数字图像处理课件正交变换

1、1 图像的频域变换变换二维离散变换对于二维变换，其离散形式为：1 M -1 N -1é - j 2 p æ ux + vy ö ùF (u , v ) =åå f ( x , y )e êç M N ÷ úëèø ûMN x = 0 y = 0逆变换为：M -1 N -1é j 2p æ ux + vy öùf ( x, y) = åå F (u, v)e êç M N 

2、47;úëèøûu =0 v =0幅频谱、相位谱：F (u , v ) = F (u , v ) e jj (u ,v ) = R (u , v ) + jI (u , v )F (u , v ) = R 2 (u , v ) + I 2 (u , v ) 21j (u , v ) = arctan I (u , v )R (u , v )第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站4 图像的频域变换变换变换的定义(一维)f(x)为连续可积函数，其变换定义为：¥F ( u ) = ò f ( x ) e - j 2p ux dx-

3、 ¥其反变换为：¥f ( x ) = ò F ( u ) e j 2 p ux du- ¥F(u)=R(u)+jI(u)F (u) = F (u) e jf (u)第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站3 上次课复习n 图像的频域变换Ø 频域变换的理论基础9线性系统、卷积与相关9正交变换及其特征9离散图像的正交变换Ø 变换定义与特征Ø 叶变换的应用第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站2数字图像处理与分析第四章 图像处理中的正交变换2遥感地面站2005年春季学期12 其他变换离散余弦变换n 由叶变换性质Ø 当f(x

4、)或f(x,y)为实的偶函数时，叶变换域中得到实的偶函数Ø 维离散变换1 N -1- j 2puxF (u) =å f (x)e Nu = 0,1,L, N -1N x=01 N -1- j 2p ux1 N -12p ux2p ux F (u) =å f (x)eN=å f (x)(cos() - j sin()N x=0N x=0NNØ 当f(x)或f(x,y)为偶函数时，叶变换的计算公式虚部为零，只有余弦项第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站8余弦变换是简化变换的法 其他变换离散余弦变换n 离散余弦变换Ø 问题的提出：叶变换的

5、一个最大问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站7第四章 图像处理中的正交变换2n 其他变换¾其他变换9离散余弦变换9ü 变换99小波变换哈达玛变换变换（主成分变换）第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站6二维离散变换的性质 1. 线性性质（加法定理）：2. 比例性质（相似性定理）3. 可分离性：4. 空间位移(位移定理)：5. 频率位移：请提问！6. 周期性：7. 共轭对称性：8. 旋转不变性：9. 平均值：10. 卷积定理：11. 相关定理： 12.拉斯函数

6、：第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站5其他变换离散余弦变换其他变换离散余弦变换n 一维离散余弦变换定义n 一维离散余弦反变换定义f ( x ) cos é p (2 x + 1)u ù 2 N1NN -1åé p 2 N -1ùF (u ) =åu = 0ëê 2 Nûúf ( x) =c(u ) F (u ) cos ê(2 x + 1)u úë 2 NûN1x = 0N -1ìåF (0) =f ( x )C (u ) = &#

7、239;u = 0u = 1,2,L, N - 1íïî120通常归一化表示为：N -1f ( x) cos éê p (2 x + 1)u 2 åù矩阵表示：úF (u ) = c(u )N x = 0ë 2 NûF = Cf= CT Fìï 1 fu = 0C (u) = í2ïî1u = 1,2,L, N - 1第四章 图像处理中的正交变换第四章 图像处理中的正交变换910遥感地面站遥感地面站3 其他变换离散余弦变换n 二维离散余弦变换&#

8、216; 偶对称偶函数：ì f (x, y)x ³ 0, y ³ 0ï f (-1- x, y)x < 0, y ³ 0f (x, y) = ïí f (x,-1- y)x ³ 0, y < 0ïïî f (-1- x,-1- y) x < 0, y < 0Ø 为关于(-1/2, -1/2)对称的偶函数。第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 12 其他变换离散余弦变换n 任意函数离散余弦变换Ø 一个任意函数采样从0, 1, 2, , N-1

