微积分下学期末试卷及答案.

1、微积分下期末试题（一）、填空题（每小题3分,共15分）1、yf(x+y<)=x已知x2 2-yx2（仁 y），则 f（x,y）=第1页共25页第#页共25页2、已知,3、函数 f(x, y) =X2 xy y2（-1,2）-y 1在 33点取得极值.4、已知 f (x, y) =x + (x+arctany)arctany ,则 f；(1,0)=15、y =（C1 C2x）e3X （C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是yu-6y' y =0、选择题（每小题3分,共15分dxxlnp4x均收敛，则常数p的取值范围是（ C ）.p -1(A)(C) 1 ： p 2(D) p 2f

2、(x,y)4x 22-2, xy- 0 =i_xy.0,2 2x y =0在原点间断,是因为该函数（B ).（A）在原点无定义（B）在原点二重极限不存在（C）在原点有二重极限，但无定义（D）在原点二重极限存在，但不等于函数值 12-x ix e dx =0第#页共25页8、若h ： Il 31-x2-y2dxdy l2 ：113dxdyxMy2 <1空2刊2空1331 - X2 - y2dxdyA).2*心，则下列关系式成立的是(第2页共25页第#页共25页(A)I123(B)(C)h ： I 2 ： 1 3第#页共25页第#页共25页9、方程 y”-6y'9y=5(x1)e3x

3、具有特解(D ).(A) y =ax b(B)y = (ax b)e3x(C)y =(ax2 bx)e3x(D)y = (ax3 bx2)e3x2Z an10、设心收敛,QO二(_1) °an 则心(D ).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定311、求由 y = xx= 4,y"所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.第#页共25页第#页共25页2的函数为x = y3,yo 。且x=4时， 厂8 。于是24823 28 "33-3= 128 (83 -0)7一 0八 v 二二(42-y3)2dy=16 二(8-0)-二 y3dy (3分)00-=128二-

4、512=H(6 分)7(x 13 2（,）故z=x y 1在y"-x下的极小值点为22 ,极小值为2（6分） y2)(.x2y211)=lim2厂x 0x2y21 -1原式y)o'解:(3分)=1叫(.x2y2 1 1) = 2y"(6分)13、&zz=z(x,y)由 z V =xy 确定，求 Xy.解：设 F(x,y,z) =z ez -xy，则限 极 二 求2>12y +2XH xy2y+2XFx = y Fy=xFz=1+ez；zFx-yy:zFy _-xx:xF21ez1 ezyFz1 ez 一 1ez(3分)zz：z-2 z(1y 1 e-

5、ye 1ze xy.x:yy110 ez(1+ez)2一 1 ez(1 ez)2（6分）2214、用拉格朗日乘数法求z=x y V在条件下的极值.解: z =x2 （1 - x）2 1 =2x2 - 2x 21 1x=x =令z、4x-2=0,得2,z，4 0,2为极小值点.（3分）第4页共25页1 y 一15、计算严严解:x11 y -31=1dy 2 eydxee22 y 82(6分)JJ(x2 + y2)dxdy22 彳16、计算二重积分d，其中D是由y轴及圆周x y "所围成的在第一象限内的区域.(X2 y2)dxdy2 十 1r3dr-解：D= 00= 8(6 分)PFF

6、I17、解微分方程3FWF*I解：令p二y,y二p,方程化为p =p x,于是_(_1)dx(JL)dxxvp =e ( xe dx G) =e ( xe dx C1)=ex -(x 1)e» G二-(x 1) C1exy - i pdx 二 i-(x 1) Gexdx - -1 (x 1)2 Gex C22(6 分)oo rl二(n3 1 -、n3 -1)18、判别级数心的敛散性.解:2n31* n3 -1Jn3 +1 _ 讨 n3 -1门需limlim.1nr1n-心：n3. 1.* n3 -1因为nn第6页共25页19、将函数3 - x展开成x的幕级数,并求展开式成立的区间1

