微分几何陈维桓习题答案2

1、习题答案2p. 58 习题 3.1 2.在球面 S2 =( x, y ,z) | x2 - y2 z2 =1上，命 N = (0, 0,1) , S = (0, 0, 一1).对于赤道平 面上的任意一点p =(u,v,0)，可以作为一的一条直线经过 N,p两点，它与球面有唯 一的交点，记为p .(1) 证明：点p 的坐标是2u2 2 u - v - 12v2 2 u - v - 1v2-1并且它给出了球面上去掉北极 N的剩余部分的正则参数表示;(2) 求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示;(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；证明球面是可定向曲面.证明.(1)设r(u

2、,v) =Op '.如图，n , p, p 三点共线，故有R使得 J K.Op =tO p (1 -t)ON .(1)v2， Op O N 0，t=0，取上式两边的模长平方，由于op =12得 t = 2 /( u=ON-v22，Op-1).从而 2(x, y,z) =Op 二二 厂 u + v+1_ i'2vu2 - v2 . 1，u2 - v2 - 1 u22u + V 1(u,v,0)2(0, 0,1)u + v +122u v - -122v - 1- 2，(U, v) R .由可知r(tu ,tv,1 -t),又 dt = (udur = O p = t Np O N

3、 =t(u,v, -1) ' (0, 0,1)vdv )，所以_ 2 _ 25u(u, v, -1)t(1,0, 0)，rvv(u,v,1) t(0,1, 0)，335 XR =t u( 1 , (U, _t v (9 M,)(0,0,1)2 2 2 2 2 二一t (tu ,tv , t(u - v ) 一 1) = _t (tu , tv ,1 t)二一t 屮 0 . 因此r- = r(u,v)给出了 S由于：S2 N, S2 S构成S2的开覆盖，并且 N的正则参数表示.令q2 _ 2O p = tOq (1t)OS=(tu,tv,t 1)， t =2/(u- v_ _ _2 _2

4、、2 u2v1_u_vZT2ZT2,ZT2,ZT?u - v - 1 u - v - 1 u - v22 G = _t u (u , v ,1)- t (1,0, 0)，'八33rum = _t u ( -1 , 0 , -) v二(x, y, z) =0p-1),I ?+ 1丿G 二-t 27(u,v,1) - F(0,1,24 0v,1t,)(0,0,1)2 . 2 2 2 2=t (tu,tv,1_t(u - v )=t (t u , t v, t _1)=t r=0.因此(4)给出了 s2 S的正则参数表示.2(U,v) R .0),=(u,v,o)是s, p 两点连线与赤道平

5、面的交点同理，有u-vu 22 ， v 22u亠vuv2 2_2 2t(uv1)1=02 _ 一 2 2 2一 一2 2 2 t (u v 1) (u v )(3)由和(4)式可得(u2 +v2)(u2+v2) =1，从而上面两种正则参数表示在公共部 分S2 N,S上的参数变换公式为由(3)和(5)可知：(u,v)：(u,v)所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换注.如果采用复坐标，令z =u iv,w =u i v ,则上面的参数变换可写成w=1/z. 这就是广义复平面上的共形变换在S2 N上采用(1)式给出的正则参数表示，在S2 S上采用正则参数表示r(u,v)2 - 2u -

6、v - 1| 2u一272 -2 u v - 1vu2 - v2则在公共部分的参数变换公式为- uu 2 2，u 亠v：'(u,v):：(u,v)所以S2是可定向的.2 2v _u222(u-v )_2 uv(u2 -v2)22uv2 22 (u ")2 2v . u(u2 -v2)21(u2v2)20，2 2 2 2 2xyzxy5写出单叶双曲面程和双曲抛物面亠作为直纹面的参数方abcab解.(1)对单叶双曲面，取腰椭圆a (u) = (a cos u , b sin u , 0) ， u (0, 2二)为准线.设直母线的方向向量为丨(u)二aX (u), bY (u),

7、cZ (u).则直纹面的参数方程为r (u, v) = a (u)亠 vl (u) = a (cos u 亠 vX (u), b(sin u 亠 vY (u), cvZ (u).由于r (u ,v)的分量满足单叶双曲面的方程，可得2 2 2 一 (cos u vX (u) (sin u vY (u)_(vZ (u)1，- v 三 R .由v得任意性得到2 2 2cos uX (u) - sin uY (u)二 0， X (u) Y (u)二 Z (u).因此 X (u) : Y (u): Z (u-sin u : cos u : _1.取丨(u) = _a sin u,b cos u ,c 得

