到四位小数取步长取步长的近似解的近似解上求初值问题上求初值问题在在)1 . 0(,11 , 0022 hyyxyx解解.1 . 011 . 01 . 022110iiiiiiyxyyyyyixh ，列表计算如下列表计算如下.,数数表表两两列列就就表表示示近近似似解解的的函函其其中中iiyxiixiyiy 1247035689101 . 02 . 04 . 07 . 00 . 03 . 05 . 06 . 08 . 09 . 00 . 19000. 0 8094. 0 6474. 0 4176. 0