圆锥曲线面积问题

1、理科一、面积求值1、【2012市石景山区一模理】19（本小题满分 13 分）x 2y 2已知椭圆+= 1（ a > b > 0 ）右顶点与右焦点的距离为 3 -1，a 2b2短轴长为2 2 .（）求椭圆的方程；（）过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两点，若三角形OAB 的3 2面积为，求直线 AB 的方程4ìa - c =3 -1ïb =2íï a2 = b2 + c2】解：（）由题意，ïîa =3, c =1.【-1 分-2 分即：椭圆方程为-3 分43 ，=AB（）当直线 AB 与 x 轴垂直时，=此时

2、SDAOB3 不符合题意故舍掉；-4 分当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为： y = k (x + 1) ，代入消去 y 得： (2 + 3k 2 )x2 + 6k 2x + (3k 2 - 6) = 0 .-6 分ì-6k 2ïx1 + x2 = 2 + 3k 2íï设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则ïî3k 2 - 6x x =1 22 + 3k 2，-7 分4 3(k 2 +1)=AB所以2 + 3k 2-9 分.kd =原点到直线的 AB 距离1+ k 2，1S =AB d =2 +

3、 3k 2所以三角形的面积221+ k 2.由 S = 3 2 Þ k 2 = 2 Þ k = ± 2 ，4-12 分2x - y +2 = 0 或lAB :2x + y +2 = 0 .所以直线lAB :-13 分二、面积比值x2y2西城区一模理科）如图，椭圆+= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，过点 Fa2b21、（2013 届的直线交椭圆于 A ， B 两点当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60° （）求该椭圆的离心率；（）设线段 AB 的中点为G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点

4、记GFD 的面积为 S ， OED （ O 为原点）的面积为 S ，求 S1 的取值范12S2围【】（）解：依题意，当直线 AB 经过椭圆的顶点(0, b) 时，其倾斜角为60° 1 分设 F (-c, 0) ，b则= tan 60° =c将 b =3c 代入a = 2c 3 2 分a2 = b2 + c2 ，3 分1 k4 3(k 2 +1)所以椭圆的离心率为 e = c = 1 a24 分x2y2+3c2= 1（）解：由（），椭圆的方程可设为4c25 分设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )依题意，直线 AB 不能与 x, y 轴垂直，故设直线 AB 的方程

5、为y = k (x + c)入3x2 + 4y2 = 12c2，将其代，整理得(4k 2 + 3)x2 + 8ck 2x + 4k 2c2 -12c2 = 0 7 分-8ck 2-4ck 26ck3ck则 x1 + x2 =， y1 + y2 = k(x1 + x2 + 2c) = 4k 2 + 3 ， G( 4k 2 +,) 84k + 33 4k + 322分3ck-ck 24k 2 + 3因为 GD AB ，所以´ k = -1， xD=4k 2 + 39 分-4ck 24k 2 + 3 - xD因为 GFD OED ，-4ck 2-ck 23ck-) + (22()S| GD

6、 |2=34k + 34k + 34k +222 1 =所以11 分-ck 24k 2 + 3S| OD |222()= (3ck ) + (3ck) = 9c k + 9c k2 222 42 29= 9 +> 9 13 分(ck 2 )2c2k 4k 2S所以 1 的取值范围是(9, +¥) S214 分2、（2013 届房山区一模理科数学）已知抛物线C : y2 = 2 px的焦点坐标为 F(1,0) ，过 F 的直线l 交抛物线C 于 A,B 两点，直线 AO,BO 分别与直线m ： x = -2 相交于 M ,N 两点.（）求抛物线C 的方程；（）证明ABO 与MNO

7、 的面积之比为定值.【】（）由焦点坐标为(1, 0)可知 p = 12所以 p = 2所以抛物线C 的方程为 y 2 = 4x4 分（）当直线l 垂直于 x 轴时， DABO 与DMNO 相似，所以 SDABO= ()2 = 1.6 分SDMNO24当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 方程为 y = k (x -1)7 分设 M (-2, yM ) ， N (-2, y N ) ， A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，ì y = k(x -1)k 2 x2 - (4 + 2k 2 )x + k 2 = 0 ，解íî整理得y = 4x2所以

