数字信号处理程佩青件快速傅里叶变换PPT课件

1、主要内容DIT-FFT算法 DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法线性卷积的FFT算法第1页/共63页4.1 引言 FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 发表文章机器计算傅里叶级数的一种算法，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。第2页/共63页 典型应用：信号频谱计算、系统分析等)()(kXnxDFT )()()(nynhnxFFTnhn

2、yIFFTFFTnx)()()( 系统分析系统分析 频谱分析与功率谱计算频谱分析与功率谱计算第3页/共63页4.2 直接计算DFT的问题及改进途径10)()(NnknNWnxkX10)(1)(NkknNWkXNnx1、 DFT与与IDFT( )Nx n点有限长序列第4页/共63页2、DFT与与IDFT运算特点运算特点复数乘法复数乘法复数加法复数加法一个一个X(k)NN 1N个个X(k)(N点点DFT)N 2N (N 1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcb同理：同理：IDFT运算量与运算量与DFT相同。相同。实数乘法实数乘法实数加法实数加法一次复乘一次复乘42一次复加

3、一次复加2一个一个X (k) 4N2N+2 (N 1)=2 (2N 1)N个个X (k)(N点点DFT)4N 22N (2N 1)第5页/共63页3、降低DFT运算量的考虑nkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW对称性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可约性/nknk mNN mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊点：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee 第6页/共63页FFT算法分类算法分类:q 时间抽选法时间抽选法DIT: Decimation-

4、In-Timeq 频率抽选法频率抽选法DIF: Decimation-In-FrequencyFFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系数的特性，合并运算中的某些项， 把长序列短序列，从而减少其运算量。第7页/共63页4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法12/.210) 12()()2()(21Nrrxrxrxrx，（Decimation In Time）1、算法原理设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零将序列将序列x(n)按按n的奇偶分成两组：的奇偶分成两组：N为为2的整数幂的的整数幂的FFT算法称算法称基基-2FFT算法算法。第8页/共63页将N点DFT定

5、义式分解为两个长度为N/2的DFT10)()()(NnknNWnxnxDFTkXkrNnNrrkNnNrWrxWrx)12(12/0212/0) 12()2( 为奇为偶 )(12/02/2)(2/12/0121)()(kXNrrkNkNkXrkNNrWrxWWrx)()()(21kXWkXkXkN记：记： （1 1）rkNrkNWW2/2（这一步利用：（这一步利用： ）,0,1,./2 1r kN第9页/共63页再利用周期性求再利用周期性求X(k)的后半部分的后半部分/22NkNkkNNNNWWWW 又)(2)()()(222112/02/112/0)2/(2/11kXkNXkXWrxWrxk

6、NXNrrkNNrkNrNrkNkNrNWW2/)2/(2/)2()2()2()2(12/,.2 , 1 , 0)()()(2)2/(121kNXWkNXkNXNkkXWkXkXkNNkN，12/,.2 , 1 , 0)()(21NkkXWkXkN，第10页/共63页将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。)(1kX)(2kX)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNkNW1212( )( )( )()( )( )2kNkNX kX kW XkNX kX kW Xk0,1,.,/21kN注：注：a. 上支路为加法，下支路为减法；上支路为加法，下支路为减法； b. 乘法运算的支路

7、标箭头和系数。乘法运算的支路标箭头和系数。第11页/共63页用“蝶形结”表示上面运算的分解： 328N)0(x)1 (x)2(x)3(x)4(x)5(x)6(x)7(x)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X1NW0NW2NW3NW)0(1X)1 (1X)2(1X)3(1X)0(2X)1 (2X(3)2X)2(2XDFTN点2DFTN点2第12页/共63页分解后的运算量：分解后的运算量：复数乘法复数乘法复数加法复数加法一个一个N/2点点DFT(N/2)2N/2 (N/2 1)两个两个N/2点点DFTN2/2N (N/2 1)一个蝶形一个蝶形12N/2个蝶形个蝶形N/

