第六节微分中值定理ppt课件

1、中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 ( (第七节第七节) )推广推广第六节第六节 第十二节第十二节 第六节第六节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理设设函函数数)(xf在在点点 0 x的的某某邻邻域域),(

2、0 xU内内 有有定定义义并并且且在在 0 x处处可可导导，如如果果对对任任意意 的的),(0 xUx ，有有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 则则 .0)(0 xf 1.引理费马引理费马(Fermat)定理）定理） xyo0 x.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点(或称为临界点，稳定点或称为临界点，稳定点), 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则则有有, 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则则有有; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx ; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx . 0)(

3、0 xf便便得得到到再再由由极极限限的的保保号号性性可可导导的的条条件件在在根根据据,)(0 xxf证明证明:).()(,),(00 xfxfxUx 时时不不妨妨设设 有有于于是是，对对于于),(00 xUxx ,0)()(00 xfxxf 2. 罗尔罗尔Rolle定理定理 则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f() =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b)证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有

4、有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx ; 0)()(lim)(0 xfxffx ,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有2. 罗尔罗尔Rolle定理定理 则在则在 (a,b) 内至少存在

5、一点内至少存在一点 ，使，使 f() =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b).3 , 132)(12定理定理满足满足上上在区间在区间验证验证例例Rollexxxf 物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy C.,)(的的在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点则则弧弧处处纵纵坐坐标标相相等等、点点在在连连续续光光滑滑曲曲线线CA

6、BBAxfy 3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：、罗尔定理还指出了这样的一个事实：假设假设 f (x) 可导，那么可导，那么 f(x)=0 的任何两个实根之的任何两个实根之间，至少有间，至少有 f(x) =0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不求导数不求导数, , 判断函数判断函数 f(x) = (x f(x) = (x 1) (x 1) (x 2) (x 2) (x 3)3)的导数的导数f f(x)(x)有几个零点及这些零点所在的范围有几个零点及这些零点所在的范围. .4. 注意注意 a. 若罗尔定理的三个条件中有一个不满若罗尔定理的三个条件中有一个不满足足,其结论可能不成立其结论可能不

7、成立.例如例如 1,010,)()1xxxxf1 ,1,)()2 xxxfx1yo11 ,0,)()3 xxxfx1yob. 罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有即若有一个不满足一个不满足,其结论也可能成立其结论也可能成立.例如例如,31), 1,1, y(-1)y(1)yxx 2202)( )00 (1)0.202xxf xxfxxx罗尔定理的主要应用罗尔定理的主要应用证明中值的存在证明中值的存在. . .10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx例例4 4例例3 3.) 1 , 0(23423内至少有一个实根在证明方

8、程cbacxbxax说明说明: :证明证明 在在 内有根用零点定理内有根用零点定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用罗尔定理内有根用罗尔定理. .0)( xf),(ba关键技巧关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用若希望用Rolle定理证明方程定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，根的存在性，则构造的辅助函数则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式应满足关系式F(x) = f(x) 及及Rolle定理条件定理条件.例例5 5.)()(), 0(:, 0)(, 1)0(, ), 0(, 0)( ffaaffaDaCxf 使使至少存在一

9、点至少存在一点证明证明设设令令 F(x)=xf(x).0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa满满足足少少存存在在一一个个内内至至在在证证明明练练习习：设设231120( )0231nnaaaf xa xxxxn令例例3 3.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 证证由由Rolle定理知定理知,)()(234xcbacxbxaxxf 设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf,)1 , 0()(可导可导在在xf. 0)1()0( ff且且. 0)(),1 , 0(00 xfx使使.)1 , 0(0内内

10、的的实实根根即即为为方方程程在在x说明说明: : 证明证明 在在 内有根用零点定理内有根用零点定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用罗尔定理内有根用罗尔定理. .0)( xf),(ba例例4 4.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之

11、之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.0为唯一实根x即即 为方程小于为方程小于1的正实根的正实根.0 x.0)()()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)(fgfgbabaDbaCxgbfafbaDbaCxf使证明：至少存在一点设推广推广:.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至至少少存存在在一一点点证证明明设设例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至至少少存存在在一一点点证证明明设设

12、例例.)()(,)(:,)(的零点的零点一定有一定有的两个零点之间的两个零点之间在在证明证明可导可导设设例例xfxfxfxf （即例（即例6 6）设设,0)()(2121xxxfxf 欲证欲证:, ),(21xx 使使0)()( ff只要证只要证0)()( ff e e亦即亦即0 )( xxxfe作辅助函数作辅助函数, )()(xfexFx 验证验证)(xF在在,21xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.提示提示:使使* 3) Rolle定理可推广为定理可推广为)(xfy 在在 ( a , b ) ( a , b ) 内可导内可导, , 且且 )(limxfax)(limxfbx 在在(

13、a , b ) ( a , b ) 内至少存在内至少存在一点一点, . 0)( f证明提示证明提示: : 设设证证 F(x) F(x) 在在 a , b a , b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理 . . )(xFaxaf , )(bxaxf , )(bxbf , )(二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf 结结论论亦亦可可写写成成则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagran

14、ge 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.作辅助函数作辅助函数证明：证明：,)()()()(xabafbfxfxF , ,)(baCxF 则则有有, ,)(baDxF , )()()()(bFabbfaafbaF ,)(上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在即即baxF.0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 故故有有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意 拉氏公式精确地表达了函