8、 x1 × x2 = 1 .9 分1 × AO × BO × sin ÐAOB SDABO = 2=AO × BO = x1 × x2= 114 分1 × MO × NO × sin ÐMONSDMNOMO NO2242SDABO= 14综上SDMNO3、（2013 届门头沟区一模理科）在平面直角坐标系 xOy 中， 动点 P 到直线l : x = 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍（）求动点 P 的轨迹方程；（）设直线 FP 与（）中曲线交于点Q ，与l 交于点 A

9、 ，分别过点 P 和Q 作l 的垂点 P 使得DAPM 的面积是DAQN 面积的 9 倍？若存线，垂足为 M , N ，问：是否在，求出点 P 的坐标；若不，说明理由【】（）解：设点 P 的坐标为(x, y) 由题意知 2 ´ (x -1)2 + y2 =2 - x3 分化简得x2 + 2 y2 = 2所以动点 P 的轨迹方程为 x2 + 2 y2 = 25 分（）设直线 FP 的方程为 x = ty +1，点 P(x1, y1 ), Q(x2 , y2 )因为DAQN DAPM ，所以有 PM = 3QN ，由已知得 PF = 3QF ，OF所以有 y1 = -3y2 （1）7 分

10、ìx = ty +1，得(t + 2) y+ 2ty -1 = 0 ， D > 022由íîx + 2 y =2222t1y1 + y2 = - t 2 + 2 （2）， y1 × y2 = - t 2 + 2 （3）分10112）（3）得t = -1, y1 = 1, y2 = - 3 或t = 1, y1 = -1, y2 = 3点 P 为由（1）（所以(0, ±1)13 分x2）已知椭圆 C:+ y = 1的短轴的端点分别为424、（2013丰台二模试题及1A,B,直线 AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点,其中点M (m,

11、) 满足m ¹ 0 ,且m ¹± 3 .2()求椭圆C 的离心率 e;()用m 表示点 E,F 的坐标;()若BME 面积是AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.3 ;2【】解:()依题意知a = 2 , c =3 , e =1(m, ),且m ¹ 0 ,()Q A(0,1), B(0,-1) ,M2132m直线 AM 的斜率为 k1= -,直线 BM 斜率为k2=,2m132m直线 AM 的方程为 y= -x - 1x + 1,直线 BM 的方程为 y=,2mìx24+ y = 1,2由ï得(m2 +1) x2 - 4mx = 0

12、, x = 0, x = 4m , E æ 4m , m -1 ö2,íç÷m2 +1m +1 m +1122èøï y = -x + 1,î2mì x2+ y= 1,得(9 + m2 )x2 -12mx = 0 , x = 0, x =212m m2 + 9由ïæ12m9 - m2 ö ;, 4F,íç÷3m + 9 m + 922èøï y =x - 1,î2mQ S= 1 | MA | MF

13、 | sin ÐAMFS= 1 | MB | ME | sin ÐBME(),DAMFDBME22ÐAMF = ÐBME ,= SDBME , 5 | MA | MF |=| MB | ME | , 5 | MA | = | MB | ,5SDAMF| ME | MF |5mm=,4m m2 +112m 9 + m2- m- m115Q m ¹ 0 ,整理方程得=-1,即(m2 - 3)(m2 -1) = 0 ,m2 +1m2 + 9又Q m ¹± 3 , m2 - 3 ¹ 0 , m2 = 1 ,m = 

14、7;1为所求x2y25、（西城区 2015 届高三上学期期末）已知椭圆 C：+= 1的右焦点为 F，右顶点为 A，1612离心率为 e，点 P(m, 0)(m > 4) 满足条件| FA | = e .| AP |（）求 m 的值；（）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记DPMF 和DPNF 的面积分别为 S ， S ，求证： S1= | PM | .12S| PN |2x2y2+= 1，5、（）解：因为椭圆 C 的方程为1612所以 a = 4 , b = 2 3 , c =a2 - b2 = 2 ,则 e = c = 1 ， | FA |= 2 ， | AP