9、，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N 的偶函数 变换。此时可采用离散余弦变换进行。第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 11 其他变换离散余弦变换表为矩阵形式：Fc = CfCf = CFcC矩阵C的元素为：é p (2i + 1)mêC= a (m )cosi , më2 Nûìïa (m) = íïïî 1N 2Nm = 0m ¹ 0第四章 图像处理中的正交变换14遥感地面站4 其他变换离散余弦变换n 二维离散余弦变换Ø 奇对称偶函数：ì f

10、(x, y)x ³ 0, y ³ 0ïf (x, y) = ï f (-x, y)x < 0, y ³ 0íï f (x,- y)x ³ 0, y < 0ïî f (-x,- y) x < 0, y < 0Ø 为折叠镜像序列。第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 16其他变换离散余弦变换N=4时é11L1ùê222úêp3p(2 N - 1)pú 2 ê coscosLcosúN

11、ê2 N2 N2 NúêMMMúê( N - 1)p3( N - 1)p(2 N - 1)( N - 1)p úêcos2 Ncos2 NL cos2 Núëûé 0.50.50.50.5 ùê0.6530.271- 0.271 - 0.653 úêúê 0.5- 0.5- 0.50.5 úê0.271 - 0.6530.653- 0.271úëû第四章 图像处理中的正交变换遥

12、感地面站 15其他变换离散余弦变换Ø 偶对称偶函数二维离散余弦变换定义F(u,v) = 2 C(u)C(v åN-1åN-1 f (x, y)cos p (2x+1)ucos p (2y+1)v)Nx=0 y=02N2Nf (x, y) = 2 åN-1åN-1 (u)C(v)F(u,v)cos p (2x+1)ucos p (2y+1)vCN u=0 v=02N2Nìï 1 u,v =0C(u) =C(v) =í 2ïî1u,v =1,LN -1第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 135

13、其他变换离散余弦变换¾余弦变换的应用压缩编码第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 20 其他变换离散余弦变换第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 19 其他变换离散余弦变换¾余弦变换的性质9余弦变换为实的正交变换，变换核的基函数正 交9序列的余弦变换是DFT的对称扩展形式9核可分离，可以用两次一维变换来执行9余弦变换的能量向低频集中9余弦变换有快速变换，和变换一样，分奇偶组第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 18其他变换离散余弦变换Ø 奇对称偶函数二维离散余弦变换N-1 N-1F(u,v) = 1 åå f(x, y), u = 0,v

14、 = 0N x=0 y=0F(u,v) = 2 åå f(x, y)cosé 2p uxùcosé 2p vyù, u,v ¹ 0N-1 N-1N x=0 y=0êë2N -1 úû êë2N -1 úû反变换：2 N -1 N -12p2p f (x, y) = åå F (u, v) cosux cosvyì1N u =0 v=02N -12N -1ï4 f (x, y) x = 0, y = 0

15、39;1f(x, y) = ï f (x, y) x = 0, y ¹ 0í2ï1 f (x, y) x ¹ 0, y = 0ï2ï f (x, y)x, y = othersî第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 17其他变换离散余弦变换¾余弦变换的应用压缩编码第四章 图像处理中的正交变换21遥感地面站6 三种不同排列的Walsh函数对比(a) Walsh排列(b)Paley排列(c) 按哈达玛排列第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 24 其他变换哈达玛变换 n 1893年法国数学家哈达玛总结前人

16、研究只包含+1和-1的正交矩阵结果，形成哈达玛矩阵，既简单又有规律n 1923年 数学家 提出Walsh函数，具有特点Ø 函数取值仅有两个（0,1 或-1,+1）Ø 由Walsh函数 的Walsh函数集，具备正交性和完备性n 将Walsh函数应用于信号的变换，建立Walsh变换基础n 后人发现，按照哈达玛构造矩阵的排列方式，对Walsh函数进行排列，形成的函数集既满足正交性和完备性，又特别容易记忆和产生，将该正交函数集应用于信号变换，由此形成常用的 哈达玛变换第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 23 其他变换哈达玛变换n 哈达玛变换 (Walsh-Hadamard)n

