数学必修北师大模拟方法几何概型概率的应用PPT课件

1、1三年三年6 6考考 高考指数高考指数: :1.1.了解随机数的意义了解随机数的意义, ,能运用模拟方法估计概率；能运用模拟方法估计概率；2.2.了解几何概型的意义了解几何概型的意义. .第1页/共54页21.1.对几何概型的考查是高考的重点；对几何概型的考查是高考的重点；2.2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合解集、方程的根所在的区间等问题相结合. .第2页/共54页3模拟方法与几何概型模拟方法与几何概型(1)(1)模拟方法模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题对于某些无法确切知道概率的问

2、题, ,常借助常借助_来估计来估计某些随机事件发生的概率某些随机事件发生的概率. .用用_可以在短时间内完成可以在短时间内完成大量的重复试验大量的重复试验. .模拟方法模拟方法第3页/共54页4(2)(2)几何概型几何概型向平面上有限区域向平面上有限区域( (集合集合)G)G内随机地投掷点内随机地投掷点M,M,若点若点M M落在落在_的概率与的概率与G G1 1的的_成正比，而与成正比，而与G G的的_、_无关，即无关，即P(P(点点M M落在落在G G1 1)= ,)= ,则称这种模则称这种模型为几何概型型为几何概型. .几何概型中的几何概型中的G G也可以是也可以是_或或_的有限区域的有限

3、区域, ,相应的概率是相应的概率是_或或_._.子区域G G1 1G G面积形状位置空间中直线上体积之比长度之比1GG的面积的面积第4页/共54页5【即时应用即时应用】(1)(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？思考：古典概型与几何概型有何区别？提示：提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个件有无限个. .第5页/共54页6(2)(2)判断下列概率模型，是否是几何概型判断下列概率模型，是否是几何概型.(.(请在括号中填写请

4、在括号中填写“是是”或或“否否”) )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到内任取一个数，求取到1 1的概率；的概率；( )( )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到绝对值不大于内任取一个数，求取到绝对值不大于1 1的数的概率；的数的概率； ( )( )在区间在区间10,1010,10内任取一个整数，求取到大于内任取一个整数，求取到大于1 1而小于而小于2 2的数的概率；的数的概率； ( )( )向一个边长为向一个边长为4 cm4 cm的正方形的正方形ABCDABCD内投一点内投一点P P，求点，求点P P离中心离中心不超过不超过1 cm1 cm的概率的概率. .

5、 ( )( )第6页/共54页7【解析解析】中概率模型不是几何概型，虽然区间中概率模型不是几何概型，虽然区间10,1010,10内有无限多个数，但取到内有无限多个数，但取到“1 1”只是一个数字，不能构成区只是一个数字，不能构成区域长度；域长度；中概率模型是几何概型，因为区间中概率模型是几何概型，因为区间10,1010,10和和1,11,1上有无限多个数可取上有无限多个数可取( (满足无限性满足无限性) )，且在这两个区间内每个，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的数被取到的机会是相等的( (满足等可能性满足等可能性).).第7页/共54页8中概率模型不是几何概型，因为在区间中概率模型不

6、是几何概型，因为在区间10,1010,10内的内的整数只有整数只有2121个个( (是有限的是有限的) )，不满足无限性特征；，不满足无限性特征；中概率模型是几何概型，因为在边长为中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm4 cm的正方形和半的正方形和半径为径为1 cm1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性. .答案：答案：否否 是是 否否 是是第8页/共54页9(3)(3)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设中，设F F是横坐标与纵坐标的

7、绝对是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于值均不大于2 2的点构成的区域，的点构成的区域，E E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的的点构成的区域，向点构成的区域，向F F中随机投一点，则所投的点落在中随机投一点，则所投的点落在E E中的概中的概率是率是_._.第9页/共54页10【解析解析】如图：区域如图：区域F F表示边长为表示边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD的内部的内部( (含边含边界界) )，区域，区域E E表示单位圆及其内部，因此表示单位圆及其内部，因此P P答案：答案：21.4 41616第10页/共54页11(4)(4)在集合在集合A Am|m|关于关于x x的