15、|= m - 4 .a22 分3 分| FA | =2= 1 ，因为| AP |m - 42m = 8 .所以5 分， 则有 S1 = S2 ，| PM |=| PN | ，符合题意6 分（）解：若直线 l 的斜率不，则设直线 l 的方程为 y = k (x - 2) ， M (x1, y1 ) ， N (x2 , y2 ) .若直线 l 的斜率ìï x2 + y2= 1,由í 1612ïî y = k (x - 2),得 (4k 2 + 3)x2 -16k 2x +16k 2 - 48 = 0 ， 7 分16k 2 - 4816k 2可知 D

16、 > 0 恒成立，且x1 + x2 = 4k 2 + 3 ， x1x2 =. 8 分4k 2 + 3y1y2= kk+ k=+因为 10 分PMPNx - 8x - 812= k(x1 - 2)(x2 - 8) + k(x2 - 2)(x1(x1 - 8)(x2 - 8)2kx1 x2 -10k (x1 + x2 ) + 32k=(x1 - 8)(x2 - 8)6k 2 - 4816k 2k ×-10k ×4k 2 +4k 2 + 3=，(x1 - 8)(x2 - 8)所以 ÐMPF = ÐNPF . 12 分因为DPMF 和DPNF 的面积分别为

17、 S = 1 | PF | × | PM | ×sin ÐMPF ，12S = 1 | PF | × | PN | ×sin ÐNPF ， 13 分22S1 = | PM | .所以 14 分S2| PN |三、面积最值1、【2012市海淀区一模理】(19)（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1 (-1, 0) ，P 为椭圆G 的上顶点，且ÐPF1O = 45° .（）求椭圆G 的标准方程；（）已知直线l1 ：y = kx + m1 与椭圆G 交于 A ，B

18、两点，直线l2 ： y = kx + m2（ m1 ¹ m2 ）与椭圆G 交于C ，D 两yll12ADOBC点，且| AB |=| CD |，.（）证明： m1 + m2 = 0 ;（）求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.x2y2【】（）解：设椭圆G 的标准方程为+= 1(a > b > 0) .a2b2因为 F1 (-1, 0) ， ÐPF1O = 45° ，所以b = c = 1.所以 a2 = b2 + c2 = 2 .2 分x2所以 椭圆G 的标准方程为+ y = 1.223 分（）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，

19、C(x3 , y3 ) ， D(x4 , y4 ) .ì y = kx + m1,ï消去 y 得： (1+ 2k )x + 4km x + 2m - 2 = 0 .222（）证明：由í x2ïî 211+ y = 1.2则D = 8(2k2 - m2 +1) > 0 ，1ìx4km1+ x = -,ïï121+ 2k 2íïïî5 分2m2 - 2x x = 11+ 2k 2.1 2所以 | AB |=(x - x )2 + ( y - y)21212=1+ k(x +

20、 x )2 - 4x x121 22m2 - 24km=1+ k(-1 ) - 4 ×1221+ 2k 21+ 2k 22k 2 - m2 +1= 2 2 1+ k 21.1+ 2k 22k 2 - m2 +1同理 | CD |= 2 2 1+ k 22.7 分1+ 2k 2因为 | AB |=| CD | ,2k 2 - m2 +12k 2 - m2 +1所以 2 2 1+ k 21= 22 1+ k 22.1+ 2k 21+ 2k 2因为 m1 ¹ m2 ，所以 m1 + m2 = 0 .9 分（）解：由题意得四边形 ABCD 是平行四边形，设两平行线 AB, CD 间

21、的距离为d ,则 d =.k 21+因为 m1 + m2 = 0 ，所以 d =.10 分k 21+2k 2 - m2 + 12mS =| AB | ×d = 22 1 + k 21×1 所以1 + 2k 21 + k 22k 2 - m2 +1+ m2 11 (2k 2 - m2 +1)m222= 22 .= 4211 £ 41+ 2k 21+ 2k 2(2k 2 +1)m2 - m4m211（或 S = 4 2= 42 -(1- )2 +£ 2 2 ）11(1+ 2k 2 )21+ 2k 224所以 当2k 2 + 1 = 2m2 时， 四边形 AB