17、能否进一步找到计算更简单的变换？n 一：构建更为简单的正交函数集，只要满足正交：A AT = In 对正弦函数集进行深入研究，发现不考虑函数值， 仅考察函数值的过零点位置分布时，可形成包含+1和-1极值状态下的正交函数集第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 22 其他变换哈达玛变换哈达玛变换 (Walsh-Hadamard)é 11-1 1-1111-1-111-1-1 111111-11-1 1-1-111-1-1-11 ùêúê 1-1úêúúê-1úê 1ê

18、êúúú11H = 1 ×ê2 2 êú8ê 1-1úêúê 11 ú-1-1-1-111êêúúê 11 ú-1-1-1-1-1-111êúê 1-1ú-1111ëû第四章 图像处理中的正交变换26遥感地面站7 其他变换K-L变换n K-L变换Ø 一幅图象在某个通讯信道中传输了M 次，由于任何物理信道均 随机干扰因素，接收到的

19、图像系列总混杂有许多随机干扰信号，称之为随机图象集合，集合中各图象之间 相关性但又不相等Ø K-L变换本质上是 这类广泛的随机图象提出来的， 当对M 个图象施加了K-L变换以后，变换后的M 新图像组成的集合中各图象之间互不相关Ø 由变换结果图像集中取有限个图像K (K<M )而恢复的图像将是原图象在统计意义上的最佳逼近第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 28 其他变换哈达玛变换 n 哈达玛变换特性1. WHT变换是实的、对称的、正交变换2. WHT可由快速算法实现，因为DHT只加减，因此没有任何乘法运算。3. WHT有较能量集中特性n Walsh函数正交性的典型应

20、用之一n 哈达玛变换实例第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 27其他变换哈达玛变换n 二维哈达玛变换定义F = WHT f = HfHf = WHT -1F = HF HHHH变换矩阵H具有递推公式：H =1H = 1 é1 1 ù122 ê1 -1úëûH = 1 éHNHN ù2N2 êH-H úë NN û第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 258 其他变换K-L变换n K-L变换计算（续）Ø 令F 和为Cx的特征和对应的特征值，可有C x - I =

21、 0C x F = l F（5）Ø 特征F为N 维矢量，由上式可解出N 个特征值1，2， n，将其按降序排列1 > 2 > 3 >> nØ 将各特征值分别代入（5）式，可得出对应各特征值的特征为：Fi=fi1， fi2， finT第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 32 其他变换K-L变换n K-L变换计算Ø 对N 维随机X = x1，x2，xnT，其每个元素xi分别具有M 个样本Ø 其平均值定义为：M 1 M xMx=EXxM å i（3）i =1Ø 其协方差矩阵为一个N×N 的矩阵，定义为：C

22、x=E(X- Mx)(X- Mx)T（4）C 1 åM (x - m )(x - m )T = 1 éx xT ù - m mTxMixixM êå i i úx xi=1ëû第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 31 其他变换K-L变换n K-L变换原理Ø 通过数学分析，可得出结论如下：对正交矩阵 = 1， 2， nØ 若取i 为X 的协方差矩阵Cx 的特征，则对X 进行下述变换后Y = TX（1）其结果Y可满足前述要求Ø 上述变换式(1)与反变换X=Y（2）称之为K-L变换，通常

23、又称之为Hotelling变换、特征向量变换或主成分分析（变换）第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 30其他变换K-L变换n K-L变换原理设X = x1，x2，xnT和Y = y1，y2，ynT为两个n 维随机，其元素xi ， yj 分别具有M 个随机值X 能由Y 精确表示为：X=Y为n×n 正交矩阵，记为 = 1， 2， n若取Y的前m 个Ym 来表示X，记为Xm，可有误差DXm= X Xm从统计角度，如何选择，使得上述误差的统计均方值达到极小第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 29其他变换K-L变换n K-L变换计算（续）Ø 将各特征转置后即可变换矩阵：