8、方程的方程 无实根无实根 中随中随机地取一元素机地取一元素m m，恰使式子，恰使式子lgmlgm有意义的概率为有意义的概率为_._.【解析解析】由于由于 得得1m41m0.m0.在数轴上表示为在数轴上表示为 ，故所求概率为故所求概率为答案：答案：23xmxm 1 0423m4( m 1)04，4.545第11页/共54页12 与长度与长度( (角度角度) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛方法点睛】1.1.与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为率的计算公式为P(A)

9、=P(A)=A.构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度第12页/共54页132.2.与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，不可用线段代替，这是两种大小作为区域度量来计算概率，不可用线段代替，这是两种不同的度量手段不同的度量手段. .【提醒提醒】有时与长度或角度有关的几何概型有时与长度或角度有关的几何概型, ,题干并不直接题干并不直接给出给出, ,而是将条件隐藏而是将条件隐藏, ,与其他知识综合考查与其他知识综合考查. . 第13页/共54页14【例例

10、1 1】(1)(1)在半径为在半径为1 1的圆内的一条直径上任取一点，过这的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为的概率为_._.(2)(2)在等腰在等腰RtRtABCABC中，过直角顶点中，过直角顶点C C在在ACBACB内作一条射线内作一条射线CDCD与线段与线段ABAB交于点交于点D D，则，则ADACADAC的概率为的概率为_._.第14页/共54页15【解题指南解题指南】(1)(1)问题可转化为：直径上到圆心问题可转化为：直径上到圆心O O的距离小于的距离小于的点构成的线段长与直径

11、长之比的点构成的线段长与直径长之比.(2).(2)要使要使ADACADAC，可先找到，可先找到AD=ACAD=AC时时ACDACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的概率公式求解即可的概率公式求解即可. .12第15页/共54页16【规范解答规范解答】(1)(1)记事件记事件A A为为“弦长超过圆内接弦长超过圆内接等边三角形的边长等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三，如图，不妨在过等边三角形角形BCDBCD的顶点的顶点B B的直径的直径BEBE上任取一点上任取一点F F作垂直作垂直于直径的弦，当弦为于直径的弦，当弦为CDCD时，就是等边三角形的

12、时，就是等边三角形的边长，弦长大于边长，弦长大于CDCD的充要条件是圆心的充要条件是圆心O O到弦的距到弦的距离小于离小于OF(OF(此时此时F F为为OEOE的中点的中点) )，由几何概型概率公式得：由几何概型概率公式得：P(A)=P(A)=答案：答案：1212.2212第16页/共54页17(2)(2)射线射线CDCD在在ACBACB内是均匀分布的，故内是均匀分布的，故ACBACB9090可看成试验的所有结果构可看成试验的所有结果构成的区域，在线段成的区域，在线段ABAB上取一点上取一点E E，使，使AEAEACAC，则，则ACEACE 可可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为看成事件

13、构成的区域，所以满足条件的概率为答案：答案：1804567.52，67.53.90434第17页/共54页18【互动探究互动探究】(1)(1)若将本例若将本例(1)(1)中条件改为中条件改为“从圆周上任取两从圆周上任取两点，连接两点成一条弦点，连接两点成一条弦”，其他条件不变，求弦长超过此圆，其他条件不变，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率内接正三角形边长的概率. .(2)(2)若将本例若将本例(2)(2)中条件改为中条件改为“在斜边在斜边ABAB上任取一点上任取一点D”D”，其，其他条件不变，求他条件不变，求ADACAD|BC|BE|BC|，而劣弧，而劣弧 的长恰为圆周的长恰为圆周长的长的

14、 由几何概型概率公式有由几何概型概率公式有P(A)P(A)CDCD1.31.3第19页/共54页20(2)(2)在在ABAB上截取上截取AEAEACAC，且记事件，且记事件M M“ADAD的长小于的长小于ACAC的长的长”，则，则P(M)P(M)sin45sin45= = 所以所以ADAD的长小于的长小于ACAC的长的概率的长的概率是是AEACABAB22，2.2第20页/共54页21【反思反思感悟感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事

15、件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解. .第21页/共54页22【变式备选变式备选】(1)(1)在长为在长为12 cm12 cm的线段的线段ABAB上任取一点上任取一点M M，并以线，并以线段段AMAM为一边作正方形，则此正方形的面积介于为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm36 cm2 2到到81 cm81 cm2 2之间的概率为之间的概率为( )( )【解析解析】选选C.C.正方形的面积介于正方形的面积介于36 cm36 c