22、CD 的面积 S 取得最大值为.12 2试题）在平面直角坐标系 xOy 中，动2、（市东城区 2013 届高三上学期期末考试点 P 到两点(- 3，( 3，0) 的距离之和等于4 ，设点 P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点 E (-1, 0 ) 且与曲线C 交于 A ， B 两点（）求曲线C 的轨迹方程；（）是否 AO 面积的最大值，若明理由.，求出 AO 的面积；若不，说【】（）由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(-3， ( 3，0) 为焦点，长半轴长为 2 的椭圆3 分x2故曲线 的方程为+ y = 15 分4C2（） AOB 面积的最大值6 分因为直线l 过点 E (-1, 0 )

23、 ，可设直线l 的方程为 x = my -1 或 y = 0 （舍）2m1m1 - m2ì x2+ y = 1,ï2则í 4ïîx = my -1.整理得 (m2 + 4) y2 - 2my - 3 = 0 7 分由D = (2m)2 +12(m2 + 4) > 0 设 A(x1，y1 )，B(x2，y2 ) m + 2y1 =m2m - 2y2 =m2，4 m2 + 3 则| y2 - y1 |=m2 + 4= 1 OE × y - y因为 SDAOB122= 2 m + 3 =2210 分m2 + 4设 g(t) = t +

24、 1 ， t =tm2 + 3 ， t ³3 则 g(t 在区间3,上为增函数4 3所以 g(t) ³33，当且仅当m = 0 时取等号，即(S232所以 S£)=DAOBDAOB max3所以 SDAOB 的最大值为132分3 、（市顺义区2013届高三第一次统练试卷（） 已知椭圆x 2()C :+ y = 1 a a 22> 1的 上 顶 点 为 A左 焦 点 为 F, 直 线 AF 与 圆,æ1 öM : x + y + 6x - 2 y + 7 = 0 相切.过点 0,-的直线与椭圆C 交于 P, Q 两点.22ç2 &

25、#247;èø(I) 求椭圆C 的方程;(II) 当DAPQ 的面积达到最大时,求直线的方程.方 程 x 2 + y 2 + 6x - 2 y + 7 = 0】 (I) 将圆 M 的【化 为 标 准 方 程(x + 3)2 + (y - 1)2 = 3 , 则的 圆 心 M (- 3,1) , 半径 r =M3圆.由A(0,1), F (- c,0)(c =a 2 - 1 )得直线 AF 的方程为 x - cy + c = 0 .=3 ,由直线 AF 与圆 M 相切,得1 + c 2所以c =2 或c = - 2 (舍去).当c =2 时, a 2 = c 2 + 1 =

26、3 ,x 2故椭圆C 的方程为+ y = 132(II)由题意可知,直线的斜率,设直线的斜率为k ,则直线的方程为 y = kx -.21æ1 ö因为点 0,-在椭圆内,ç2 ÷èø所以对任意 k Î R ,直线都与椭圆C 交于不同的两点.ì y = kx - 1 ,ï由得(1 + 3k 2 )x 2 - 3kx - 9 = 0 .2= 1í x 24ï+ y 2ïî3设点 P, Q 的坐标分别为(x1 , y1 ), (x2 , y2 ),则y = kx - 1

27、, y = kx - 1 , x + x =3k9, x x = -4(1 + 3k 2 ),1122121 21 + 3k 222=(x - x )2 + (y - y)2所以 PQ2121=(1 + k 2 )(x +12= 3 (1+ k 2 )(1+ 4k 2 ).1+ 3k 213又因为点 A(0,1) 到直线 y = kx -的距离 d =,22 k 2 + 1- 3 - c + c所以DAPQ 的面积为,则0 < t £ 1且 k 2 =设t =1 +S,.因为0 < t £ 1,所以当t = 1时, DAPQ 的面积 S 达到最大,1,即k =

