第四节实对称矩阵的相似矩阵

1、第五章第五章 相似矩阵相似矩阵第四节第四节 实对称实对称矩阵的相似矩阵矩阵的相似矩阵证证:,的的特特征征值值为为对对称称矩矩阵阵设设A . 0, xxAx 则则实对称矩阵的性质：实对称矩阵的性质： 1.,x对应的特征向量为对应的特征向量为, xAx ，xxA , xxA ,)()(TTxxA ,TTxAx , xxAxxTT , xxxxTT . 0)( xxT ，0 x. 0 11 niiiniiTxxxxx2, 0 , .为为实实数数故故 . , , , (2)212121正正交交与与则则特特征征向向量量分分别别为为对对应应的的的的不不同同特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设ppppA 证

2、：证：, 111pAp 由由已已知知得得,21 .21正交正交与与即即pp, 021 ppT,222pAp ,)()(111TTpAP ,111TTpAP ,21121ppApPTT ,)(211221ppPPTT . 0)(2121 ppT . (1)的的特特征征值值必必为为实实数数实实对对称称矩矩阵阵. ,)(, , 3)(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有从从而而对对应应则则重重特特征征值值的的是是阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设kknAERkAnA ：实实对对称称矩矩阵阵相相似似对对角角化化 2. )1(即即可可对对角角化化阵阵相相似似，实实对对称称矩矩阵阵必必与与对对角角矩

3、矩 ) 2 1(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的，如如果果把把对对应应特特征征值值iikri iikiippp 21，正交规范化得正交规范化得，iikiieee 21. 21向向量量的的两两两两正正交交的的单单位位特特征征为为，则则iikiiieee ) (1211，令令rrkeeeP 为正交矩阵，为正交矩阵，则则P 1，且且 APP为对角矩阵，为对角矩阵，其中其中 .的的特特征征值值素素为为且且该该矩矩阵阵主主对对角角线线上上元元A. )2(1为为对对角角矩矩阵阵使使，则则存存在在正正交交矩矩阵阵为为实实对对称称矩矩阵阵，设设APPPA 3.求求正正交交矩矩阵阵的的步步骤骤：；，

4、的的特特征征值值求求对对称称矩矩阵阵nA )1(21；，个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的求求出出，解解，对对每每个个niipppnAxAE 0)( )2(21 ；，正交规范化得正交规范化得，将将nneeeppp )3(2121). ( )4(2121nneeePeee，为列构造正交矩阵为列构造正交矩阵，以以 解：解： 20212022 AE),4)(1)(2( . ,0 20 21 20 22 1.1为为对对角角矩矩阵阵使使，求求正正交交矩矩阵阵设设例例APPPA 的特征值为的特征值为A. 4 1 2321 ， 21，对对 ，解解0)2( xAE .11 211 p得得对对应应的的

5、特特征征向向量量 12，对对 ，解解0)( xAE .1 1 212 p得对应的特征向量得对应的特征向量 43，对对 ，解解0)4( xAE .1 22 3 p得对应的特征向量得对应的特征向量 321正交规范化得正交规范化得，将将ppp， 3232311e， 3231322 e， 3132323 e， 313232323132323231 P.400 010 002 且且 若只要求可逆矩阵，若只要求可逆矩阵，注：注：.1 1 1 212 1 2121 P则则310130004 AE,)4)(2(2 的特征值为的特征值为A, 21 对对, 432 对对. ,310130004 2.1为对角矩阵为

6、对角矩阵使使，求正交矩阵求正交矩阵设设例例APPPA 解解：. 4, 2321 ，解解0)2( xAE.1 10 1 p得对应的特征向量得对应的特征向量, 0)4( xAE解解.110 ,001 32 pp征征向向量量得得对对应应的的线线性性无无关关的的特特 321正交规范化得正交规范化得，将将ppp， 21211 0 e， 0012e， 212121210 0010 P.4000400021 APP且且， 212130e: :解解,0001 rEAPP AE2 故故 E2rnrEE 200.2rn .2 ,)( , 3.2AErARAAAn 求求且且满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵设设例例,

7、 0 1 2或或的特征值为的特征值为可得可得由由AAA ,)(,rARA 且且是实对称阵是实对称阵又又使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵,P.阶阶单单位位矩矩阵阵为为其其中中rEr112 PPPPPEP 21)97.( )2( 3 )1(.)1 2 1( )1 1 1(2 1 3 2 1 4.21年年求求矩矩阵阵的的特特征征向向量量；的的属属于于特特征征值值求求，的的特特征征向向量量分分别别是是，的的属属于于特特征征值值矩矩阵阵；，的的特特征征值值是是设设三三阶阶实实对对称称矩矩阵阵AAAATT )00.( 2 5334 111 5.1年年为对角形为对角形使使，试求可逆矩阵试求可逆矩阵的二重特征值，的二重特征值，是是向量，向量，有三个线性无关的特征有三个线性无关的特征已知已知，设矩阵设矩阵APPPAAyxA .41 )D( 21 )C( 43 )B( 34 )A( )93).( ()31( 2 . 312，年年特特征征值值等等于于有有一一个个则则矩矩阵阵的的一一个个特特征征值值，为为非非奇奇异异矩矩阵阵设设 AA B答案：答案：. )D( )C( )B( )A(