双曲线的标准方程及其几何性质

1、双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1.双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于1F1F2I)的点的轨迹叫双曲线。两定点Fi、F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2I是焦距，用2c表示，常数用2a表示。(1)若IMF|-IMFI=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若|MF|-|MF|=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a>2c时，动点的轨迹不存在.22.双曲线的标准方程：x2 a2y 2 a2匕=1(a&g

2、t;0,b>0)表示焦点在x轴上的双曲线;b225=1(a>0,b>0)表示焦点在y轴上的双曲线.b2判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质:标准方程22xy/二彳1(a0,b0)a2b222yx/1(a0,b0)a2b2图象a,b,c关系范围顶点对称性关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线离心率住日等轴双曲线:x2-y2=a2(a刊)，它的渐近线方程为y=坎离心率e=J2.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。

3、(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线.是直线l的斜率，(x-yj,(3)直线l被双曲线截得的弦长AB而k2)(x1x2)2或J(12)(y1y2)2,其中k(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A,B的坐标，且(x1x2)2(x1x2)24x1x2,x1x2,xx2可由韦达定理整体给出.二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚

4、轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为#,则双曲线方程为（）A. x2-y2= 1 B. x2-y2 = 2C. x2y2=42D. x2-y2 = 2解析：由题意，设双曲线方程为x2 y2一.一 .11(a>0),则 c= 72a,渐近线 y=x,，号=2.a2=2.，双曲线方程为x2-y2 = 2.答案：B例2、根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.(PEPF2)2 2 PF PF (1 cos60)过点P(3,（2）F1、F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点，双曲线离心率为F1PF260,Spf1f21243.解：（1）依题意，双曲线白实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨

5、论如下.如双曲线的实轴在x轴上，设22二41为所求.a2b25由e，得2c25a24由点P（3,版）在双曲线上,241.,b2T722乂ab由、得a21，b2若双曲线的实轴在y轴上，设2x2ab21为所求.同理有2c-2a529.1)22)4aba2b2c2,解之，得b2172（不合，舍去）.双曲线的实轴只能在x轴上,所求双曲线方程为4y2（2）设双曲线方程为2x2a2工b21,因F1F22c,2,由双曲线的定义，得PF12(2c)2PF12aPF2由余弦，得2PFj|PF2cosF1PF2224c2c2PFiPF2.又SPF1F2PF1PF2sin601273PFiPF248.3c248,c

6、216,一2得a4,2_b12.所求双曲线的方程为2y12三、巩固测试题1.到两定点F1A.椭圆3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（2.方程A.2xr-13.双曲线2_y_krnkk12x-2m12A.44.若0kB.线段C.双曲线D.两条射线1表示双曲线，则k的取值范围是B.2y2mC.D.双曲线B.2x1的焦距是2.22yC.D.与m有关A.相同的虚轴225.过双曲线y-1692-2akbkB.相同的实轴2y_b2C.相同的渐近线D.相同的焦点1左焦点F1的弦AB长为6,则ABF2（E为右焦点）的周长是A.286.双曲线04B.22C.14D.1212-=1的焦点到渐近

7、线的距离为A.2.3B.2C.3解析：双曲线%y2=1的焦点为（4,0）或（一4,0）.渐近线方程为y=J3x或y=/3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等,|450|d=2J33+12x7.以椭圆一81的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（2xC.13D.13x28.过点P（4,4）且与双曲线x6y291只有一个交点的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析:如图所示，满足条件的直线共有3条.9.经过两点A（7,6J2）,B（2，7,3）的双曲线的方程为2xA.22/1B.匕257521C.D.25752x12525757510.已知双曲线的离心率为2,焦点是（

8、-4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（2 x A. 42人=112B.122L=i4C.102匕=162 x D. 62 一 105211.已知P是双曲线16y-1上的一点，F1,F2是双曲线的两个焦点，且F1PF21209则PF1F2的面积为（）DA.16<3B.9MC.4后D.3v'312.双曲线25x216y2400的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为,焦点坐标为,渐近线方程为,离心率等于2213.直线yx1与双曲线二匕1相交于A,B两点，则AB=12.4V623214.过点M（3,1）且被点M平分的双曲线y21的弦所在直线方程为413.3x4y502215.双曲线mxy

9、1的虚轴长是实轴长的2倍，则m222x2.双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，m<0,且双曲线方程为y1,4m=1。416.已知双曲线的离心率e=哗,且与椭圆*+匕=1有共同的焦点，求该双曲线的方程.2133解：在椭圆中，焦点坐标为（旬10,0）,10_ .5a 2，.a2=8, b2=2.x2v2双曲线方程为彳一=1.217.已知F1、F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290,4求552的面积.xx22解：.P为双曲线y21上的一个点且F1、F2为焦点.4|PFiPF212a4,F1F22c2肥222F1PF290,在RtPF1F2中，PF1PF2F1F220

10、222一一.PF1PF2PF1PF22PF1|PF216,.202PF1|PF216,PF1PF22-1.SF1PF2-|PFlPF2118.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(J3,0)，右顶点为一、1D(2,0)，设点A1,.2(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= J3 ,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,2椭圆的标准方程为 y24(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(X0,y 0),x- x0=2x 1V。 y=得122y0=2y 12由，点P在

11、椭圆上，得世1)2419(2y 1)2 1，.线段PA中点M的轨迹方程是2 4(y 4)219.已知椭圆C的焦点F1 ( 2J20)和 F2 ( 2J2 , 0),长轴长6,设直线椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解：由已知条件得椭圆的焦点在22X_y2 1.联立方程组89x轴上,其中c= 2 J2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：y 1,消去y得，10x2x 236x 27 0.设 A(x1,y1),B( x2,y2),AB 线段的中点为 M(x0,y°)那么:Xix218x1 x2一,x0 =52所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).55520

12、.求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得弦长为曳3的双曲线方程。3解:设双曲线方程为x2-4y2=.22x-4y=o联立方程组得：7，消去y得，3x2-24x+(36+)=0xy30x1x28皿36设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(xi,yi),B(x2,y2),那么：xx2324212(36)那么：|AB|二,(1互Ux2)24丹.(11)(824363)8(12)8.32x2解得：=4,所以，所求双曲线方程是：一y1421.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|2、H3,椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3:7。(1)求这两条曲线的方程；(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cosF1PF2的值。21、解：(1)设椭圆的方程为2x2a1222y-1,双曲线方程为二二1,半焦距为c屈,b2a2b2由已知得:aa24/3/7aa2a17a231,2,故两条曲线