知识点031圆的基本性质2016

1、、选择题1. （2016甘肃兰州，7, 4分）如图，在O O中，点C是AB的中点，/ A=50,则/ BOC=（）A. 40 B . 45 C. 50 D . 60【答案】A【逐步提示】 因为半径 OA=OB，故可先根据等边对等角求得/ B的度数，再根据三角形内角和定理求得/AOB的度数，最后根据等弧所对圆心角相等求得/BOC的度数.【详细解答】 解：因为OA=OB，所以/ B= / A=50 ，所以/ AOB=180 / B-Z A=80,在O O中，因为点1C 是 AB 的中点，所以 AC =CB，所以Z BOC= Z AOC，因为Z BOC + Z AOC= Z AOB，所以Z BOC=

2、 Z 2AOB=40 ，故选择 A .【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算.【关键词】 圆心角；等弧所对圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理2. （2016甘肃兰州，10, 4分）10.如图，四边形ABCD内接于O O,四边形ABCO是平行四边形，则Z ADC= （ ）A. 45 B . 50 C. 60 D . 75【答案】C【逐步提示】 先找出同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合平行四边形对角

3、相等得到ZB与Z ADC的倍数关系，最后根据“圆内接四边形对角互补”建立方程求出ZADC的度数.1【详细解答】解：圆周角Z ADC与圆心角Z AOC所对的弧都是 ABC , /-Z ADC= Z AOC，即Z AOC=2 Z ADC ,2四边形 ABCO 是平行四边形，/Z AOC= Z B ,/Z B=2 Z ADC ,v四边形 ABCD内接于O O，/Z B +Z ADC=180 ，即卩 2Z ADC +Z ADC=180，解得Z ADC =60,故选择 C.【解后反思】 看到求与圆有关的角，就想到：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（3）圆的内接

4、四边形的对角互补；（4 ）同圆的半径相等，等边对等角等 【关键词】 圆周角定理；圆内接四边形性质；平行四边形性质；3. （ 2016广东茂名，9, 3分）如图，A、B、C是O C上的三点，且Z B=75 ，则Z AOC的度数是（）A. 150B. 140C. 130D. 120【答案】A【逐步提示】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系.从图形中可以看出，/ AOC、/ B分别是O O中AC所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得/A0C=2/ B,代入/ B的度数即可得/ AOC的度数.【详细解答】 解：/ AOC、/ B分别是O 0中AC所对的圆心角、圆周

5、角，/ A0C=2 / B.v/ B=75 ,二/AOC=150 ，故选择 A .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径 这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论.【关键词】圆周角定理4. （ 2016贵州省毕节市，12, 3分）（2016贵州省毕节市，13, 3分）如图，点 A, B, C在O O上，/ A = 36 / C = 26，则/ B =（）A.100 B.72 C.64 D.36 【答案】C【逐步提示】 本题考

6、查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是求出/O根据圆周角定理求出/O;根据三角形内角和定理求出/OEC，进而由对顶角性质求出/ AEB;根据三角形内角和定理求出/B.【详细解答】解：如图，设 OB与AC交点为E,因为/ A = 36所以，/ O = 72所以/ AEB = Z OEC = 180 -Z O-Z C= 180 72 - 28 = 80 所以，/ B= 180 / AEB-Z A= 180 80 - 36 = 64 故选择 C.A【解后反思】 本题易错点是由于不熟悉圆周角定理，不能发现ZA与Z O的关系，导致无法找到Z B与ZA、ZC的关系.【关键词】圆周角；三角形内角和定理

7、5. （ 2016湖北省黄石市，8, 3分）如图所示，O O的半径为13，弦AB的长度是24, ON丄AB，垂足为N,则ON =D . 11【逐步提示】 本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直 角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半.11【详细解答】 解：因为ON丄AB，所以AN =丄AB =丄X 24= 12,/ ANO = 90在Rt AON中，由勾股定理22得 ON= ,OA2 - AN2 = 132 - 122 = 5,故选择 A .【解后反思】 在解答与圆有关的计算问题时，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起

8、来使用如图，设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d ,弓形高为h，则（a）2 d2 = r2, h = r - d，这两个等式是关于四2【关键词】 垂径定理；勾股定理.6. （2016湖北宜昌，9, 3分）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）（第9题）A. / NOQ42oB. / NOP=32oC. / PON比/ MOQ大 D. / MOC比/ MOP互补【答案】C【逐步提示】 本题考查了圆心角，解题的关键是识别圆心角度数，弄清始边与终边，正确读出圆心角的度数.【详细解答】解：结合各选项分别判断，选项A / NOQ=38o，选项B中/ NOP=8o，选项C中，正确，

9、选项D中/ MOC比/ MOF没有互补 ，故选择 C .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径 这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件.【关键词】圆心角；量角器；7. （2016江苏省无锡市，6, 3分）如图，AB是O O的直径，AC切O O于点D，若/ C = 70，则/ AOD的度 数为（）A. 70 B. 35C. 20D. 40DO【答案】D【逐步提示】本题考查了切线的性质、同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，解题