7、1 1='3 -x 3解：由于3 ,已知AO0nx1 -xn=01<xv1 ,1那么3 - X1 1nn二（）n d x3n 卫 3 n 卫 3" 120、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告收入R （万元）与电台广告费用x1 （万元）的及报纸广告费用如下的经验公式：2 2R = 15 14x-i 32x2 -8x1x 2x1 -10x2求最优广告策略解：公司利润为（3分）（6分.根据统计资料，销售（万元）之间的关系有2 2L = R - - x2 = 15 13% 31x2 - 8%x2 - 2% -10x?L； =13-8x2 4音=0, 令 L；2 =

8、31-8X1 - 20x2 =0,”4片 +8x2 =13,即 ©为 +20x2 =31,3 5得驻点（心珂打®5,1.25）,而A 二 Lxx 4 ：0 B 二 Lxx8 C 二Lxx 20x1x2D = AC -B2 =8064 = 0J所以最优广告策略为：电台广告费用°.75（万元），报纸广告费用1-25（万元）.（3分）（6分）第8页共25页四、证明题（每小题5分,共10分）1 3 x牛厝21、设 z = 1 n（x y），证明：x:y 3.；:z证：1 x -33x；zy1yJ33y一 1 1x3y31 1 ,x3y3oOoOoOZ2、 2Un'

9、Vn'、(UnVn)222、若心与心都收敛,则n4收敛2 22 22证.由于 0 乞(Un Vn) UnVn2UnV12(UnVn )QOoOoOE U； Z v；Z 2（u；+v2）并由题设知心与心都收敛,则心收敛,0送（比“）2从而心收敛。第9页共25页微积分下期末试题（二）、填空题（每小题3分，共15分） 1、设 z=x y f(x_y)，且当 y 时,2 2答案(x -2xy 2y y)2、3、4、5、:dx计算广义积分1 x3设z心，则dZ（1J）O答案微分方程y”-5y'6y具有"4设 n 1，贝V nV .221（2）答案(e(dx dy)形式的特解.。

10、答案（1）答案(ax2 bx)e2x)第10页共25页第#页共25页1、x2 y2的值为A.3B.0C.2D.不存在2、fx （xo, yo）和fy（Xo, yo）存在是函数f（X, y）在点（Xo, yo）可微的(A )o二、选择题（每小题3分,共15分）2 2.3sin(x y ) lim第#页共25页第#页共25页A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件;C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。2 _ 2 2 2 _ 彳A. ：dJ 4一如；B.3、由曲面z_：4_x - y和z = 0及柱面X . y = y )0所围的体积是第#页共25页第11页共25页C、2d l4-r

11、2dr-0- 0 .D.n 1|4 02 心04 -dr第#页共25页4、设二阶常系数非齐次线性方程 y py qy= f（x）有三个特解 屮=x第12页共25页第#页共25页2xy3二e，则其通解为A x +Gex +C2e2x ；B.GxC2exC3e2x ；7C x +G(ex e2x) +C2(x -ex)；D.G(ex -e2x)C2(e2x -x)第#页共25页第#页共25页；：（-1）nJpp5、无穷级数 心 n （P为任意实数）（D）A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）1、求下列极限:讪xy_x 0、xy 1 -1lim J 二 lim x

12、y( x厂1 " 解：头0 .xy 1 -1:咎(xy 1)-1电叫xy1 1)h 仁2y )02、求由y二-X与直线X =1、X =4、y = 0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。= 7.5 二z _3、求由e二xyz所确定的隐函数z=z（x,y）的偏导数汶门。解：方程两边对 X求导得：Zz ：z：ze yz xy -xx ,有 xyzze -xyzx(z-1)（3分）（6分）（4分）（6分）（3分）方程两边对y求导得：z :z：z:zxzze xz xy纠为,有为 e -xy y(z-1)( 6分)4、求函数 f(X，y)= X -4x2 2xy - y2 的极值。解：f (x,