15、数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:证明二证明二 P122.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧.Lagrange1 , 0arctan)(中中值值定定理理的的条条件件上上满满足足在在验验证证xxf 例例1,),()(内内可可导导在在设设baxf,)()()(00 xfxfxxf有有, ,00baxxx 00.xxx 其中介于与之间,),()(内内可可导导在在设设ba

16、xf, ,00baxxx , )10(0 xx记记则有则有, )10()()()(000 xxxfxfxxf即即. )10()(0 xxxfy增量增量 y y 的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理拉格朗日中值定理也称为微分中值定理两个结论两个结论:(1) 设设 f (x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)=0，那么，那么 f(x)=C.(2) 设设 f (x) ,g(x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x) =g(x

17、) ， 那么那么 f(x)=g(x) C. )()(, ),(,212121xfxfxxbaxx 有有时时只只须须证证明明对对拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用: 1、用、用 Lagrange 中值定理证明等式：中值定理证明等式：例例2 21cossin22 xx证明证明.),( x说明说明欲证欲证 时时, , ,)(Axf Ix , 0)( xf,0Ix 且且.)(0Axf 使使只需证在只需证在 I I 上上练习：练习：).,(,2cotarcarctan xxx 证证明明例例2 21cossin22 xx证明证明证证,cossin)(22xxxf 设设xxxxxfcossin2c

18、ossin2)( , 0 ,)(Cxf 0cos0sin)0(22 f又又,1 .1 C即即.),( x).,(1cossin22 xxx. 1,1,2arccosarcsin xxx 证证: : 设设,arccosarcsin)(xxxf 上上则则在在)1,1( )(xfCxxxf arccosarcsin)( ( (常数常数) ) 令令 x = 0 , x = 0 , 得得.2 C又又,2)1( f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 1,1 1,1 上成立上成立. .211x 211x 0 例例 证明等式证明等式,2)1( f2、用、用 Lagrange 中值定理证明不等式：中值定理证明

19、不等式：Step1 找出适当的函数找出适当的函数 f (x) 及区间及区间,Step2 验证验证 f (x) 满足满足Lagrange 中值定理条件中值定理条件,Step3 对对 f () 作适当放大或缩小，推出作适当放大或缩小，推出所要证的结果所要证的结果.例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证证明明例例3 3.costantancos:,2022 证证明明若若例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证证明明证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff

20、 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即证：证：210 xx )()()(1221xfxfxxf 1112)(-)(xfxf0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 不妨设不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意”

21、“0)( xf题设条件题设条件可减弱为可减弱为.)(单调减少”单调减少”“xf 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导且内可导且 g(x) 0 .)()()()()()(gfagbgafbf证证 作辅助函数作辅助函数, )()()()()()()(xgagbgafbfxfx ,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续在在则则babax , )()()(

22、)()()()()(bagbgagbfbgafa 且且,0)(),( 使使定理知：至少存在一点定理知：至少存在一点由由baRolle,0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfagbgafbf 几何解释几何解释:)()()()()()( gfagbgafbf )()(tfytgx)(af)(bf)()(ddtgtfxy 注意注意: :xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率)(ag)(bg)( g.,)(),(ABfgCAB该该点点处处的的切切线线平平行行于于弦弦在在上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧 AB,)(xxg 当当, 1)(,)()( x

23、gabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabafbfLagrange 中值定理是中值定理是Cauchy 中值定理中值定理 的特例的特例.考虑考虑: : 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabgagbg 两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. . 例例).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数分析分析: 结论

24、可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2例例证证,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条件条件上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数四、小结四、小结1. 1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

25、柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxg )()()(afbf xxF )(费马引理费马引理中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P1252. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P125;0)(,),()()(),(,)1( fbabfafbaDbaCf使使且且);()()(),(),(,)2( fabafbfbabaDbaCf ，使使.)()(

26、)()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbaDbaCgf ，使使且且1. 填空题填空题3415思考与练习思考与练习 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._ 练习：练习：),1(e .lncos1sin 试证至少存在一点试证至少存在一点 ，使，使解解 令令xxflnsin)( 那么那么 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条上满足罗尔中值定理条件件, ),1(e 使使0)( f.lncos1sin 即即因此存在因此存在xlncos )(xf则则 1sinx1 x1xl

27、n1sin 提示提示: 由结论可知由结论可知, 只需证只需证0cos)(sin)( ff即即 0sin)( xxxf验证验证)(xF在在,0 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设xxfxFsin)()( ,0)( Cxf 且在且在),0( 内可导内可导, 证明至少存证明至少存在一点在一点, ),0( 使使.cos)()( ff 2. 设设证：证： 设辅助函数设辅助函数)()(xfxxn 显然显然在在 0,1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,)(x 因此至少存在因此至少存在使得使得, )1 ,0( )( )()(1 ffnnn 0 求证存在求证存在使使3. 设设 f (x) 在在 0

28、,1 连续连续, 在在 (0,1) 可导可导, 且且,0)1( f, ) 1 ,0( .0)()( ffn即即.0)()( ffn证：证：210 xx )()()(1221xfxfxxf 12)(xf 0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 不妨设不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 4. 设设 , 证明对任意证明对任意 5. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解解 1, 310,)(21x

29、xxxf不满足在闭区间上连续的条件；不满足在闭区间上连续的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内可导的条件；不满足在开区间内可导的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格

30、朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .七、设函数七、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、设八、设