8、r (u, v) = a (cos u -vsin u), b (sin u v cos u), cv ， (u, v) ：= (0, 2? ) R . 对双曲抛物面，令x = a(u - v)， y =b(u - v)，则z - 2uv .曲面的参数方程为 r(u,v)= a(u 亠 v) , b (-u),2uv2=(au , bu ,0) v (a , -b, 2 u (av , -bv, 0) u( a, b, 2 v) ， (u , v) R .p. 94 习题 3.2 1.证明：一个正则参数曲面S是球面二它的所有法线都经过一个固定点.则有证明.“=”设S是球面，参数方程为r (u,

9、v)，球心为a，半径为R . 2 2(r (u,v) a) R ，- u,v 三 D .微分可得G(r -a) =0， rv (r -a) = 0 .所以(ra ) ru rv，从而raru rv ,即有函数，- (u,v)使得a = r (u, v) -%(u ,v)u (u, v) rv(u, v).这说明球心a在它的所有法线上.“二”设S的所有法线都经过一个固定点a .贝U有函数 = (u,v)使得式成 立，即有r -a. j .分别用几作内积，可得(2).这说明d(r -a)0，从而(1) 式成立，其中R 0(否则S只是一个点，不是正则曲面)是常数.因此S是以a为球心， 以R为半径的球

10、面，或球面的一部分.3.证明：一个正则参数曲面S是旋转面二它的所有法线都与一条固定直线相交.因为所以由于证明.”设S是旋转面，旋转轴L为z轴.它的参数方程为 r(u,v) = f (v) cosu, f (v)si nu,g(v) ， (f (v) . 0).ru = f (v) -sin u, cos u, 0 ， 二 f (v) cos u, f (v) sin u, g (v)，Li； = f (v) g (v)cos u,g (v)sin u, - f (v)，S上任意一点r (u,v)处的法线N的参数方程为X (t) =r(u,v) - tu(u,v) rv(u,v).z轴的参数方程

11、为丫(s) =s(0, 0,1) =sk，并且 f (v)cos u f (v) sin u g (v) cosu g (v)sin u 0 0r, ru v，k i；=f(v)g(v)-f (v)1=0 ,所以L与N共面.如果L与N处处平行，则(ru rv) / k，从而g (v) = 0 .此时S是垂直于 z轴的平面z二g(v)二c.所以当S不是垂直于z轴的平面时，旋转面S的所有法线都 与z轴相交.“二”通过选取坐标系，不妨设固定直线为z轴.设S的参数方程为r (u,v) =(x(u, v), y(u,v), z(u,v) ,(u,v)D .由条件，S的所有法线都与z轴相交，所以法线不能与

12、z轴平行，即 ：(y,z);：(u,v),-(uo,Vo) D .44(0,0,1)因此:(y,z)次U,v)(u0 ,v0 );:(u,v)(uo不能全为零不妨设在(uo,v。)点邻近门四=0 .通过 ,vo):：(u,v)-：(U,V)：(U,V)(uo,vo)参数变换，曲面的参数方程可以写成(1)r (u,v) = (x(u , v), u,v)， (u, v) D .于是几二 Xu,1,0 ， R 二 Xv,0,1 ， ru 几二 hXu，Xv .因为所有法线都与z轴相交，r, ru rv, k 三0，即有xxu u = 0 .这说明x? -是一个仅仅依赖于v的函数.设2 2 2x 亠

13、 U = f (v)，其中f (v) . 0 .作参数变换u = f (v) cos v,v = v .由上式得X = f (v) sin V，S的参数方程(1)可以改写为r (日,v) = (f (v) sin 日，f (v) cos 日，v).这是一个旋转面，由yO z平面上的母线y = f (z)绕z轴旋转而得.5.设S是圆锥面 r = (vcos u, v sin u, v)， C ： u = 2t,v =e(是S上的一条曲线.(1)将曲线C的切向量用ru,rv的线性组合表示出来；证明：C的切向量平分了 ru和rv的夹角(1)解.C的参数方程为r=e cos( 2t), e sin(

14、2t), e = e cos( 2t), sin( 21),1C的切向量为rcos £ (r , ru)lr Ir Tu、2e2t2t2er rrv1Ir 1cos ( r ,rv)rut2e1 - : =， (r , ru )：. 241 - : -上=，-( r ,v)(r , ru) . 2e2、24-e cos( 2t), sin(2t),1 厂' 2e I sin(2t), cos( 2t), 0=、2 匚( 2t,e、 £ 5( 1. 2t, e ).证明因为ru =(-vsin u, v cos u, 0),rv =(cosu,sin u,1)，在曲线