28、0 .此时1 + 3k故当DAPQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y = -4、(2011 东城一模理 19) （本小题共 13 分）y2x222+ = 1(a > b > 0) 的离心率为已知椭圆，且两个焦点和短轴的一个端点是a2b2一个等腰三角形的顶点斜率为 k (k ¹ 0) 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) （）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示 MPQ 的面积，并求面积的最大值c解：（）依题意可得，=2， b = c ，a2又 a 2 = b 2 + c 2 ，可得b

29、 = 1, a =2 y2所以椭圆方程为+ x = 122（）设直线l 的方程为 y = kx +1 ，ì y = kx +1,ï由可得(k 2 + 2)x2 + 2kx -1 = 0 í y2+ x2 = 1,ïî 2设 P(x1, y1 ), Q(x2 , y2 ) ，-2k k 2 + 21则 x + x =， x x =- 121 2k 2 + 24可得 y + y = k(x + x ) + 2 =1212k 2 + 2-k2设线段 PQ 中点为 N ，则点 N 的坐标为(,) ，k 2 + 2 k 2 + 2由题意有 kMN 

30、15; k = -1，2m -可得k 2 + 2 × k = -1 kk 2 + 21k 2 + 2可得 m =，又 k ¹ 0 ，所以0 < m < 1 2（）设椭圆上焦点为 F ，则 S= 1 × FM× x - x.DMPQ1228(k 2 +1)+=，12(k 2 + 2)21k 2 + 21由 m =，可得 k 2 + 2 =m8( 1 -1)m1x - x=8m(1- m) 所以12m2= 1- m ，FM又=2m(1- m)3 .所以 SDMPQ所以 MPQ 的面积为 2 m(1- m)3 （ 0 < m < 1 ）

31、2设 f (m) = m(1 - m)3 ，则 f '(m) = (1- m)2 (1- 4m) 11 1可知 f (m) 在区间(0, ) 单调递增，在区间( , ) 单调递减44 2所以，当 m = 1 时， f (m) 有最大值 f ( 1 ) = 27 4464所以，当 m = 1 时， MPQ 的面积有最大值 364朝阳区一模理第 19 题）85、（2015x2y263已知椭圆C :+= 1 (a > b > 0) 的一个焦点为F (2, 0)过焦点 F 的直，离心率为a2b2线l 与椭圆C 交于 A, B 两点，线段 AB 中点为 D ， O 为坐标原点，过O

32、， D 的直线交椭圆于 M , N 两点（）求椭圆C 的方程；（）求四边形 AMBN 面积的最大值1.解：（）由题意可得c = 2,ìïïc6=,a = 6 ， b = 2 ，ía3ïïîa2 = b2 + c2 ,x2 + y2= 1 故椭圆的方程为.4 分62（）当直线l 斜率不时 A, B 的坐标分别为(2, 6 ) ， (2, - 6 ) ， | MN |= 2 6 ，33四边形 AMBN 面积为 S= 1 | MN | × | AB |= 4 AMBN2当直线l 斜率时，设其方程为 y = k(x - 2

33、) ，点 A(x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，M (x3 , y3 ) ，N (-x3 , - y3 ) ，点 M , N 到直线l 的距离分别为 d , d ，则四边形 AMBN 面积为 S= 1 | AB | (d + d ) 12AMBN122ì x22+ y= 1,由ï得(1 + 3k 2 )x2 -12k 2 x + 12k 2 - 6 = 0 ，í62ïî y = k(x - 2),12k 212k 2 - 6则 x1 + x2 = 1 + 3k 2 ， x1 x2 =，1 + 3k 2所以| AB |(1 + k

34、2 )(x + x )2 - 4x x 121 212k 2 - 612k 2= (1+ k )() - 4 ´221 + 3k 21 + 3k 2= 2 6(1 + k 2 )1 + 3k 2-4k因为 y + y = k(x + x - 4) =，12121 + 3k 26k 2-2k所以 AB 中点 D(2 ,2 ) 1 + 3k1 + 3k当 k ¹0 时，直线OD 方程为 x + 3ky = 0 ，ì x + 3ky = 0,由ï2x = -3ky ,y2 =í x + y223331 + 3k 2= 1,ïî 6