24、33;FT ùé fùffffL L111121Nú2 N úúêúêFTfF = êú = ê21222(6)êúêLLMê T úêúë f N1f NN ûêëFN úûLL第四章 图像处理中的正交变换33遥感地面站9 其他变换K-L变换n K-L变换计算实例Ø 2x6图像矩阵为： X = é2 4 5 5 3 2

25、9;ê2 3 4 5 4 3úëûØ 将每一行作为一个随机矢量，形成随机为：2 Ø 其均值矢量为M = 1 é2 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2ù = é3.5ù6 ê2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3úê3.5úëûëû第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 36 其他变换K-L变换n K-L变换性质Ø 去相关性：上述变换结果Y的各分量互不相关，具有协方差矩阵为él1ù

26、êlúC = T C = ê2úyxêOúêl úën ûØ 最佳重构特性：对变换后结果进行截断后恢复原数据， 其均方误差是最小的取Y的前M个分量进行反变换恢复X，其均方误差为：Ne 2 (m ) = å lii = M +1第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 35 其他变换K-L变换确定随机集合n K-L变换计算（续）X = x ，x ，x T12nØ 计算流程与K-L讨论ü 确定随机X及其样本集合范围ü 在确定的随机 集合下，关键的是确定

27、协方差矩阵；进而由协方差矩阵通过线性代数计算得出特征 与特征值ü 变换的实质在于：输入随机 X中各分量之间 很强的相关性，通过变换使输出随机 Y中各分量之间互不相关ü 若定义不同的输入随机组成方式，则应用变换公式1可导致不同的应用方向获取变换结果Y = y1，y2，ynT第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 34构建变换矩阵公式6特征与特征值计算公式5协方差矩阵计算公式4均值矢量计算公式3Ø Y的协方差矩阵为：10 其他变换K-L变换n K-L变换的深入讨论从另一种角度Ø 对图像矩阵X，可看作为二维平面上一组像素点坐标的集合，如图所示X = ppppp

28、p = é2 4 5 5 3 2ù123456ê2 3 4 5 4 3úëûØ 变换结果Y，则可看作为一个新坐标系下相同像素点的集合Y = é2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ùê 0.5 0.18 0.43 1.25 1.57 1.32 úëûØ 该新坐标系为原坐标系的旋转， 旋转矩阵即为K-L变换矩阵第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 40 其他变换K-L变换n K-L变换计算实例Ø 对X进行变换：é 0

29、.82 0.57 ùé2 4 5 5 3 2ùY = ê- 0.57 0.82úê2 3 4 5 4 3úëûëû= é2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ùê 0.5 0.18 0.43 1.25 1.57 1.32 úëûC = é2.67 0ù可见89%的能量集中在分量1中Yê0 0.33úëûØ 舍弃分量2，反变换结果为：X =

30、é0.82 -0.57ùé2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ù =é 2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 ùê 0.57 0.82 úê0 0 0 0 0 0ú ê1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91úëûëû ëû第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 39 其他变换K-L变换n K-L变换计算实例Ø 由协方差矩阵计算特征值：Ø 由

31、1 .9 - l1 .1= 01 .11 .1 - lØ 可解出：l2-3l+0.88=0l1=2.67l2=0.33Ø 将l1， l2分别代入公式（5），可解出特征并构建变换矩阵为：F = é f T ù = é 0.820.57 ùê 1 úêúë f T ûë- 0.570.82û2第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 38其他变换K-L变换n K-L变换计算实例Ø 可有协方差矩阵：6C 1å(x -m )(x -m )T =x

32、 6ix ixi=11 ìé2.25 2.25ù+é 0.25 -0.25ù+é2.25 0.75ù+é2.25 2.25ù+é 0.25 -0.25ù+é2.25 0.75ùüM íê2.25 2.25ú ê-0.25 0.25ú ê0.75 0.25ú ê2.25 2.25ú ê-0.25 0.25ú ê0.75 0.25ú

