结构力学第六章

1、6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 位移法的基本原理位移法的基本原理6-3 6-3 位移法的基本假设、基本未知量位移法的基本假设、基本未知量 基本体系和典型方程基本体系和典型方程6-6-4 4 荷载作用下超静定刚架的计算举例荷载作用下超静定刚架的计算举例6-6-5 5 对称性的应用对称性的应用6-6-6 6 温度改变及支座移动下的计算温度改变及支座移动下的计算6-7 6-7 超静定结构讨论超静定结构讨论第六章第六章 位移法位移法6-1 6-1 概述概述一、位移法的提出一、位移法的提出图示结构是六次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯杆忽略其轴图示结构是六次超静定结构，但只有一个结点位移（受

2、弯杆忽略其轴向变形）。向变形）。 力法力法 六个未知量六个未知量 位移法位移法 用结点位移作为未知量，只有一个未知量用结点位移作为未知量，只有一个未知量二、单跨超静定梁的内力二、单跨超静定梁的内力 单跨超静定梁的内力可用力法求出，它是位移法的计算基础，举例讨论如单跨超静定梁的内力可用力法求出，它是位移法的计算基础，举例讨论如下：下： 111122133121122223323113223333000cccFFFFFFFFF(a) 原结构原结构(b) 基本体系基本体系1、固端梁受支座转角作用、固端梁受支座转角作用 力法典型方程为：力法典型方程为： 由图乘法由图乘法由静定结构的支座沉陷位移计算公式

3、：由静定结构的支座沉陷位移计算公式： 11122131331222332,0,0,120lEIlEI1122332200R iciAAR iciAAR iciAFclllFcFc 解方程得解方程得1212MM FM F12326,0AEIEIFFFll 1212MM FM F令令 称杆称杆AB的线刚度。当的线刚度。当 时，时，当当 时，时，SAB称为杆称为杆AB的的A端抗弯劲度。端抗弯劲度。EIil1A4ABABMSi4ABABMSi由由 求杆端弯矩，并画出弯矩图求杆端弯矩，并画出弯矩图（g)g)。 ，杆端剪力可求得，杆端剪力可求得，2、固端梁受支座线位移作用、固端梁受支座线位移作用 力法典型

4、方程为：力法典型方程为：111122133121122223323113223333000cccFFFFFFFFF由图乘法：由图乘法：直接由几何关系判断直接由几何关系判断11122131331222332,0,0,120lEIlEI12230(1)0ccc 方向与F方向相反解方程得：解方程得： 由由 得得 弯矩图弯矩图（g), 杆端剪力也可求得。杆端剪力也可求得。 令令 ，当，当 得弯矩图得弯矩图如图（如图（h)所示。所示。1233120,0EIFFFl1212MM FM FEIil1 3、固端梁受荷载作用力法典型方、固端梁受荷载作用力法典型方程为：程为：1111221331211222233

5、23113223333000cccFFFFFFFFF由图乘法：由图乘法：11122131331222332,0,0,120lEIlEI31232400ppcqlEI 4、固端梁受变温作用力法典型方、固端梁受变温作用力法典型方程为程为:000333323213123232221211313212111tttFFFFFFFFF0,0,243221FFqlF解方程得：解方程得：PMFMM11由由 得得( g),( g),杆端剪力也杆端剪力也可求得，如图（可求得，如图（g)g)所示所示。由图乘法：由图乘法：0,12,0,0,32233223113211211EIlEIltlAhtttAAhtttAhl

6、tAhtttAMNFtMNFtMNFt312332122211211)(0)()(由静定结构在变温下的位移计算可得由静定结构在变温下的位移计算可得tEAFFhtEIF3210由由 得弯矩（得弯矩（g) ,g) ,剪力为剪力为零，轴力为一常数零，轴力为一常数 压力）( tEA11FMM 将系数项和自由项代入力法典型方程，将系数项和自由项代入力法典型方程，并求解得并求解得12FQABBAQABFBABABAFABBAABFlililiFMliiiMMliiiM21266642624 杆端弯矩和剪力可将各种外来因素单独作用的结果叠加得。杆端弯矩和剪力可将各种外来因素单独作用的结果叠加得。2、一端固定