35、2所以 S= 1 | AB | (d + d )AMBN12212 6(1 + k 2 )| kx - y - 2k | -kx + y - 2k |=´(33+33)21 + 3k 21 + k 21 + k 26 1 + k 2 | 2kx - 2 y |=33 1 + 3k 22 6 1 + k 2 | -3k 2 y - y |=33 1 + 3k 23k 2 + 32= 4= 4 1 +< 4 3 1 + 3k 21 + 3k 2当 k = 0 时，四边形 AMBN 面积的最大值 SAMBN = 2 6 ?24 3 .综上四边形 AMBN 面积的最大值为4 3 14

36、分6、（2015顺义区一模理第 19 题）（本小题满分 14 分）已知椭圆C：3x2 + 4 y2 = 12.（I） 求椭圆C 的离心率；（II） 设椭圆C 上在第二象限的点 P 的横坐标为-1，过点 P 的直线l1, l2 与椭圆C 的另一交点分别为 A, B .且 l1, l2 的斜率互为相反数， A, B 两点关于坐标原点 O 的对称点分别为M , N ,求四边形 ABMN 的面积的最大值.x2y27. 解：（I）由题意，椭圆C 的标准方程为+= 1.43所以 a2 = 4,b2 = 3, 从而c2 = a2 - b2 = 1.因此， a = 2, c = 1.故椭圆C 的离心率e =

37、c = 1 . .4 分a2（II）由题意可知，点 P 的坐标为(-31, ).2设l 的方程为 y = k(x +1) + 3 . 则l 的方程为 y = -k(x +1) + 35 分1222ì y = k (x +1) + 3由ï得(4k 2 + 3)x2 + (8k 2 +12k)x + 4k 2 +12k - 3 = 0.í2ïî3x2 + 4 y2 = 12由于 x = -1 是此方程的一个解.4k 2 +12k - 3所以此方程的另一解 xA =- 4k 2 + 34k 2 -12k - 3同理 xB =- . .7 分4k 2

38、+ 3-k(x +1) + 3 - k(x +1) - 3yB - yABA22故直线 AB 的斜率为 k=AB- xx - xABA-8k 2 + 64k 2 + 3-k(+ 2)1= -. 2. .9 分 24k 4k 2 + 3设直线 AB 的方程为 y = - 1 x + m.2ì y = - 1 x + m由ï得 x2 - mx + m2 - 3 = 02íïî3x2 + 4 y2 = 12所以| AB |= 1+ (- 1)2m2 - 4(m2 - 3) =2154 - m22又原点O 到直线 AB 的距离为 d = 2 | m |

39、 .5所以DOAB 的面积 S= 1 ×154 - m2 × 2 | m | =32m2 (4 - m2 )DOAB2253 × m + (4 - m ) =22£3.22当且仅当 m2 = 4 - m2 ，即 m2 = 2, m = ±2 时.DOAB 的面积达到最大.且最大值为 3 .分由题意可知，四边形 ABMN 为平行四边形,所以，四边形 ABMN 的面积 S = 4SDOAB £ 4. .133 ,故四边形 ABMN 面积的最大值为4 3 . .14 分7、（2012 年西城二模理 18）已知抛物线 y2 = 4x 的焦点为

40、 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点（）若 AF = 2FB ，求直线 AB 的斜率；（）设点 M 在线段 AB 上O 关于点 M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值，原点解：（）依题意 F (1, 0) ，设直线 AB 方程为 x = my +1 1 分将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y2 - 4my - 4 = 0 3 分设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，所以 y1 + y2 = 4m ， y1 y2 = -4 4 分因为 AF = 2FB ，所以 y1 = -2 y2 5分联立和，消去 y , y ，得 m =±