13、y) =x一4x2+2xy y2，贝yfx(x, y) =3x2 8x + 2yfy(x, y) =2x 2yfxx(x,y) =6x-8fxy(x, y)=2fyy(x,y)-2,3x2 8x 2y = 0,求驻点，解方程组j2x-2y=0,得(0,0)和(2,2).( 2分)对(0,0)有 fxx (0,0) = _8 < 0fxy (0,0) = 2 fyy (0,0) = -2于是B2 - AC = -12 ： 0，所以(0,0)是函数的极大值点，且f(°,°)= 0( 4分)对(2,2)有 fxx(2,2) =4 , fxy(2,2)=2 , fyy(2,2

14、)2 ,2解:y2D；d_ idxx2x v上dyx(4分)于是B -AC -120,(2,2)不是函数的极值点。 y d-_6、计算积分D x，其中D是由直线y=x,y=2x及xx2所围成的闭区域;39xdx 二2 14( 6 分)xf (x)J0 f (t)dt = 2xf (x) + x f (1) = 0、f (x)7、已知连续函数f (x)满足,且f (1)0 ,求f (x)。解：关系式两端关于 x求导得：” 1 1f(x) = 2f (x) 2xf (x) 1 即 f (X) 2xf(X) 2x这是关于f（X）的一阶线性微分方程，其通解为:f(x) J：("： c)2xC

15、X C)：1=7 XXf二0，即C-1 =0，故c =1，所以2 y28、求解微分方程=0 。八pdp解：令y -p，则dy，于是原方程可化为:P "2 P2dy 1 - y=0坐 2p=0 即 dy 1 - y，其通解为P =CiedyG(y-1)2齐"1)2即鳥宀y =1-故原方程通解为:Gx c2J： (x-2)n9、求级数n#3 n 的收敛区间。:tn瓦学Rt =也 解：令t=X_2,幕级数变形为n川n,n.an 1=limn =：当t1时,级数为补3；收敛;13n发散.tn_3n的收敛区间是It <-1,1）（5分）.：=（x-2）n那么n4Vn的收敛区间为

16、=1,3)（6分）打 sin(2n x)10、判定级数n= n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。sin（2n x）1解：因为n!n!（ 2分）1Z丄由比值判别法知nmn!收lim（n+1J.（4分）n咨敛(丫1用）,QOZsin（2n，x）睾 sin（2n x）n!从而由比较判别法知n =1收敛，所以级数心n!绝对收敛.（ 6分）四、证明题(每小题5分,共10分)QOQO 为Un送JUnUn十1、设正项级数nF 收敛，证明级数nT也收敛。证:1UnUn 1-§（Un Un 1）（ 3 分）z而由已知1 (Un Un 1)2 收敛，故由比较原则,' Un

17、Un 1也收敛。（ 5 分）第16页共25页第#页共25页1 :Z 1 :Z Z1=2证明 x : x y:y y .Z =2、设f(x2-y2),其中f(u)为可导函数,第#页共25页z2xyf 2证明：因为 xf,（ 2分）_ f 2y2f2y（ 4分）1-jzf 2y2f z所以 x ；x y ；:yf2 yf2 yfy2.（ 5分）微积分下期末试题（三）一、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z=x y f （y _x），且当 x =0 时，2 2 答案（x -2xy 2x y）:dx1 2.12dx dy 答案（33）形式的特解.（axbx2）e3x）2、 计算广义积分 1 x =

18、。答案（1）3、 设 z = ln（1 X2 y2），则 dz（1,2） =4、微分方程 y”6y 9y =5（x 1）e3x具有_5、级数odzn =13n 19n的和为5。答案（8 ）第17页共25页第#页共25页、选择题（每小题3分，共15分）1、limX0 y3si n（x2 y2）x2 y2的值为第#页共25页第#页共25页C、2D、不存在第18页共25页2、fx（x，y）和fy（x,y）在（Xo,yo）存在且连续是函数f（x, y）在点（x。，y。）可微的（b）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。2 2 2 2 /3、由曲面

