初等函数的幂级数展开1ppt课件

1、第四节一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 初等函数的幂级数展开 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 两类问题两类问题:在收敛域内在收敛域内和函数和函数)(xSnnnxa0幂级数求求 和和展展 开开一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn( 在在 x 与与 x0 之之间间)称为拉格朗日余项称为拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在则在若函数若函数0)(xxf在的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数,

2、此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有该邻域内有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f (x) 的泰勒级数的泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数对此级数, 它的收敛域是什么它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在定理定理1 .各阶导数各阶导数, )(0 x那么那

3、么 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有定理定理2： 假设假设 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式则这种展开式是是唯一的唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, 的幂级数的步展开成函数xxf)(求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在

4、 x0 = 0 处的值处的值 ;写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R ; 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内)(limxRnn是否为是否为骤如下骤如下 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式0. 的函数展开的函数展开例例1. 将函数将函数xexf)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 )(xRne! ) 1( n

5、1nxxe! ) 1(1nxn故故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在在0与与x 之间之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数故得级数 nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出类似可推出:),(x例例2. 将将xxfsin)(12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.),(x2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为二项展开式称为二项展开式 .说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与

6、m 有关有关 .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的二项式定理就是代数学中的二项式定理.mxxf)1 ()(例例3. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 对应对应1,2121m的二项展开式分别为的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn2. 间接展开法间接展开法211x x11利用一

7、些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为nxxx21)11(x把把 x 换成换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. x11 xxxn21 1x例例5. 将函数将函数)1ln()(xxf展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分, 得得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续定义且连续, 区间为区间为.11

8、x利用此题可得利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛的幂级数展成将xxxxf121)(2:解)()(xxxf212113111) 1(110 xxxnnn而2122110 xxxnnn例例6： (31xfnnnx01)()201nnnxnnnnx011321)(2121x例例7. 将将3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x41nnnnx2) 1() 1(0081nnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn !212nxxxenx x x1ln! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x