8、2N总计总计22/2/2/2NNN2/2 1/2N NNN运算量减少了近一半运算量减少了近一半第13页/共63页进一步分解进一步分解MN2122MN2N4N由于由于 ， 仍为偶数，因此，两个仍为偶数，因此，两个 点点DFTDFT又可同样进一步分解为又可同样进一步分解为4 4个个 点的点的DFTDFT。1314(2 )( )(21)( )xlx lxlx l0,1,.,/4 1lN13/2413/24( )( )( )()( )( )4kNkNX kXkWXkNX kXkWXk0,1,.,14Nk 第14页/共63页02/NW12/NW)(3lx)(4lx)2(x)4(x)6(x)0(x)0(1

9、X) 1 (1X)2(1X) 3(1X) 0(3X) 1 (3X)0(4X) 1 (4XDFTN点4DFTN点4“蝶形蝶形”信流图表示信流图表示 第15页/共63页N点DFT分解为四个N/4点的DFTDFTN点4DFTN点4DFTN点4DFTN点4)2(x)4( x)6( x)0( x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7( x0NW2NW0NW2NW1NW0NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X) 3(X)4(X) 5(X)6(X)7(X)(.kX)(.nx第16页/共63页类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT).如上述N=8=23，N/4=2点中：

10、类似进一步分解1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)02W第17页/共63页进一步简化为蝶形流图：进一步简化为蝶形流图：0NWX3(0)X3(1)x(0)x(4)4()0()4()0()0(004/3xWxxWxXNN)4()0()4()0() 1 (014/3xWxxWxXNN因此因此8 8点点FFTFFT时间抽取方法的信流图如下时间抽取方法的信流图如下第18页/共63页)2(x)4(x)6(x)0(x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7(x0NW0NW0NW0NW第一级.0NW2NW0NW2NW 第二级.)(0kX1m)(1kX)(2kX)(3kX2m3m1NW0NW

11、2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X 第三级.第19页/共63页FFT运算量与运算特点 1 N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。2每一级有N个数据中间数据），且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。3计算量： 每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次复乘法；复加法L*N=Nlog2N 次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数) N2/(Nlog2N) 。当 N大时，此倍数很大。第20页/共63页222()2()loglog2FFmDFTNNNmFFTNN比较比较

12、DFT 参考P150 表4-1 图4-6可以直观看出，当点数N越大时，FFT的优点更突出。第21页/共63页按时间抽取FFT蝶形运算特点 1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理） 由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。混序规律： x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。位倒序实现：（1）DSP实现采用位倒序寻址（2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。第22页/共63页倒位序倒位序自然序自然序000000001004100101022010110

13、63011001141001015510101136110111771112 102( )()x nnn n n倒位序倒位序第23页/共63页第24页/共63页例计算 ， 。计算 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数 和倒序后 的数据值？2)(nnx31.2 , 1 , 0n32N)13( x)13( x16913)13(2x5232 N210)01101()13(102)22()10110(48422)13(2x解：倒序前解：倒序前 倒序倒序 倒序为倒序为 倒序后倒序后 第25页/共63页DIT FFT中最主要的蝶形运算实现（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地

14、址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为 (即原位计算迭代）（2）每级迭形结构为，12m)2(,.2 , 1LNLmrNmmmmmrNmmmmWkXkXkXWkXkXkX)2()()2()2()()(1111111第26页/共63页q 蝶形运算两节点的第一个节点为蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表值，表示成示成L位二进制数，左移位二进制数，左移L m位，把右边位，把右边空出的位置补零，结果为空出的位置补零，结果为r的二进制数。的二进制数。2( )2L mrk（3） 的确定：的确定： 第第m级的级的r取值：取值：rNWkNW第27页/共63页DIT算法的其他形式流图 输入倒位序输出自

15、然序 输入自然序输出倒位序 输入输出均自然序 相同几何形状 输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序参考P154-155第28页/共63页时间抽取、时间抽取、 输入自然顺序、输入自然顺序、 输出倒位序的输出倒位序的FFTFFT流图流图 0NW0NW0NW2NW1110NW10NW2NW1111X(0)x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)x(3)X(1)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)110NW0NW2NW1NW3NW11第29页/共63页 例 用FFT算法处理一幅NN点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考

16、虑加法运算时间）？ 解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。 722210log2NN第30页/共63页4.4 按频率抽取（DIF）的FFT算法 与DIT-FFT算法类似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇数与偶数序号的两个序列。 设： N = 2L，L 为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的顺序分成前后两半：（Decimation In Frequency)一、算法原理一、算法原理第31页/共63页12/12/0)()()(NNnnkNNnnkN