19、z = 4 _ X - y和z = 0及柱面x y4所围的体积是2二 4空A. 0 dSr ”r 生；B.C、2 二 2、4-r2dr-0 - 0 .D. 4fdU2Jkdr4、设二阶常系数非齐次微分方程/ py，qy = f（x）有三个特解2yxy2y3 =e2x贝U其通解为（D）x 2 x2x2、G(e e )C2 (ex ).7Gx2x2xC?eC3e.GexC2e2x .7x2C1(ex - e2x) C2(x2 - ex)5、无穷级数J （1严2pn T n （ P为任意实数）(A)A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散三、计算题（每小题6分，共60分）lim xT1、求下列极限：

20、y 02. xy 4xyolimx )0 解：八02 - , xy 4xy4 -(xy 4)二 limx 0 xy(2 t xy 4)-1第19页共25页-1第#页共25页=lim:珞2、xy 42 2-1第#页共25页0, x =2、求由在区间 2上，曲线y=sinx与直线 2、y = u所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。2 2（4分）”Vx =兀 L sin xdx解：.o1 2= Jl4（ 6分）fz ；:zz3、求由e -xyzxy所确定的隐函数z=z（x, y）的偏导数:y。解：（一）令 F（x,y,z） =ez -xyz-xy于.:F yz- y-xz - x则 xy利用公式，得;

21、:F:z一 & _yz yyz y.x;:Fze - xyze - xy:zF:z：:y - XZ - Xxz x:y；:F -ze -xyze - xy:z）在方程两边同时对x求导，得z-z-:zeyz -xyyxx解出Jzyz yzxe -xy-:F ze -xy:z（3分）（6分）（3分）:zxz x同理解出：:ye _xy.( 6分)334、求函数f(x，y)" "2xy8y的极值。33解：f (x,y) =x -12xy+8y，则fx(x, y) =3x2 12yfy (x, y) = 24y2 12xfxx(x,y)=6x fxy(x, y) = -12

22、 fyy(x, y48y ,bx2 -12y =0,2求驻点，解方程组24y j2x = °，得(0,0)和(2,1).( 2分)对(0,0)有 fxx(0,0) = 0 , fxy(0,0) = 12 , fyy(0,0) = 0,于是B2 - AC =1440，所以(0,0)点不是函数的极值点.( 4分)对(2,1)有匚(2,1)=12 , fxy(2,1)12 , fyy(2,1)=48,所以函数在(2,1)点取得极小(6分)于是 B2 - AC =144 -12 48 ： 0 ,且 A =120 , 值，f (2,1) = 23 _12汉2工1+8沢13 =_8(5分)&am

23、p;计算二重积分(2x y)d 匚D，其中D是由= x,y =x及y二2所围成的闭区域;第22页共25页第#页共25页2 y(4分)| i(2x y)d dy 1 (2x y)dx 解：D1 y2)dy 晋(6分)y 6第#页共25页7、已知连续函数f（X）满足x心心小"，求f（x）。解：关系式两端关于 x求导得:f（x） 2f（X）仁 0 即1 1f （x）2f（x）八2这是关于f（X）的一阶线性微分方程，其通解为:-巴 i dxf （x） =e 2 （ （-2归 2 C）XXx=-e 2（e2c） = -1 ce 2X又 f （0） = 0，即 0 一1 c ,故 c = 1，所

24、以 f （x）二 e 2 -18、求微分方程（1 x2）y”-2xy “3逍飙解 这是一个不明显含有未知函数y旳方昨作变换令虬p空dx，贝y dxdpdx,史虹打桿陋阶因dp _ 2x d分离变量P+x'X r盼得In phna + xnG即p=g（i x2）颂 dX=C1（r/）再积分一次絆，原方秽社I通擀x3G（x 亏）C2（2分）（ 5分）（ 6分）_ 2 px = 0（3分）（ 5分）（ 6分）第24页共25页二（x-3）n9、求级数7- n 的收敛区间。:tn R = limn 厂解：令t = x -3,幕级数变形为n n ,-an 1二 lim n_1 = 1n： 、n00