15、C上每一点t处，G (、2t, e 二 J sin( 1 2t), cos(2t), 0 ，几(、一2)二 cos(2t), sin(2t),1 由上可知、2二所以p. 104 习题 3.32.设球面的参数方程是2au2 2 V - a2av22 2u - v - a222u- v- a222u- v- a求它的第一基本形式解记t =2/(u2 - v2 - a2).贝U一 2 2r =at(u,v, -a) - (0, 0,1) , J = _ut , J = _vt ,G =atu (u ,v, -a) - at (1,0, 0),rv = at v (u, v, a)亠 at (0,1,

16、 0).所以从而2 2 22 22 2E=U二 a 匕(uva)2athu 2 222 2二r - va ut (vtu -v -)a -au tG2222 22 2二rv=a tv (uv亠a)-2attvVF2 2a t2 2二 a t4a22(u2v2 a2 >)2t vv a 0，tu22 22 24a亠a t=a t2222 ，(uva)22 2I =Edu Gdv4 a(du dv ).(u v a )5.设在曲面上一点(u,v)，由微分du , dv的二次方程P(u,v)du2 2Q(u,v)dudv R(u ,v)dv2 = 0(1)确定了在该点的两个切方向.证明：这两个

17、切方向彼此正交：二函数P,Q,R满足ER -2FQ GP =0，其中E,F,G是曲面的第一基本形式.证明由条件，二次方程(1)有两个互异的实根du : dv和：u :.v，因此可以分解 为两个一次因子的乘积：2OPdu + 2Q dudv +Rdv = (fdu + Bv )(、du + B2dv ) .(2)其中A!,B!,A2,B2是关于变量(u,v)的函数.因为上式是关于文字du,dv的二次多项式， 比较两边的系数，得P 二 A A2， 2Q 二 AB2 A2B,， R 二 B,B2 .(3)由可知所确定两个切方向为du :dv - -Bt : A ，；u : =v = -B2 ： A2

18、 .这两个切方向彼此正交= Edu u F (duv dv J u) Gdv 3=0(课本(3.18)二 E B B F B A+ A) B+G,A 条(由式)=ER -2FQ GP =0.(由式)8.已知曲面的第一基本形式为I二du彳-( 需巾/.(1) 求曲线C1 : u =0与C2：u-v=0的交角；(2) 求曲线6 : u二av 2， C2 ： u二-av 2和C3: v =1所围成的曲边三角形的各个边长 和各个内角.(3) 求曲线6：u=av，C2：u=-av和C3 ： v =1所围成的曲边三角形的面积.u a .因为交点为(u,v)=.v .所以它们的切方向dr ,. r满足二(0

19、, 0).在交点处G解.(1)已知 E =1,F =0,G 对于 C1， du - -dv ;对于 C 2，/. u_ dr rcos (dr ,、)dr倍 F|于是它们的交角为空，或 arccos1 +a2du、. u 川'a dv、. v:u'a2 *dv2 j.u2 ：；-a . v2 a2 12a 11 -a22 -a 不妨设常数a . 0 .如图，在曲纹坐标下，6与C2的交点为 的交点为A(a,1)， C2与C3的交点为B( -a,1).O(0, 0)，Ci与C3：'iU = 0, ：?v 0 ,所以内因为是计算内角，在O点du = 2 avdv = 0, d

20、v . 0 .同理, 角- O =0.在A点du= 2avdv =2adv : 0 ，:. u : 0, . .v =0，所以在B点du/ dr '5rdu6ucos A =dAIS”Jdu 2 +(*2脚2丁丸2-2 avdv - -2adv . 0，: u . 0,、. v = 0，2I®. dr dr cos B =dr,r|,.?ddu、uu 2 (u2 a2 )dv2 J .：.u2_ 216.所以/O = 0，/A = . B = arccos曲线C1，C2，C3的弧长分别为 4v2 - v4 1dv = L(C2)，L (C1)du 亠(u 亠 ajdv aL(

21、C3)=., dLC1在90版中，本题为C1 : uL(CJ2丄 22(u a )dv 二 a弋 V2，C2 ： u = -I 0 ； v2 - 4 v4 - 1dv，C3:v =1127 .0 (2 v )dvLG) = C ,du 2 ' (u2 a2) dv23a / 2du = a .-a / 2'a dudv，所以曲边三角形的面积av1 avBo' U a dudv =2 i I u222 a dudv-av 0 02v in v 1 v 22in ? 1 U(2) ud vn vv2 1-： -av耳 dv = a013 / 22 1 2v 3 1 vp.