7、，一端铰支梁同时承、一端固定，一端铰支梁同时承受荷载，支座移动及温度改变受荷载，支座移动及温度改变作用时，将各种外来因素单独作用时，将各种外来因素单独作用作用 的结果叠加。的结果叠加。FQABAQABFQABAQABBAFABAABFliliFFliliFMMliiM2233330333、一端固定，一端滑移支座梁同、一端固定，一端滑移支座梁同时承受荷载、支座移动及温度时承受荷载、支座移动及温度改变作用，将各种外来因素单改变作用，将各种外来因素单独作用叠加。独作用叠加。0QBAFQABQABFBAABAFABAABFFFMiMMiM4、一端固定，一端平行于杆轴线的连杆约、一端固定，一端平行于杆轴

8、线的连杆约束的梁同时承受荷载、支座移动及温度束的梁同时承受荷载、支座移动及温度改变作用时，因其在支座移动及温度改改变作用时，因其在支座移动及温度改变下均不产生弯矩，仅荷载作用产生弯变下均不产生弯矩，仅荷载作用产生弯矩。矩。此种基本杆件，实质与悬臂梁相同。此种基本杆件，实质与悬臂梁相同。FQABQBAFQABQABBAFABABFFFFMMM0结论：结论： 以上推导了各种单跨超静定梁在杆端位移、荷载、温度下的杆端弯以上推导了各种单跨超静定梁在杆端位移、荷载、温度下的杆端弯矩、剪力表达式。由此可知，对于任一等截面直杆，只要知道杆件两矩、剪力表达式。由此可知，对于任一等截面直杆，只要知道杆件两端位移

9、、荷载、温度，即可求出杆件两端弯矩、剪力，作出此杆件的端位移、荷载、温度，即可求出杆件两端弯矩、剪力，作出此杆件的弯矩图、剪力图。弯矩图、剪力图。返回返回 62 位移法的基本原理位移法的基本原理 位移法是与力法对偶的一种超静定结构解法。位移法是与力法对偶的一种超静定结构解法。 结点位移结点位移位移协调位移协调杆端位移杆端位移位移协调位移协调杆端弯矩杆端弯矩弯矩弯矩一、具有一个结点角位移的情况一、具有一个结点角位移的情况基本未知量基本未知量结点结点B角位移角位移1 基本系基本系基本系基本系在结点在结点B附加一个刚臂（仅能控制转动不能控制附加一个刚臂（仅能控制转动不能控制移动的约束）移动的约束）1

10、111RPRRFFF规定顺时针为正1111,RPRFF=比较基本体系与原结构在约束处的受力状况，比较基本体系与原结构在约束处的受力状况，01RF0111PRRFF典型方程典型方程表示结点表示结点B处的力矩平衡。处的力矩平衡。01111PRFk求系数与自由项求系数与自由项lFFPPR811iiiik1244411由图（由图（e）由图（由图（f）作弯矩图作弯矩图PMMM1二、具有一个独立结点线位移情况二、具有一个独立结点线位移情况1基本系基本系基本未知量基本未知量结点线位移结点线位移 。基基 本本 系系在结点在结点1方向附加一个连杆。方向附加一个连杆。 设设 以向右为正，以向右为正， 规定以规定以

11、 同向为正。同向为正。1001111PRRRFFF111RRFF 、1典型方程典型方程表示结构上截面的剪力平衡条件。表示结构上截面的剪力平衡条件。01111PRFk比较基本系与原结构在附加连杆处的受力情况比较基本系与原结构在附加连杆处的受力情况系数与自由项系数与自由项qlFePR83)(12222119333)(lilililikf由图由图由图由图将系数代入典型方程，解方程得将系数代入典型方程，解方程得3112930,()824iqlqlli 作弯矩图作弯矩图PMMM11三、位移法原理总结三、位移法原理总结基本方程基本方程单跨超静定梁的单跨超静定梁的组合体组合体荷载荷载结点位移结点位移基本系基