16、m2 2到到81 cm81 cm2 2之间，所以正之间，所以正方形的边长介于方形的边长介于6 cm6 cm到到9 cm9 cm之间之间. .线段线段ABAB的长度为的长度为12 cm12 cm，则，则所求概率为所求概率为1111(A) (B) (C) (D)16842961.124第22页/共54页23(2)(2012(2)(2012南昌模拟南昌模拟) )已知地铁列车每已知地铁列车每10 min10 min一班，在车站一班，在车站停停1 min1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )( )【解析解析】选选A.A.在在10 min10 min内只有内只

17、有1 min1 min乘客到达站台后立即上乘客到达站台后立即上车，所求概率为车，所求概率为1111(A) (B) (C) (D)1091181P.10第23页/共54页24 与面积与面积( (体积体积) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛方法点睛】1.1.与面积有关的几何概型问题与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：概率的计算公式为：P(A)= P(A)= A.构成事件 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积第24页/共54页252.2.与体积有关的几何概型问题与体积有关的几

18、何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：概率的计算公式为：P(A)=P(A)=A.构成事件 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积第25页/共54页26【例例2 2】(1)(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是形的边长都是 cm.cm.现用直径为现用直径为2 cm2 cm的硬币投掷到此网格的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_._.(2)(2)正方体正方体ABCDABC

19、DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，在正方体内随机取点，在正方体内随机取点M M，则使四棱锥则使四棱锥M MABCDABCD的体积小于的体积小于 的概率为的概率为_._.4 316第26页/共54页27【解题指南解题指南】(1)(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中心到三角形各边心到三角形各边( (格线格线) )的距离都大于的距离都大于1 1，在等边三角形内作三，在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为条与等边三角形三边距离均为1 1的直线构成小等边三角形，当的直线构成小等边三角形，当硬币的中心在小三角形内时

20、，硬币与三边都无交点，所以硬币硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题题. .(2)(2)先根据四棱锥先根据四棱锥M MABCDABCD体积等于体积等于 时时M M的位置，再找出体积的位置，再找出体积小于小于 时时M M的位置的位置. .1616第27页/共54页28【规范解答规范解答】(1)(1)记记E E“硬币落下后与格线没有公共点硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示如图所示. .小三角形的边长为小三角形的边长为P(E)P(E)答案：答案：2 3.2A B C2AB

21、C3(2 3)S14.S43(4 3)4 14第28页/共54页29(2)(2)如图所示如图所示, ,正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，设四棱锥设四棱锥M MABCDABCD的高为的高为h h，则则 又又S S四边形四边形ABCDABCD=1=1，若体积小于若体积小于 则则 即点即点M M在正方体的下半部分，在正方体的下半部分，答案：答案：ABCD11Sh,36四边形1h.216，1h2，1V12P.V2正方体正方体12第29页/共54页30【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中条件不变，中条件不变，(1)(1)求求M M落在三棱柱落在三棱

22、柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1内的概率；内的概率；(2)(2)求求M M落在三棱锥落在三棱锥B BA A1 1B B1 1C C1 1内的概率内的概率. .第30页/共54页31【解析解析】V V正方体正方体1 1，(1)V(1)V三棱柱三棱柱= =所求概率所求概率P P1 1= =(2)V(2)V三棱锥三棱锥= =所求概率所求概率P P2 2= =21111,22 1.21 1 12A B C11111SB B11,3326 1.6第31页/共54页32【反思反思感悟感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符

23、合题意的临界位置，如本例构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)(1)中中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1 1的的直线构成小等边三角形直线构成小等边三角形”；(2)(2)中先找出满足条件的临界值中先找出满足条件的临界值时时M M的位置，再寻求事件构成的区域的位置，再寻求事件构成的区域. .第32页/共54页33【变式备选变式备选】(2012(2012上饶模拟上饶模拟) )已知已知0a3,0b20a3,0b2，设，设事件事件A A为为“关于关于x x的方程的方程x x2 2+2ax+b+2ax+b2 2=0=0有实根有实根