33、ýîëû ëû ëû ëû ëû ëûþC = é1.9 1.1ùxê1.1 1.1úëû第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 3711 其他变换K-L变换Ø 为有效的发挥K-L变换的作用，待变换的对象中各分量之间应具有较强的相关性；相关性越强，K-L变换的效果越明显，表现为变换矩阵的特征值具有快速下降的曲线Ø 与叶变换、Hadamard变换等不同，K-L变换的变

34、l换矩阵随不同图像的统计性质、不同的随机 定义而不同Ø K-L变换域的图像常常具有直接应用的价值Ø 到目前为止，K-L变换尚无有效的快速算法，计算量巨大是其应用发展上的瓶颈第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 44 其他变换K-L变换Ø 各主分量相互之间的互不相关，使得变换后的特征具有描述图像的全部Ø 在遥感图像处理中，将原始的多波段图像转换为主分量图像，将使大量 地集中在少数几个分量上，实现有效的特征抽取第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 43 其他变换K-L变换Ø K-L变换的目标，即在于找出使X矢量中各分量相关性降低或去除的方向，对

35、图像进行旋转，使其新空间的坐标轴指向各主分量方向主成分分析或主成分变换Ø 扩展至空间，K-L变换可实现空间中的去相关，并将能量集中在少数主要分量上X2Y1Y2X1第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 42其他变换K-L变换n K-L变换的深入讨论Ø 考察下图二维X空间中框各矢量X：9图(B)中，各点的x1变化时，其x2也必定增大或减小;表明矢量X的x1，x2 分量之间相关性很高9图(A)中，各点的x1 变化时，其x2 变化很小或没有变化; 表明矢量X的x1 ， x2分量之间相关性很低或没有相关性X2X2X1X1A) 不相关B) 相关第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站

36、41其他变换K-L变换n K-L变换的应用Ø 图像目标旋转的应用ü 将图像的坐标作为随机Ø 多波段图像特征抽取应用ü 将图像的波段作为随机Ø 图像数据压缩应用的分量 X=x，y的分量 X=b ，b ，b 12nü 将图像的波段或像素作为随机的分量 X=p ，p ，p 12n第四章 图像处理中的正交变换45遥感地面站12 其他变换变换Ø 对于i=0,1,N-1，令x=i/N，则形成一组基函数，除k=0时为常数外，每个基函数均具有独特的一个矩形脉冲对Ø 这些基函数在尺度（宽度）和位置上均有所变化，索引p 规定了尺度，q

37、 决定了平移量Ø 可以计算N8时p 和q 的：第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 48 其他变换变换n 函数的定义Ø 令整数0kN-1由其他两个整数p 和q 唯一决定k = 2 p + q - 1Ø 函数定义为：ì 2 p / 2q - 1 £ x < q - 0.5ï2 p2 ph ( x) = 1h ( x) = 1 ï- 2 p / 2q - 0.5 £ x < q0NkN í2 p2 pï 0其他ïî第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 47 其他变

38、换 变换 n 变换Haar TransformØ 与 哈达玛变换的 相似，寻找其他可用的正交函数Ø Haar函数于1910年提出，其矩阵只有1，1和另一个以 2 为基础的系数。它是正交稀疏矩阵，可实现快速计算Ø 函数具备完备性与归一化正交性n 变换的定义Ø 利用 函数作为基函数的对称、可分离酉变换，要求N =2nT = HFH第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 46其他变换变换Ø 由此形成8个函数，形成矩阵：第四章 图像处理中的正交变换49遥感地面站13 其他变换变换n 变换的特性Ø Haar函数的一个重要特性收敛均匀而迅速