41、; 2 6 分124所以直线 AB 的斜率是±2 2 7 分（）由点C 与原点O 关于点 M 对称，得 M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2SD AOB 9 分因为 2S= 2´ 1 × | OF | × | y - y |10 分D AOB122=( y + y )2 - 4 y y = 41+ m2 ，12 分121 2所以 m = 0 时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4 8、(2011 东城一模理 19) （本小题共 13 分）13 分y2x22已知椭圆+= 1(a > b

42、 > 0) 的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是a2b22一个等腰三角形的顶点斜率为 k (k ¹ 0) 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) （）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示 MPQ 的面积，并求面积的最大值c解：（）依题意可得，2， b = c ，=a2又 a 2 = b 2 + c 2 ，可得b = 1, a =2 y2所以椭圆方程为+ x = 122（）设直线l 的方程为 y = kx +1 ，ì y = kx +1,ï可得(k + 2)x + 2kx

43、 -1 = 0 22由í y2ïî 2+ x = 1,2设 P(x1, y1 ), Q(x2 , y2 ) ，-2k1则 x + x =， x x =- 121 2k 2 + 2k 2 + 24可得 y + y = k(x + x ) + 2 =1212k 2 + 2-k2设线段 PQ 中点为 N ，则点 N 的坐标为(,) ，k 2 + 2 k 2 + 2由题意有 kMN × k = -1，2m -可得k 2 + 2 × k = -1 kk 2 + 21可得 m =，k 2 + 2又 k ¹ 0 ，所以0 < m < 1

44、 2（）设椭圆上焦点为 F ，则 S= 1 × FM× x - x.DMPQ1228(k 2 +1)=(x1 + x2 ) - 4x1x2 =2，(k 2 + 2)211由 m =，可得 k 2 + 2 =mk 2 + 28( 1 -1)m1x - x=8m(1- m) 所以12m2= 1- m ，FM又=2m(1- m)3 .所以 SDMPQ所以 MPQ 的面积为 2 m(1- m)3 （ 0 < m < 1 ）2设 f (m) = m(1 - m)3 ，则 f '(m) = (1- m)2 (1- 4m) 11 1可知 f (m) 在区间(0, )

45、单调递增，在区间( , ) 单调递减44 2所以，当 m = 1 时， f (m) 有最大值 f ( 1 ) = 27 4464所以，当 m = 1 时， MPQ 的面积有最大值 3648文科一、面积求值【2012市丰台区一模文】19（本小题共 14 分）x2y222已知椭圆C :+= 1(a > b > 0) 的离心率为，且经过点 M（一 2，0）a2b2（I）求椭圆 C 的标准方程；（）设斜率为 1 的直线l 与椭圆 C 相交于 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，连接 MA, MB 并1111延长交直线x=4 于P，Q 两点，设 yP , yQ 分别为点P，

46、Q 的纵坐标，且 y + y =+ y ，y12PQ求ABM 的面积】【2（2013 届门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线 x2 - y2 = 1有相同的焦点,且离2心率为.2(I)求椭圆的标准方程;(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B 两点,O 为坐标原点,若 AP = 2PB ,求DAOB的面积.x2y2解:(I)设椭圆方程为+= 1 , a > b > 0 ,a2b2由c =2 ,可得a = 2 , b2 = a 2 - c2 = 2x2y2+= 1既所求方程为42(II)设 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ,- x1 = 2x2ì

47、;由 AP = 2PB 有íî1 - y1 = 2( y2 - 1)设直线方程为 y = kx + 1 ,代入椭圆方程整理,得(2k 2 + 1)x2 + 4kx - 2 = 0- 2k ± 8k 2 + 2x =2k 2 +1- 2k - 8k 2 + 2- 2k + 8k 2 + 2若 x1 =, x2 =2k 2 +12k 2 +1- 2k - 8k 2 + 2- 2k - 8k 2 + 2-= 2 ×则2k 2 +12k 2 +1114k 2 =1 2 8k 2 + 21126又DAOB 的面积 S =| OP | × | x1 - x2 |=×22=2k 2 +18126答: DAOB 的面积是83、（2011 丰台二模文 19）（本小题共 14 分）已知椭圆 C 的长轴长为2 2 ，一个焦点的坐标为(1,