华师一附中高中招生考试试题及解析

1、华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟 卷面满分:150分一.选择题（6分×6=36分）1,如果实数在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为【解析】由图知,故,选D.2.反比例函数的图象与直线交于两点,则OAB的面积为【解析】（补形）.故有A（1,4）,B（4,1）.作AEy轴于E,BDx轴于D.可知：AOEBOD.且.延长EA,DB交于C,则四边形CDOE是边长为4的正方形,且ABC是腰长为3的等腰直角三角形,且.于是OAB的面积为3.设是一元二次方程的两根,则等于A.4 B.8 C.6 D.0【解析】（降次）由韦达定理:,故选A.4.已知的三边长,且

2、满足,则ABC是A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知的三边长,且满足,则ABC是.【解析】由条件得: .故ABC是等腰直角三角形,选B.5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆O,这里ABCD且CD=40

3、,AB=80.设此等腰梯形的对称轴交AB于M,交CD于N,则MN=80. AB>CD,OM<ON.设OM=40x,ON=40+x,圆半径为r.AOM中,DON中,（1）（2）：,代入（2）故所求最小圆的直径为,故选C.6.如图,ABC内接于圆O,BC=36,A=60°,点D为上一动点,BE直线OD于E,当点D由B点沿运动到点C时,点E经过的路线长为【解析】（轨迹法）如解图,连结OB,分别在上取其中,则相应的动点依次为.故点E的轨迹是OB为直径的优弧.已知BC=36,是含30°角的直角三角形,.设M为OB的中点（优弧圆心）,连MN.则圆M的半径MB=.注意到BOC

4、=120°,BON=60°,BMN=120°, 优弧之长为圆M周长的,故选B.二.填空题（7×7=49分）7.方程的所有根的和为 【解析1】.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4.即【解析2】由原方程得:.8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为 【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为9.关于x的方程无解,则的值是 【解析】由原方程得:关于x的方程（1）只有唯一解,代入（1）得,此时原方程无解;又在方程（1）中令得.矛盾.

5、此时方程（1）无解,从而原方程无解.故若原方程无解,则必.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x（h）,两车之间的距离为y（km）,y与x的函数图象如图所示,则 【解析】慢车12.5小时走完全程,设快车速度为t（h）1小时后两车相距800km,即1小时两车共行200km,t=120km（h）a小时后两车相遇,此时慢车走80akm,快车走120（a1）km,故有:11.已

6、知的最小值为23,则= 【解析】原式配方得:,抛物线开口向上且对称轴为.当,故当时,y随x增大而减小.故当x=3时有:12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,都是斜边在x轴上,且斜边长分别为2,4,6,的等腰直角三角形.若的顶点分别为则依图中的规律,的坐标为 【解析】注意到点全在x轴上,设其横坐标依次为.继续分析.点都在原点右边,其横坐标取正值,点都在原点左边（其中为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅横坐标为0）.2015=4×5041,故必在原点左边,其横坐标必为负值.易求,故所求点A的坐标为:.13.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新

7、的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为cm,左,右边衬都为cm,那么【解析】依题意有:（据等比定理）故又:（1）代入（2）：解得：,从而.三.解答题14.（14分）已知m,n是方程的两根,（1）求的值;（2）求的值【解析】（1）故.（2）m,n是方程的两根,设,则=7.15.（15分）如图,ABC中,AC=BC,I为ABC的内心,O为BC上一点,过B,I两点的圆O交BC于D点,（1）求线段BD的长; （2）求线段BC的长【解析】（1）如解图,I为ABC内心,故BI平分ABC.设ABI=CBI=.连CI,并延长交AB于E,

8、CA=CB,CEAB,且AE=BE=3.于是.连DI,BD为圆O的直径,BID=90°.于是.（2）连OI,OI=OB=,DOI=2,故OIAB,COICBE,.16.（18分）如图,四边形ABCD中,ADBC,BCD=90°,AD=6,BC=3,DEAB于E,AC交DE于F,（1）求AE·AB的值;（2）若CD=4,求的值;（3）若CD=6,过A点作AMCD,交CE的延长线于M, 求的值.【解析】（1）如解图1,作AGBC,交CB延长线于G,则四边形AGCD为矩形.GC=AD=6,但BC=3,GB=3.已知DEAB于E,AGBDEA.于是（2）延长AB,DC交于

9、H.ADBC,且AD=2BC,BC为AHD的中位线,故CH=DC=4.由勾股定理知AH=10,AB=BH=5.沿DE,CB交于T,有AEDBTE.RtADH中,DEAH,.于是由AFDCFT,知.（3）如解图3有AEMHEC,17.（18分）二次函数的图象与x轴交于,与y轴交于c点.（1）若AB=2,且抛物线的顶点在直线y=x2上,试确定m,n的值;（2）在（1）中,若点P为直线BC下方抛物线上一点,当PBC的面积最大时,求P点坐标;（3）是否存在整数m,n,使得同时成立?请证明你的结论.【解析】（1）.由韦达定理:,故有:抛物线的顶点为,代入y=x2:代入（1）：从而.（2）在（1）的条件下,有：此抛物线的顶点为（2,4）,交x轴于A（1,0）,B（3,0）,交y轴于C(0,12）易求直线BC的解析式为.为使PBC面积最大,只需点P与直线BC距离最远.设过P且平行于BC的直线解析式为,代入抛物线解析式;.此时有即所求点的坐标为.（3）（反证法）假如存在这样的整数m,n,使得方程之2根满足.那么:方程之2根为:由由当m=5时,2m4=6>