39、16; 叶变换的基函数仅是频率不同，函数在尺度和位置上都不同Ø 变换具有尺度和位置的双重性Ø 全域特性和区域特性： 函数系列可分为全域部分和区域部分。全域部分作用于整个变换区间，区域部分作用于局部区域Ø 小波特性：变换后子波的尺度c 2d 2远小于原始信号第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 52 其他变换变换n N图像注意：右下象限部分可以用来搜索图像中不同位置的小特征第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 51 其他变换变换n 函数波形如右图， 可有特征：Ø 第一行反映一种整体变换，第二行反映两个半幅变换，下两行是N/4之间的变换，最后是相邻两像元

40、之间的变换Ø 矩阵既反映整体，又反映局部Ø 如果一个信号、或信号中的一部 分，可以近似地匹配上某一基函 数，则在变换后，会产生一个对 应那个基函数的较大的变换系数， 而对于其他正交基函数产生较小 的系数。由此，变换可以给 出一些线和边的和位置第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 50其他变换 其他变换小波变换小波变换变换第四章 图像处理中的正交变换第四章 图像处理中的正交变换5354遥感地面站遥感地面站14其他变换小波变换n 叶变换的引入，使人类对于自然界复杂信号或图像的分析与处理，转变为对于其相对较为简单的频域特征的分析与处理Ø 回忆调和信号与叶变换 e jw

41、 t = cos (w t )+ j sin (w t )Ø 实际上相当于将调和信号频率与实际信号相比较Ø 若实际信号中含有对应频率，则具有较大的变换系数Ø 若实际信号中没有某特定频率，则该频率对应的系数较小或为零第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 56F (w ) = ò f (t)e- jwt dtf (t) = 1 ò F (w )e jwtdw2p其他变换小波变换n 小波分析的发展非常迅速。最早可以追溯到1900年(Hilbert)的论述，和1910年 提出的规范正交基n 实际的主要工作还应该是1984年法国的Morlet在分析地震

42、波局部性质时，因 变换难以达到要求，因而引入小波概念n 以后，Grossman对Morlet的信号按一个确定函数的伸缩、平移系进行了研究，为小波分析的形成开了先河n 小波变换理论的理解与解释，可从严格的理论推导、傅里叶分析的延伸、多分辨分析、子带编码等不同角度展开第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 55其他变换小波变换 其他变换小波变换x1(t) = cos(2p × 5 × t)¥- jwtX ( jw ) = ò x(t) × edt-¥¥1jwtx(t) =ò X ( jw ) × e dt2p

43、-¥x2 (t) = cos(2p × 25 × t)Fx3 (t) = cos(2p ×50 × t)第四章 图像处理中的正交变换第四章 图像处理中的正交变换5758遥感地面站遥感地面站15 其他变换小波变换x4 (t) = cos(2p × 5 × t)+ cos(2p × 25 × t)+ cos(2p × 50 × t)x4 (t) F X 4 (w )第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 60 其他变换小波变换x1 (t) FX (w)1x2 (t) F X 2 (w)x3

44、 (t) F X 3 (w )第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 59 其他变换小波变换Ø 稳态信号x4 (t) = cos(2p × 5 × t)+ cos(2p × 25× t)+ cos(2p × 50 × t)Ø 非稳态信号x5 (t) = 3 第四章 图像处理中的正交变换62遥感地面站16其他变换小波变换n 叶变换的局限性Ø 时间损失：什么时候特定的发生？Ø 位置的损失：叶变换不能确定某一的漂移、趋势、突变、起始和结束等Ø 叶变换分析是全局性的分析，难以分析局部信号特征n

45、 叶变换的其他局限性Ø 对于瞬态信号或高度局部化的信号（例如边缘），由于这些成分并不 类似于任何一个基函数，它们的变换系数（频谱）不是紧凑的， 频谱上呈现出一幅相当混乱的Ø 这种情况下，变换是通过复杂的安排，以抵消一些正弦波的方式构造出在大部分区间都为零的函数而实现的Ø 对于包含瞬态或局部变化成分的信号，叶变换分析将难于得到最佳的表示第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 64其他变换小波变换Ø 非稳态信号的叶变换 5 Hz20 Hz50 Hz 第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 63可以准确的知道频率成分，但不知道这些频率出现的位置和延续的时间其他