22、110 习题 3.41.设空间曲线r =r(s)以弧长s为参数，曲率是.写出它的切线曲面的参数方程, 使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解.设曲线r(s)的Frenet标架是LC.则它的切线曲面参数方程可写为R( s, t) = r (s) - t、£ (s).由Rs =Rt = ：可得它的第一基本形式2222“八I = (1 t (s) ds 2dsdt dt .(1)直母线(即t -曲线)j.s =0的正交轨线的微分方程为ds dt =0，即d (s t) = 0 .为此，作参数变换u = s， v = s t .则逆变换为s = u，t = v 一 u，切线曲面的参数方程为R(

23、u,v) = r(u) (v u)(u).在新参数下，Ru (u,v) =(u) - ：(u) - (v u)(u) ： (u) = (v - u)(u) ： (u)，Rv (u,v) =(u).第一基本形式化为2 2 2 2I =(v -u) (u)du 亠 dv所以参数曲线构成正交曲线网.也可将s = u，t = v u直接代入(1)式得到上式：2 2I = 1(v - u) - (u) du22du (dv - du ) - (dv - du )2 2=(v - u) (u)du2-dv3.求曲线 r = (v cos u k sin u , v sin u + k cos u, ku

24、) 的参数曲线的正交轨线，其中k>0是 常数.解. ru =( vsin u -k cos u, v cos u -k sin u ,k)， rv =(cos u,sin u,0). 第一基本形式为2,22 , 2I =(v 2k ) du kdudv dv .u-曲线：v =0的正交轨线的微分方程为Edu Fdv=0，即(v2 2 k2) du - kdv = 0 . 解这个微分方程：1varcta nd ：2k =.2kdvdu - 2 2 2 v +2k / dk) +1得到u-曲线的过(u°,v°)的正交轨线为v = 2k tan . 2(u -u0) v0.

25、V-曲线：u =0的正交轨线的微分方程为FduGdv=0，即ku ck .过(u°,v。)的 正交轨线为v =k(u -u。) vp. 110 习题 3.51.证明：在悬链面r = (a cosh t cos v,a cosh t sin 31, at)， (t,r) R (0, 2 二)与正螺面r =(vcosu,vsin u,au),(u,v)三(0, 2二) R之间存在保长对应证明.悬链面的第一基本形式为2 2 h =a (sinh t cos vdt - cosh t sin vd v)2 2 2 2=a cosh t (dt d ).正螺面的第一基本形式为212 =(vsi

26、n udu cos udv ) (v cos udu:u'(sinh tsin-sin udv )22 2v dt cosh t cos v d v)- dt 2 , 2 z 2 2、 、 2 , 2 a du (a v )du dv= (a2+v2)du2 + (I dv.a亠对正螺面作参数变换，令u f =asi nh t.则卫凹=_a cosh t = 0，参数变换是可允 r(t)许的由于du = d n, dv =a cosh tdt = a . 1 sinh 2 tdt = a2v2 dt，正螺面的第一基本形式化为2 2丨2 =(a +v ) du_dv=&a2 +v

27、2丿根据定理5.3,在悬链面与正螺面之间存在保长对应u - J, v = a sinh t .2 2 2 2=a cosh t(d v 亠 dt )=1.对应关系式为p. 110 习题 3.51.判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) r = u - 3,2u uv, u 厂；(2) r=cos v -(u v)sin v,sin v (u v) cos v,u 2v ；(3) r=a (u - v), b(u - v), 2uv ；(4) r = u cosv, usinv,sin2v .解 (1) r =u2,2u3,u4f 1,3u,2u2 二 a(u)(u).所以它是可展曲面，

28、因为它是正则曲线a(u)二u2,2u3,u4 (u=0)的切线面.(2) r = cos v, sin v, v ' (u ' v) -sin v,cos v,1=a(v) ' ua (v)，其中a(v) = cos v ,sin v, v是圆柱螺线，u =u v .所以它是可展曲面(3) 令a(u) = au ,bu , 0 ， l (u)二 a, -b, 2u .则 r = a(u) v l (u)，直接计算得 a (u), l (u), l (u)二 -2ab .当abH0时，它是马鞍面，(u),(u),(u)严0，所以不是可展曲面.当a =0或b =0时，它是平

29、面，所以是可展曲面. 当a = 0且b = 0时，它不是正则曲面.(4) 令 a(v)二 0, 0, sin 2v ， l (v)二 cos v,sin v, 0 .贝打=a(v) ' u l (v).由于a ,1 ,1=2cos2v = 0，它不是可展曲面.32.考虑双参数直线族x=uzv , y=vz亠.，其中u , v是直线族的参数3 求参数u和v之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母 线族；(2)确定相应的可展曲面的类型解 对于固定的参数u,v，该双参数直线族中的一条直线L(u,v)可以写成点向 式：3L(u,v)x vy(u /3) zuv1设所求的函数关系为v二f (u).