12、本系基本未知量基本未知量超静定结构超静定结构转化手段：附加约束转化手段：附加约束 加上结点位移加上结点位移等效条件：平衡条件等效条件：平衡条件返回返回一、基本假设和符号规定一、基本假设和符号规定 基本假设；基本假设；（1）不计轴向变形（受弯构件）不计轴向变形（受弯构件） （2）弯曲变形是微小的）弯曲变形是微小的6-3 位移法的基本假设、基本未知量、位移法的基本假设、基本未知量、基本体系和典型方程基本体系和典型方程符号规定符号规定：结点的量习惯上采用：结点转角和刚：结点的量习惯上采用：结点转角和刚臂反力矩，顺时针转向为正；结点水平线位移和臂反力矩，顺时针转向为正；结点水平线位移和附加连杆反力，向

13、右为正；杆端的力顺时针转向附加连杆反力，向右为正；杆端的力顺时针转向为正（如下图）。为正（如下图）。弯矩、剪力弯矩、剪力转角转角线位移（或弦转角线位移（或弦转角）二、基本未知量二、基本未知量位移法基本未知量位移法基本未知量1.结点角位移基本未知量数结点角位移基本未知量数=结构刚结点数目结构刚结点数目注：注： 1.铰结点的转角不作为基本的未知量；铰结点的转角不作为基本的未知量； 2.铰支座（包括连杆支座）的转角不作为基本的未知量。铰支座（包括连杆支座）的转角不作为基本的未知量。结点角位移结点角位移结点线位移结点线位移2.结点线位移基本未知量数结点线位移基本未知量数=结构独立结点线位移数目结构独立

14、结点线位移数目 注：支座的线位移不作为基本未知量注：支座的线位移不作为基本未知量三、基本体系三、基本体系 在结构刚结点处附加一个刚臂；在结构刚结点处附加一个刚臂； 选定独立结点线位移处附加一个连杆。选定独立结点线位移处附加一个连杆。换铰法换铰法把结构所有刚结点和固定支座都转换成铰，结构变成一个铰把结构所有刚结点和固定支座都转换成铰，结构变成一个铰结体系。为保持该体系的几何不变所必须附加的最少连杆数，即为原结体系。为保持该体系的几何不变所必须附加的最少连杆数，即为原结构的独立结点线位移数目。结构的独立结点线位移数目。讨论讨论:铰结点角位移和滑移支座线位移为什么不作为位移法的基本铰结点角位移和滑移

15、支座线位移为什么不作为位移法的基本未知量？未知量？观察法观察法换铰法换铰法独立结点线位移的确定独立结点线位移的确定（b)铰化体系铰化体系四、典型方程四、典型方程000000333323213132323222121213132121111PRRPRRPRRFkkkFFkkkFFkkkF根据基本体系上附加约束内的约束力为零根据基本体系上附加约束内的约束力为零的条件，建立位移法典型方程的条件，建立位移法典型方程00022112222212111212111RnPnnnnnPRnnPRnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZkijk其中：其中： 劲度系数；劲度系数； 自由项自由项; 为位移法的基

16、本未知量为位移法的基本未知量iZRiPF、对对n 个基本未知量的结构，其位移法典型方程为：个基本未知量的结构，其位移法典型方程为：ijk1jZ劲度系数劲度系数 表示表示 作用在基本系上引起的作用在基本系上引起的 处附加约束内的处附加约束内的反力（反力矩），由结点平衡或截面平衡条件求出。反力（反力矩），由结点平衡或截面平衡条件求出。iZRiPFiZ自由项自由项 表示荷载作用在基本体系上引起的表示荷载作用在基本体系上引起的 处附加约束内的反处附加约束内的反力（反力矩），由结点平衡条件或截面平衡条件求出。力（反力矩），由结点平衡条件或截面平衡条件求出。劲度系数特点：劲度系数特点：pMZMZMZMM3