46、变换小波变换n 叶变换可以准确地知道信号中含有哪些频率成分，但不知道这些成分发生的时间、位置n 稳态信号特征Ø 由一系列不随时间变化的频率组成Ø 不需要知道任何频率的开始与停止时间Ø 变换基于在时间轴上无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数， 十分适于表现稳态信号n 非稳态信号具有随时间变化的频率成分，分析中需要知道Ø 什么频率在什么时候发生Ø 特定频率发生的位置第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 61其他变换小波变换n 为了克服上述缺陷，使用有限宽度基函数的变换n Gabor变换（1946），或称之为加窗付里叶变换、短时叶变换（STFT）首先

47、产生：g (t - t k )g (t - t k )tktntime第四章 图像处理中的正交变换65遥感地面站17FrequencyAmplitude 其他变换小波变换n Gabor变换具有特征：Ø 实现了对于信号的频率与时间观察的折衷Ø 无论时间还是频率的观察均为有限精度；整体精度取决于窗口Ø 一旦窗口确定，将作用于所有频率n 实际信号需要在时间与频率方面更为灵活的观察与分析第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 68 其他变换小波变换第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 67 其他变换小波变换n STFT变换步骤为：1） 选定一个有限窗口2） 将窗口放置于

48、信号的起点3） 计算窗口内信号的叶变换4） 将窗口向右移动一个距离5） 重复3）4）步，直至达到信号的末尾由此，得到每个时间段内信号的频率成分第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 66 其他变换小波变换其他变换小波变换n 从叶变换到小波变换（续）n 从叶变换到小波变换（续）Ø 小波变换步骤：第一步第二步Ø 小波变换9结果产生小波变换系数9按照小波系数，原始信号分解为不同小波的组合第三步第四步第五步：对所有尺度的小波重复一至四步第四章 图像处理中的正交变换第四章 图像处理中的正交变换7172遥感地面站遥感地面站18其他变换小波变换n 从叶变换到小波变换（wavelet tr

49、ansforms）Ø 叶变换¥F ( w ) = ò f (t )e -iwt dt-¥ü 意味着信号在所有时间区间与复指数相乘，结果产生叶系数F(w)ü 按照叶系数，可将原信号分解为不同频率的组合第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 70其他变换小波变换n 进一步的发展采用频率不同、位置不同、宽度有限的基函数进行变换：小波变换出现n 变换最早出现的小波变换实例，其基均为一个函数通过不断的平移和伸缩来产生。具有奇数矩形脉冲对的哈尔函数为最古老又最简单的小波n 什么是小波？小波是具有有限区间和均值为零的波第四章 图像处理中的正交变换遥

50、感地面站 6919 其他变换小波变换n 连续小波变换（续）Ø 连续小波变换的深入讨论ü 观察L2空间的内积函数< f (t), g(t) >= ò f (t)g * (t)dt ü 以及互相关函数Rxy (t ) = ò x(t) × y*(t -t )dt=< x(t), y(t -t ) >ü 可有Ø W(a,b)是信号x(t)与小波基本函数在尺度因子a和位移因子b时的互相关函数Ø 如果信号在特定的尺度因子a和位移因子b下与基本小波函数具有较大的相关性（相似性），则W(a,b)

51、值将较大第四章 图像处理中的正交变换遥感地面站 76W (a, b) =< x(t),y (a, b) >=< x(t),y a,0 (t - b) >= Rx,y (b)a ,o 其他变换小波变换n 连续小波变换（续）Ø 连续小波变换定义（又称之为积分小波变换）：W f ( a , b ) =< f ,y a ,b ( t ) >=¥1¥t - b= ò f ( t )y a ,b ( t ) dt =a ò f ( t )y ( a) dt- ¥- ¥Ø 连续小波变换的逆变换为：1 ¥ ¥daf ( t ) = Cò