17、WnxWnxkX12/0)(212/02)()(NnknNNNnnkNNWnxWnx12/022/)()(NnnkNNkNNWnxWnxkNkNW) 1(2/2 10( )( 1)2NknkNnNx nx nW 0,1,.,1kN第32页/共63页下面讨论：的)(12,2kXrrk12/02/212/022) 1 ()()()()()2(NnnrNNNnrnNNWnxnxWnxnxrX12/02/212/0)12(2)2()()()()() 12(NnnrNnNNNnnrNNWWnxnxWnxnxrX按按k k的奇偶将的奇偶将X(k)X(k)分成两部分：分成两部分：显然：显然：。点的对应两个D

18、FTNrXrX2/) 12(),2(第33页/共63页nNNNWnxnxnxnxnxnx)()()()()()(2221)()(2NnxnxnNNNWnxnxnxnx)()()()(22nNW令：令：用蝶型结构图表示为：用蝶型结构图表示为：第34页/共63页x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2点DFTN/2点DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X

19、(7)1NW0NW2NW3NW第35页/共63页311411/2( )( )(/4)( )( )(/4)nNx nx nx nNx nx nx nNW0,1,.,14Nn 313414( )(2 )( )( )(21)( )X kXkDFT x nXkXkDFT x n0,1,.,14Nk N/2仍为偶数，进一步分解：仍为偶数，进一步分解：N/2 N/4第36页/共63页x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4点DFTN/4点DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X

20、1(3)=X(6)0/2NW1/2NWq 按照以上思路继续分解，即一个按照以上思路继续分解，即一个N/2的的DFT分解成两个分解成两个N/4点点DFT，直到只计算，直到只计算2点的点的DFT，这就是，这就是DIF-FFT算法。算法。第37页/共63页2个个1点的点的DFT蝶形流图蝶形流图 进一步简化为蝶形流图：1点DFTx3(0)1点DFTx3(1)X(0)X(4)02W02WX(0)X(4)x3(0)x3(1)第38页/共63页)2(x)4(x)6(x)0(x)1(x)3(x)5(x)7(x)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X0NW0NW1NW2NW3NW0NW0

21、NW0NW2NW0NW2NW0NW1m第一级： 2m第二级：3m第三级：第39页/共63页二、按频率抽取FFT蝶形运算特点1）原位计算1111( )( )( )( )( )( )mmmrmmmNXkXkXjXjXkXj WrNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-1L级蝶形运算，每级级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：个蝶形，每个蝶形结构：m表示第表示第m级迭代，级迭代，k，j表示数据所在的行数表示数据所在的行数第40页/共63页2）蝶形运算）蝶形运算对对N=2L点点FFT，输入自然序，输出倒位序，输入自然序，输出倒位序，两节点距离：两节点距离：2L-m=N / 2m

22、1111( )( )2( )22mmmmrmmmNmmNXkXkXkNNXkXkXkW第第m级运算：级运算：第41页/共63页q 蝶形运算两节点的第一个节点为蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成值，表示成L位二进制数，左移位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位位，把右边空出的位置补零，结果为置补零，结果为r的二进制数。的二进制数。rNW 的确定12( )2mrk存储单元存储单元输入序列输入序列x(n) : N个存储单元个存储单元rNW系数系数 ：N / 2个存储单元个存储单元第42页/共63页三、三、DIT与与DIF的异同的异同q 基本蝶形不同基本蝶形不同2log2FNmN2logFaN

23、Nq DIT: 先复乘后加减先复乘后加减q DIF: 先减后复乘先减后复乘q 运算量相同运算量相同q 都可原位运算都可原位运算q DIT和和DIF的基本蝶形互为转置的基本蝶形互为转置第43页/共63页4.5 IDFT的FFT算法（FFT应用一） 一、从定义比较分析knNNkWkXNkXIDFTnx10)(1)()(10)()()(NnknNWnxnxDFTkX与与DFT的比较：的比较： 1）、旋转因子）、旋转因子WN-kn 的不同；的不同； 2）、结果还要乘）、结果还要乘 1/N。第44页/共63页 )(10*10*)(1)(1)()(kXDFTknNNkknNNkWkXNWkXNkXIDFT