24、”，则事件，则事件A A发生发生的概率为的概率为( )( )1125(A)BCD3236（ ）（ ）（ ） 第33页/共54页34【解析解析】选选C.C.由题意知，该方程有实根满足条件由题意知，该方程有实根满足条件如图，如图，P(A)=P(A)=220a30a30b20b2,ab4a4b0 ，即12 32 222.2 33 第34页/共54页35 生活中的几何概型问题生活中的几何概型问题【方法点睛方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造生活中的几何概型度量区域的构造(1)(1)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解

25、问题，构造出随机事件积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A A对应的几对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率. .第35页/共54页36(2)(2)根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域系的点，便可构造出度量区域. .【提醒提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标

26、和纵坐标，这样基本事件连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决. . 第36页/共54页37【例例3 3】(2012(2012西安模拟西安模拟) )甲、乙两船驶向一个不能同时停甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的能的. .如果甲船停泊时间为如果甲船停泊时间为1 h1 h，乙船停泊时间为，乙船停泊时间为2 h2 h，求它，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率们中的任意一艘都不需要等待码头

27、空出的概率. .【解题指南解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达比乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上. .第37页/共54页38【规范解答规范解答】这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .设甲、乙两艘船到达设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为码头的时刻分别为x x与与y y，A A为为“两船都不需要等待码头空两船都不需要等待码头空出出”，则，则0 x24,0y24,0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达出，当且仅当甲比乙早到达1

28、 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上, ,即即y yx1x1或或x xy2.y2.故所求事件构成集合故所求事件构成集合A=(x,y)|yA=(x,y)|yx1x1或或x xy2,y2,xx0,240,24,y,y0,240,24.第38页/共54页39A A为图中阴影部分，全部结果构成集合为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是为边长是2424的正方的正方形形. .所求概率为所求概率为P(A)=P(A)=A的面积的面积2221124 1242506.51 01322.245761 152（）（）第39页/共54页40【反思反思感悟感悟】解答本题的关键是把两个时间分

29、别用解答本题的关键是把两个时间分别用x x，y y两两个坐标表示，构成平面内的点个坐标表示，构成平面内的点(x(x，y)y)，从而把时间是一段长，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题几何概型的问题. .第40页/共54页41【变式训练变式训练】甲、乙两人约定上午甲、乙两人约定上午7:007:00至至8:008:00之间到某站乘之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有公共汽车，在这段时间内有3 3班公共汽车，它们开车时刻分班公共汽车，它们开车时刻分别为别为7:207:20，7:407:40，8:008

30、:00，如果他们约定，见车就乘，求甲、，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙乘同一车的概率乙乘同一车的概率. .第41页/共54页42【解析解析】设甲到达汽车站的时刻为设甲到达汽车站的时刻为x x，乙到达汽车站的时刻，乙到达汽车站的时刻为为y y，第42页/共54页43则则7x8,7y87x8,7y8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x(x，y)y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出所对应的区域在平面直角坐标系中画出( (如图所示如图所示) )是大正方是大正方形形. .将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同

31、一班车，必须满足同一班车，必须满足 即即(x(x，y)y)必须落在图形中的三个带阴影的必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式，得小正方形内，所以由几何概型的计算公式，得P P即甲、乙乘同一车的概率为即甲、乙乘同一车的概率为1112127x77y77x77y7333333，；，；227x8 7y8.33，221( )313.131.3第43页/共54页44【易错误区易错误区】对几何图形认识不清致误对几何图形认识不清致误【典例典例】(2011(2011江西高考江西高考) )小波通过做游戏的方式来确定周末小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点

32、到圆心的距离大活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于于 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 则去打篮则去打篮球；否则，在家看书球；否则，在家看书. .则小波周末不在家看书的概率为则小波周末不在家看书的概率为_._.14，12，第44页/共54页45【解题指南解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率. .【规范解答规范解答】记记“看电影看电影”为事件为事件A A，“打篮球打篮球”为事件为事件B B

33、，“不在家看书不在家看书”为事件为事件C.C.答案：答案：2211( )( )13124P(A)11P(B)144116 ，3113P(C)P(A)P(B).416161316第45页/共54页46【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时易出现以下两个错误：在解答本题时易出现以下两个错误：(1)(1)错填错填 原因是不能将事件分解成两个事件的原因是不能将事件分解成两个事件的和；和；(2)(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误. . 31416或，第46页/共54页47备备考考建建议议解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：