北航数学竞赛

1、北京航空航天大学2010年数学竞赛答案一.填空题（本题共60分）1. 设函数在区间内连续，对任意正数，有，且，则_2. 设 则_3. 已知在内可导，且，则_4. 已知 则5. 当满足_时，级数绝对收敛.6. _7. 已知，且在上有，则_8. 计算积分 _9. 设是八面体的表面，则积分=_10. 设由曲线与直线所围的均匀薄片(面密度为)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为_二. (本题10分) 设 , 试问中哪一个的变动对R影响最大?解 ,两边取全微分故, , 由于 , 所以因此的变动对R影响最大.三、(本题10分) 已知 .（1）证明；（2）求 .解: .设 ，, ,所以 四、(

2、本题10分) 计算曲面积分 其中 的部分的外侧.解: 作辅助曲面下侧；，下侧。原式=，原式=.五、(本题10分) 求最小的实数C， 使得满足的连续函数都有.解: 一方面 。另一方面， 取 , 则, 而因此最小的实数C=2.北京航空航天大学2009年数学竞赛试题解答一、填空题（每题5分）1. 2. 设 则3. 当是等价无穷小，则4. 设 则5. 设 6. 求二重积分7. 已知 8设曲线起点和终点坐标依次为、，则变力沿该曲线做功为。9已知，则10设有向曲面外侧。则积分二、 设函数 试讨论函数的奇偶性，并求，偶函数。三、 设 试判别级数的敛散性.，因为所以级数收敛。四、计算曲面积分 .其中是曲面介于

3、两平面之间的那部分表面的外侧。作辅助平面上侧，下侧，五、 在曲面：内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积最大？求最大体积。在第一卦限的上取一点做为长方体的顶点，则该长方体的体积为设拉格朗日函数，解得最大体积为六、设函数在上连续，在内可导，满足，且 试证明：在内至少存在一点 使得证明：设辅助函数则又由知，从而存在使得由罗尔定理知在内至少存在一点 使得，即有北京航空航天大学2008年数学竞赛试卷一填空题（每题4分，共40分）二(10分)求三(10分). 四(10分). 五(10分). 已知函数为上的连续函数, 且满足方程, 求的表达式.六(10分).七(10分). 求,其中C为曲线(R>0

4、),若从 z轴正向看去，C为逆时针方向.北京航空航天大学2007年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共40分）二、(本题10分) 设是的次多项式，。1. 证明对任意的正整数，有2. 证明对任意的正整数，有三、(本题10分) 已知函数计算四、(本题10分) 五、(本题10分) 计算六、(本题10分)七、(本题10分) 北京航空航天大学2006年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共40分）二、(本题10分) 三、(本题10分) 四、(本题10分) 五、(本题10分) 六、(本题10分)七、(本题10分) 北京航空航天大学2005年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共40分）二、(本题10分)三、(本题10分)

5、四、(本题10分)五、(本题10分)六、(本题10分)七、(本题10分)北京航空航天大学2004年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共40分）二、(本题10分)三、(本题10分)四、(本题10分)五、(本题10分)六、(本题10分)七、(本题10分)第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1. = 1/6 .2设连续，在处可导，且满足 则曲线在处的切线方程为 y=2x2 .3. 设, 则 2 . 4设函数可导且，二元函数满足，则 .5. 设是由曲线 和直线, 所围成的区域, 是连续函数, 则 2 . 6. .7. 数项级数的和 1+cos1+ln2. 8.

6、 计算积分= 1/2 .9. 已知入射光线的路径为, 则此光线经过平面反射后的反射线方程为 . 10. 设曲线的长度为L, 则 . 二、(10分) 设在上二阶可导，且而当时, 证明在内，方程有且仅有一个实根证明 由于当时，因此单调减，从而，于是又有严格单调减再由知，最多只有一个实根下面证明必有一实根当时， 即 ，上式右端当时，趋于，因此当充分大时，于是存在，使得，由介值定理存在，使得综上所述，知在有而且只有一个实根 三、(10分) 设有二阶连续偏导数, , 且, 证明 在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 , 由全微分的定义知 .A=， ， , 且, 故是极大值. 四

7、、(10分) 设f (x)在 0,1 上连续, f (0)= f (1) , 求证:对于任意正整数，必存在，使证明令于是有 所以故存在使五、(10分) 六、(10分) 设函数除原点外处处具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面上,积分的值恒为同一常数. (1)证明: 对空间区域内的任意光滑简单闭曲面,有; (2) 求函数满足的表达式. (1)证明: 如图, 将分解为,另做曲面围绕原点且与相接, 则=0.(2) 由(1)可知, ,其通解为, 由, 得,故七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线 及轴所围成的, 现要求当此薄片以为支点向右方倾斜时, 只要角不超过, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数最大不能超过多少? yM解 倾斜前薄片的质心在, 点与点的距离为, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点, 此时薄片底边中心在点处, 有 , 解得, 故最大不能超过. .八、(10分) 讨论是否存在 0,2 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x) 在 0,2 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, 解