24、nx二、实现算法二、实现算法直接使用直接使用FFT程序的算法程序的算法*)(1)(kXDFTNnx共轭FFT共轭乘1/ N( )X k*( )Xk( )x n直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：第45页/共63页4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法 （FFT应用二）单位圆与非单位圆采样（a） 沿单位圆采样; (b) 沿AB弧采样 ooooABX(ej)RezRezjImzjImzAB(a)(b)X(ej)第46页/共63页 螺线采样螺线采样 0jImzRezo0A01.0zM1A0W01z0(M I)0zk=AW-k k=0, 1, , M-1 0000jjeWWeAA第47页

25、/共63页Chirp-Z变换的线性系统表示 x(n)2/ 2 )(nWnh2/ 2nnWAg(n)h(n)1 / h(n)X(zn)由于系统的单位脉冲响应由于系统的单位脉冲响应 可以想象为频率可以想象为频率随时间随时间(n)(n)呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中, ,这这种信号称为种信号称为线性调频信号（线性调频信号（Chirp SignalChirp Signal），因此，这，因此，这里的变换称为里的变换称为线性调频线性调频Z Z变换变换。22)(nWnh第48页/共63页一、基本算法思路一、基本算法思路10)()()()()(Mmmnxmhnhnxn

26、yLMMd)1()(nMhnh2/LMmd4.7 线性卷积的FFT算法（FFT应用三）若若L点点x(n)，M点点h(n)，则直接计算其线性卷积则直接计算其线性卷积y(n)需运算量：需运算量：若系统满足线性相位，即：若系统满足线性相位，即：则需运算量：则需运算量：第49页/共63页FFT法：以圆周卷积代替线性卷积法：以圆周卷积代替线性卷积21mNML令 ( )01( )01x nnLx nLnN( )01( )01h nnMh nMnNN( )( )* ( )( ) ( )y nx nh nx nh n则 NN2log2NN2log2)()() 1nhFFTkH)()()2nxFFTkX)()(

27、)()3kXkHkY)()()4kYIFFTnyN总运算量：总运算量： 次乘法次乘法NNNmF2log23第50页/共63页比较直接计算和比较直接计算和FFT法计算的运算量法计算的运算量22(1 3/2*log)dmFmMLKmNN22241 3/2*(1log)106logmMMKMMM223logmMKL讨论：讨论：ML12NMLM 则1）当）当1NMLL 则2）当）当mLK 需采用分段卷积重叠相加法重叠保留法ML 第51页/共63页 x(n)长度很长时，将长度很长时，将x(n)分为分为L长的若干长的若干小的片段，小的片段，L与与M可比拟。可比拟。nLiniLnxnxi，其它，01) 1(

28、)()(iinxnx)()()()()(nhnxnyiinhnx)()(1 1、重叠相加法、重叠相加法iiny)( 则：则： 输出：输出：第52页/共63页)()()(nhnxnyii1MLN其中：其中：可以用圆周卷积计算：可以用圆周卷积计算：MN2 选选 ，上面圆周卷积可用，上面圆周卷积可用FFTFFT计算。计算。 )()()(nhnxnyiiN 由于由于yi(n)长度为长度为N，而，而xi(n)长度长度L ，必有，必有M-1点重叠，点重叠， yi(n)应相加才能构成最后应相加才能构成最后y(n)的。的。iinyny)()(第53页/共63页h(n)0N 1M 1x(n)0L2L3Lnnnn

29、nL 10 x0(n)N 10 x1(n)L2L 1LN 13L 10 x2(n)2L2LN 1重叠相加法图形重叠相加法图形第54页/共63页nnnN 10y0(n)x0(n) h (n)N2L2L N 100L N 1Ly1(n)x1(n) h (n)Ny2(n)x2(n) h (n)N第55页/共63页和上面的讨论一样， 用FFT法实现重叠相加法的步骤如下: 计算N点FFT， H(k)=DFTh(n)； 计算N点FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 计算N点IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 将各段yi(n)（包括重叠部分）相加， 。重叠相加的名称是由于各输出段的重叠部分相加而得名的。 )()(0nynyii第56页/共63页例例 已知序列已知序列xn=n+2,0 n 12, hn=1,2,1试试利用重叠相加法计算线性卷积利用重叠相加法计算线性卷积, 取取L=5 。yn=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14解解: 重叠相加法重叠相加法x1n=2, 3, 4, 5, 6x2n=7,