列主元消去法与全主元消去法

1、 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University4 4 主元消去法主元消去法 4.1 列主元消去法与全主元消去法列主元消去法与全主元消去法 列主元消去法 考虑方程组（1.4），这里系数矩阵A是 n阶非奇异矩阵，求解此线性方程组的列主元消去法的步骤如下： 从数值计算的角度来看，应该避免应用绝对值很小的元素作为主元。为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采用选择主元的方法.常采用的是列主元消去法和全主元消去法列主元消去法和全主元消去法. . 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 111111max0lii nlliAaa

2、aallllxa 11第一步取 的第一列诸元素中绝对值最大者作为主元，并将它调到第一行，即取满足的作为主元，显然，如有几个 都满足上式，则取最小的 ；交换方程组 1.4 中的第一个与第 个方程，其余不变，此即交换增广矩阵 A b 的第一与第 行，得新矩阵记为 Ab。新方程组与 1.4 同解，且它的第一个约化主元比起第一列中其他元素有较大的绝对值。这时，消去系数所用的乘数因子111la 的绝对值不超过 ，因而在消元过程第一步中，舍入误差的影响得以减弱。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 11.1,kkkknnbxxxxx一般的，在做第k步消元之前，

3、通过方程交换将第k列主对角元素中绝对值最大者换到第k个方程，作为新的主元，它必定不等于零，将得到的增广矩阵 A然后进行该步的消元运算，消去.同样地，这时消去 系数的乘数因子必定有不超过 的绝对值。如此继续进行下去，直到方程组 1.4 逐步约化为上三角形方程组为止，至此便完成整个消元过程。接着应用向后回代过程求得方程组 1.4 的解。 这个方法通常称为按列选主元的高斯消去法，简称为列主元消去法列主元消去法。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 例4.3 用列主元消去法求解线性方程组:1231231230.501.13.16.02.04.50.360.

4、0205.00.966.50.96xxxxxxxxx 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 2. 2. 用列主元Gauss消去法求解,消元过程为0.501.103.106.002.004.500.3600.0200.9606.500.9605.00130.9606.500.9602.004.500.3600.0200.501.103.106.05.0100rr选主元0.9606.500.96002.240.36401.002.455.0045.19.02消元 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University0.9606

5、.500.96002.240.364002.994.1295.005. 9消元回代得: x3=2.00, x21.00, x1=-2.60 可见，列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素.002.60001.00001.001.0012 00.0. 0回代 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 全主元消去法全主元消去法 除了列主元消去法以外，常用的带有选主元技巧的消去法还有全主元消去法，这种方法比起前一方法来舍入误差的影响更小，因而往往能求得更为满意的计算解。 还考虑问题（1.4），其系数矩阵A仍设为非奇

6、异的，全主元消去法首先选取系数矩阵A所有元素中绝对值最大者最为第1个主元，它显然不是零。现设第I行与第J列的元素aIJ满足：1,maxIJiji j naa 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University1JAA bIxx交换 的增广矩阵的第一行与第 行以及第一列与第J列，同时，将未知 与 交换一下次序。这样我们便选出第一个主元。接着消去第一列中主元以下的系数。第二步也包括选取第二个主元与消元两个步骤，其中第二个主元是在第一步消元后得到的新矩阵的后n-1行与列组成的主子阵中选取绝对值最大的元素，然后交换相应增广矩阵的第二行和此主元所在的行以及第二列和此主元所在

7、的列，接着进行消元，如此进行下去，直到方程组系数矩阵变为上三角形矩阵为止。至此，便完成消元过程。在经过回代过程便可求出方程组（1.4）的计算解。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University例例 4.5 4.5 用全主元法求解线性方程组用全主元法求解线性方程组2 . 421 . 0301045132321321321xxxxxxxxx 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University消元行交换列交换消元行交换列交换18 . 05 . 01215 . 20541025 . 25 . 0015 . 08 . 0005410231

8、. 01112305410211 . 030104513213 , 23 , 22131232, 13 , 1123321bxxxbxxxbxxxbxxx 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University312312123105401001.402.50.520101.2000.71.400121.221.4.xxxbxxxbxxx 回代消元因此，原方程组的计算解为，把这些数值代入原方程组可以验证这是准确解。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University 上面两种主元消去法一般地都能保证算法的稳定性以及计算解有较好的精度，因而

9、它们都是求解线性方程组的有效地方法，但由于全主元消去法在第k步消元之前，需要在（n-k+1）2个元素中找出绝对值较大的元素，因而比起列主元消去法来要花费更多的机器运算的时间，所以实用上一般更多的倾向于采用列主元消去法。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法Taishan University4.2 4.2 主元消去法与矩阵的三角分解主元消去法与矩阵的三角分解 在上述两种带有选主元技巧的消元过程中，涉及到三种关于矩阵的初等变换：一种是交换矩阵的两行，一种是交换矩阵的两列，最后一种是某行减去另一行的常数倍的变换。对于最后一种关于矩阵的初等变化我们已经在本章2.1节中介绍过它的等价矩阵（2.2）.现在来讨论余下的两种变换的矩阵等价形式。 首先回忆一下置换矩阵的概念。凡是交换单位矩阵I若干行所得到的矩阵便称为置换矩阵。特别的，我们将交换n阶单位矩阵I的i,j两行所得的置换矩阵记为Pij ,即 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法T