17、32211五、结点位移五、结点位移 将系数项和自由项代入位移法方程，解出结点位移。将系数项和自由项代入位移法方程，解出结点位移。返回返回由杆端弯矩绘弯矩图，由杆件和结点平衡条件求杆端剪力和轴力，由杆端弯矩绘弯矩图，由杆件和结点平衡条件求杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。作剪力图和轴力图。六、最后的内力、内力图六、最后的内力、内力图 6-4 对称性的利用对称性的利用对称结构可利用下列性质取一半结构进行计算：对称结构可利用下列性质取一半结构进行计算：1.结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力、反力均对称；结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力、反力均对称；2.结构对称，在反对称荷载

18、作用下，其变形、位移、内力、反力均反对称；结构对称，在反对称荷载作用下，其变形、位移、内力、反力均反对称；奇数跨对称荷载奇数跨对称荷载000EDyEyDxExD偶数跨对称荷载偶数跨对称荷载000EDyEyDxExD000EDyEyDxExD奇数跨反对称荷载奇数跨反对称荷载偶数跨反对称荷载偶数跨反对称荷载000EDyEyDxExD返回返回 6 6-5-5 温度改变及支座移动下的计算温度改变及支座移动下的计算 用位移法计算受温度改变及支座移动作用下的超静定结构，用位移法计算受温度改变及支座移动作用下的超静定结构，与受荷载作用时的不同之处是与受荷载作用时的不同之处是典型方程的自由项典型方程的自由项，

19、用，用FRkt或或FRkc 来代替来代替FRkp ，其它计算与受荷载时的相同。，其它计算与受荷载时的相同。0022221211212111TtRtRFkkFkk22211211kkkk、计算同荷载作用下一样计算。计算同荷载作用下一样计算。一、温度改变一、温度改变(设温度膨胀系数设温度膨胀系数）现计算现计算FR1t、FR2t:222111tRtRtRtRtRtRFFFFFF 为中性轴上温度改变为中性轴上温度改变 引起附加约束上的反力矩或反力；引起附加约束上的反力矩或反力； 为杆件内外温度差为杆件内外温度差 引起附加约束上的反力矩或反力引起附加约束上的反力矩或反力21tRtRFF 、21tRtRF

20、F 、)(2121ttt12ttt计算同前。、222112112222121121211100kkkkFkkFkkcRcR二、支座移动二、支座移动现计算现计算FR1c、FR2c：2 2221 111cRcRcRcRcRcRcRcRFFFFFFFF返回返回6-6-6 6 转角挠度法转角挠度法22114242646264623FCEcECEFECECECFEEFEEFFEFEEFEFECDCCDFEDCCDCFCECCBMiiMMiiMiMiMliMiMliMiMliMiMlMiM转角挠度法基本未知量的确定（刚结点角位移和独立结点线位移）同转角挠度法基本未知量的确定（刚结点角位移和独立结点线位移）

21、同附加刚臂和附加连杆法。附加刚臂和附加连杆法。图示刚架图示刚架 为常数，基本结点未知位移为常数，基本结点未知位移lEIEEc、各杆端弯矩各杆端弯矩00CECDCBCMMMM00EECEFMMM001PQEFQCDxFFFF求出未知结点位移后，代入杆端弯矩式可求得各杆端弯矩。由各杆端弯求出未知结点位移后，代入杆端弯矩式可求得各杆端弯矩。由各杆端弯矩作出原结构的弯矩图。矩作出原结构的弯矩图。223114/)(/)(lblFMMFlalFMMFPFEEFQEFPDCCDQCD其中：其中：根据结点根据结点C、E的力矩平衡条件及截面的力矩平衡条件及截面m-m以上部分隔离体的力的平衡以上部分隔离体的力的平

22、衡条件条件 例例 作图示钢架弯矩图。作图示钢架弯矩图。mKNMMMMMMMCEBCDCBCCDCBCBCBBCBBBABBAB12081612816142424222481648162解：解：1.位移未知量位移未知量 2.列弯矩的转角位移方程：列弯矩的转角位移方程： 3.列平衡方程并求解：列平衡方程并求解：0BCBAMM0CECDCBMMM0QCDQBAFF其中：其中：8/DCCDQCDMMF8/ABBAQBAMMF代入有关数据并整理：代入有关数据并整理：02333048034816031648BCBBCBBCB求解得：求解得：46.1812.1288.2BCB4.求各杆端弯矩：求各杆端弯矩：