25、 1E （-1）冷当t = -1时,级数为心. n收敛;1当t =1时，级数为nm 一 n发散.tn故心M的收敛区间是It二-）,r3）n那么心 川 的收敛区间为Ix -2,4）J cos(n x)10、判定级数n mn! 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:解：因为cos(n x)n!Z丄由比值判别法知nT n!收敛（：lim (n 1)!n!=0),0z从而由比较判别法知 n孔cos(n x)n!收敛,所以级数cos(n x)n n!绝对收敛( 6分)第26页共25页第#页共25页四、证明题（每小题5分，共10分）fa；£（30）1、设级数心 收敛，证明心n也

26、收敛。第#页共25页证：由于丄）n2而' 9n12n都收敛,1（a 4）2 n 收敛，由比较原则知annz=2cos2(x_L)2、设2 ,证明:.2 .2z ： z c2 2 0 jt:x :t。第27页共25页第#页共25页证明：因为-2 2cos(x-) sin(x-E)(-丄)=sin(2x-t).t222第#页共25页第#页共25页j2zft2二-cos(2x -t)；：2z；：2z:t ；xz= 2cos(2x _t)=從2第#页共25页第#页共25页2亡2所以工0x .t第#页共25页第#页共25页微积分下期末试题及答案（四）第28页共25页第#页共25页A、(0,lg2

27、)B、(0, lg2 12、x=-1是函数2x = 的x x -1A、跳跃间断点B、可去间断点3、2 -试求limx 等于（）xA、1_ 4B、04、若工1x y，求y等于（）A、2x - yB、八2x2y -x2y x、选择题（每题2分）1、设R x）定义域为（1,2）,则九lg x ）的定义域为（）C、(10,100)D、(1,2)()C、无穷间断点D、不是间断点5、曲线y二半的渐近线条数为1 XA、 0B、 16下列函数中，那个不是映射（）A、y、设真x，则f x的间断点为3、已知常数a、b,iim x "x+a =5,贝y此函数的最大值为xT1 -x4、已知直线y=6xk是y

28、=3x2的切线，贝U k=5、求曲线xlny + y-2x = 1，在点（11）的法线方程是 三、判断题（每题2分）21、函数廿X 2是有界函数1 +x2 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件3、若lim，就说：是比低阶的无穷小ot4、可导函数的极值点未必是它的驻点 =x （x R ,y RJC、y =x2二、填空题（每题2分）1、y二一M=的反函数为C、1D、C、d、xLy 2x-y2xy()C、2D、3B、y2 = -x2 1D、y = ln x (x 0)第#页共25页()四、计算题（每题6分）1 si n1、求函数y二x x的导数1 22、已知 f(x)=xarctan xln(1

29、- x证明方程xex =1在区间（0,1）内有且仅有一个实数),求 dy23、已知x2 -2xy y3 =6,确定y是x的函数，求y4、求limx_0tan x sin x.2xsin x5、计算:八（1 +皈）仮1& 计算 lim （cos x）x"五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为 R（x）=100x-x2，总成本函数为C（x） =200 50x x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最 大的情况下，总税额最大？（ 8分）2、描绘函数y =x2丄的图形（12 分）x六、证明题（每题6分）11、用极限的定义证明：设Jjmf（x）=A,则l

30、im+f（） = A、选择题1、C2、C3、A4、B5、 D6、 B二、填空题1、x = 02、a -= 6,b - -73、18 4、35、x三、判断题1、V2、x3、V4、X5、X四、计算题1、试题（四）答案y _ 2 = 0.1 sin =(x x).1.sinIn x=(e x第31页共25页第#页共25页sin 1 In x二 e xcosJlnxIL x x1 . sin x1si n xx (-丄cosSnx x1 . 1sinx x第#页共25页2、dy 二 f (x)dx121 x2二(arctanx x j1 + x二 arctanxdx3、解：22x- 2y - 2xy 3y y2x- 3y2x - 3y2(2 _ 3y )(2 x _ 3y2)_ (2x _ 2 y)(2 _ 6yy)(2x-3y2)24、解:第32页共25页丁当o