23、 01204 .106 .344 .854 .254 .2546.188688.246 .1946.188688.22ECCEDCCDCBBCBAABMmKNMmKNMmKNMmKNMmKNMmKNMmKNM5. 作最后弯矩图：作最后弯矩图：例例 作图示刚架弯矩图。作图示刚架弯矩图。2.列弯矩的转角位移方程：列弯矩的转角位移方程：lliMlliMlliMlliMDCCDBAAB66666666解：解：1.确定基本未知量：确定基本未知量：0CBEI由于横梁由于横梁 , AB、CD杆只能水平移动，无角位杆只能水平移动，无角位移，移， ，只有一，只有一个线位移个线位移 3.列平衡方程并求解：列平衡方

24、程并求解：0, 0PQCDQBAxFFFF其中：其中：212/llMMFBAABQBA212/ )(llMMFDCCDQCD2401212222lFFllPP代入方程：代入方程：有脱离体有脱离体：4.求各杆端弯矩、作求各杆端弯矩、作M图：图：上拉）下拉）反时针）(4(4(4124162lFMMlFMMlFllFMMMMPCDCBPBABCPPDCCDABBA解：解：1.基本未知量基本未知量 ，基本系如图：基本系如图： 2 .典型方程：典型方程：21、0022221211212111PRPRFkkFkk例例 确定图示钢架用位移法解的基本未知量，确定图示钢架用位移法解的基本未知量，作单位弯矩图，并

25、求出系数项和自由项。作单位弯矩图，并求出系数项和自由项。为求为求 图，先求图，先求 时各杆的时各杆的相对位移，由图用速度顺心法。相对位移，由图用速度顺心法。2M12hihlliMMhllhhhBBBCBCBCBCCBBCBCBCBCAB66/11222.单位位移弯矩图、荷载弯矩图：单位位移弯矩图、荷载弯矩图：BABCiik4411求系数项：求系数项：lihikkABBC662112求求 时，先求出时，先求出 ，由图，由图22k212liFABQAB0OM322122211121266lhlEIhhllikhilikBCABBCAB自由项计算：自由项计算：01PRF求求 时，先求时，先求 PRF

26、2RFhlFFMPRB/0hlFFFFpRPRx/02返回返回位移法计算步骤：位移法计算步骤：1.确定基本未知量，建立基本系，列出典型方程；确定基本未知量，建立基本系，列出典型方程；2.作单位位移图及荷载弯矩图，计算劲度系数及自由项作单位位移图及荷载弯矩图，计算劲度系数及自由项;3.求解典型方程，得基本未知量；求解典型方程，得基本未知量；4.根据叠加原理作内力图并校核。根据叠加原理作内力图并校核。6-7 6-7 位移法计算举例位移法计算举例一、平行柱钢架一、平行柱钢架例例 计算图示结构内力，绘内力图计算图示结构内力，绘内力图（EI=C).0003333232131232322212113132

27、12111PRPRPRFkkkFkkkFkkk，、321解解：1.基本未知量基本未知量基本系如图基本系如图典型方程典型方程2.2.作单位位移弯矩图，荷载弯矩图：作单位位移弯矩图，荷载弯矩图：系数计算：系数计算：ikkiiik2844211211iiik74322likklikkk/6/12031132333223自由项计算自由项计算：3.3.求解典型方程求解典型方程lEIi 其中其中4.作最后内力图：作最后内力图：2121230.037630.010750.0605qliqliqli 叠加原理作弯矩图，由叠加原理作弯矩图，由M图作图作FQ图、图、FN图图例例 计算图示结构内力并绘制弯矩图。计算

28、图示结构内力并绘制弯矩图。解：解：1.基本系未知量、基本系：基本系未知量、基本系：2.典型方程典型方程;0022221211212111pRpRFkkFkk2.单位弯矩图，荷载弯矩图：单位弯矩图，荷载弯矩图： 系数计算：系数计算：EIEIEIEIFFFkQDEQDCQBA6415)649(12891283116492112EIFFkkQGFQED48719264922EIEIEIFFkQGFQED自由项计算自由项计算 ：0PMKNFKNFPRPR5060213.接典型方程得：接典型方程得：05048764906064964152121EIEIEIEI4.做最后弯矩图：做最后弯矩图：迭加原理作弯

29、矩图迭加原理作弯矩图PMMMM2211对无穷大的杆件杆端弯矩由结点平衡对无穷大的杆件杆端弯矩由结点平衡mKNMMmKNMMDCDBBABD4807 .102例例 计算图（计算图（a)所示刚架，做弯矩图。所示刚架，做弯矩图。EI=常数。常数。解：解：1.基本未知量及基本系基本未知量及基本系2.典型方程典型方程0022221211212111PRPRFkkFkk3.单位弯矩图和荷载弯矩图，分别如图（单位弯矩图和荷载弯矩图，分别如图（c)、(d)、(e)4.解典型方程得解典型方程得iiiiii39. 60274182316. 10223102211215.最后弯矩图最后弯矩图PMMMM211由叠加原

30、理由叠加原理 作出弯矩图作出弯矩图二、斜杆刚架二、斜杆刚架321、例例 作图示斜杆刚架的弯矩图，各杆作图示斜杆刚架的弯矩图，各杆EI=C.解：解：1 .基本未知量基本未知量 基本系如图：基本系如图： 000233323213123232221211313212111PRPRPRFkkkFkkkFkkk典型方程：典型方程：2.单位弯矩图、荷载弯矩图作图时应先求出各杆两单位弯矩图、荷载弯矩图作图时应先求出各杆两端的相对线位移，这里介绍端的相对线位移，这里介绍速度瞬心法速度瞬心法：（1） 将基本体系改变为铰接体系；将基本体系改变为铰接体系；（2）沿附加连杆方向给单位线位移；）沿附加连杆方向给单位线位

31、移；（3）求各杆相对线位移值。）求各杆相对线位移值。43434543353513llBCllCICClBIBBBCABDC13当绘出当绘出 ，由图示几何关系：，由图示几何关系：系数计算：系数计算：ikkiiik2844211211iiik95422lililikklililikk/88. 4/5 . 4/38. 9/3/5 . 4/5 . 732233113求求k33先由杆先由杆AB、BC求出求出FQAB、FQBC；求出结点求出结点B求出求出FNBC=25.5;由杆由杆CD求出求出 FQCD=23.45;22233/95.48/45.23/5 .25lililik由结点由结点C求出求出K33；

32、自由项计算：自由项计算：12/12/2221qlFqlFPRPRFR3P求法同求求法同求k33过程：过程：8/33qlFPR3.解典型方程：解典型方程：4.作最后弯矩图：作最后弯矩图：由迭加原理由迭加原理作出弯矩图。作出弯矩图。112233PMMMMM 2121230.015450.008470.00777qliqliqli 3123312312323820124.882901234.8848.94308iqliiliqliiliiiqllll 解：解：1. 基本未知量基本未知量21、0022221211212111PRPRFkkFkk例例 确定图示刚架用位移法解的基本未知量，作单位弯矩图，并

33、求出系确定图示刚架用位移法解的基本未知量，作单位弯矩图，并求出系数项和自由项。数项和自由项。基本系如图基本系如图2 .典型方程典型方程为求为求 图，先求图，先求 时各杆的时各杆的相对位移，由图用速度瞬心法。相对位移，由图用速度瞬心法。2M12hihlliMMhllhhhBBBCBCBCBCCBBCBCBCBCAB66/11222.单位位移弯矩图、荷载弯矩图：单位位移弯矩图、荷载弯矩图：BABCiik4411求系数项：求系数项：lihikkABBC662112求求 时，先求出时，先求出 ，由图，由图22k212liFABQAB0OM322122211121266lhlEIhhllikhilikBCABBCAB自由项计算：自由项计算：01PRF求求 时，先求时，先求 PRF2RFhlFFMPRB/0hlFFFFpRPRx/02返回返回例例 作图指示结构的作图指示结构的M图、图、FN图、图、FQ图。图。000333323213123232221211313212111PRPRPRFkkkFkkkFkkk 作出弯矩图，由弯矩图求出每杆两端剪