10、的关键是知道由切线想垂直本题的思路是由相切得到/CAB= 90。，然后根据/ B、/ C互余，可得/ B = 20,然后根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系求出/AOD的度数.【详细解答】解：AC 切O O 于点 D ,/ CAB = 90,./ B+Z C= 90,t/ C = 70,二/ B= 20 , / AOD = 2Z B = 40,故选择 D .【解后反思】本题用到的初中数学知识有：过切点的半径与切线垂直；直角三角形两锐角互余；同弧所对 的圆周角等于圆心角的一半.【关键词】切线的判定与性质；圆心角、圆周角定理；8. （ 2016山东滨州12, 3分）如图，AB是O O的直径，C,

11、 D是O O上的点，且 OC/ BD, AD分别与BC, OC 相交于点E, F，则下列结论：AD 丄 BD :/ AOC= Z AEC; CB 平分Z ABD : AF=DF; BD=2OF ； CEF BED，其中一定成立 的是A .B .C .D .【答案】D.【逐步提示】每个结论逐个去判断.【详细解答】 解：AB是直径，/ ADB=90,即卩AD丄BD，正确；Z AOC=2 Z ABC ,Z AEC= Z ABC+ Z BAD，若Z AOC= Z AEC，则Z BAD = Z ABC，贝U AC弧等于BD弧，此时点C是半圆的三等分点，而已知无法推 断出点 C是半圆的三等分点， 因此错误

12、；由知BD丄AD , BD / OC , OCX AD, AC弧=CD弧，ABC= Z CBD，因此正确；由知OCX AD , AF=DF，因此正确；由知， AF=DF , AO=BO , BD=2OF，因此正确；若厶CEF BED成立，则CF=BD，此时CF=2OF，显然错误，故错误，因此正确，故 选择D.【解后反思】看到直径，就想到直径所对的圆周角是90,垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所分的两条弧；同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半.【关键词】 垂径定理及推论圆周角定理9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.

13、27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （ 2016福建福州，16,4分）如图所示的两段弧中， 位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 r【逐步提示】 本题考查了圆的作法、比较圆弧的半径大小，作出圆心是解题的关键利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可.【详细解答】解：如图，r上v r下，故答案为v .【解后反思】 本题因为没有给出具体的数据，因此没有办法计算出这两个圆的半径的具体值，因此除了用作图法外，还可以直接观察这两个圆弧的大概度数直接作出判断弧度大的半径小【关键词】垂径定理；圆的作法；弧长2.

14、（ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，16, 4分）如图，在O O第16题图，点B是圆上一点，且/ ABC=45o,则O O的半径R=【答案】、6【逐步提示】 本题考查圆的有关性质以及特殊三角形性质， 解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是其所对圆心角 的一半，由/ ABC=45o得出/ AOC=90从而得到厶AOC是等腰直角三角形，可以利用方程或三角函数求出半 径R的值.【详细解答】解：因为/ ABC=45o所以/ AOC=90，又因为OA=OC,所以 AOC是等腰直角三角形，OA=OC=R,2可列方程2R2二2-、3 解得(-一6舍去)，故答案为 用.

15、【解后反思】 同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半，看到45。就应该联想到90从而把问题转化到一个等腰直角三角形中去解决， 转化思想是几何中常用的数学思想，通过转化，可以把比较复杂的问题转化为相对容易的问题已知特殊的角，要寻找线段之间的关系，常通过添加辅助线构成特殊的三角形，把要寻找关系的线段放OCOC在特殊三角形中来研究. 此题也可以利用三角函数解决：在Rt AOC中，sin . OAC，即S45 - 一=AC2丁3子爲，所以OC“6 .【关键词】 圆的有关性质；圆周角；圆心角；勾股定理；23. ( 2016湖南省湘潭市，16, 3分)已知以点C (a, b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为

16、(x-a) + (y-b)2=r2例如：已知以点 A (2, 3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x-2) 2+ (y-3) 2=4，则以原点为圆心，过 点P (1 , 0)的圆的标准方程为.【答案】x2+y2=1【逐步提示】 本题为初高中衔接内容“圆的标准方程”，主要考查学生理解问题的能力，解决问题的关键是领会标准方程的写法，并按照示例写出标准方程，最后确定半径即可【详细解答】 解：由圆的标准方程及示例可得已原点为圆心的圆的标准方程为x2+y2=r2,又圆过点P (1, 0),半径为1，圆的标准方程为 x2+y2=1，故答案为X2+y2=1.【解后反思】“阅读一分析-理解一创新应用”是求解

17、阅读理解类型试题的基本步骤.首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等， 并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错【关键词】圆；圆的标准方程；阅读理解题2 2 24. (2016年湖南省湘潭市，16,3分)已知以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为 (x-a) ，(y-b) -r 。例如：以A (2, 3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x-2)2 * (y-3)2=4，则以原点为圆心，过点 P(1, 0)的圆的标准方程为 .【答案】x2 y2 =1【逐步提示】本题是一道衔接型的

18、阅读理解题，解题的关键是理清圆的标准方程的形式。先读懂题意，理清并熟记圆的标准方程的形式，再根据已知条件分析圆的圆心和半径，最后把圆心和半径代入圆的标准方程。【详细解答】解：以原点为圆心，过点P（1, 0），所以半径是I,：以点0 （0,0）为圆心，半径为1的圆的标准2 2方程为（x-0） 2+ （y-0） 2=12，即 x2+y2=1，故答案为 x y = 1 .【解后反思】阅读理解题是近年中考出现的一类新题型，涉及内容丰富，构思新颖别致一般包括两部分 ：一是阅读材料，一个新的数学概念的形成和实例应用，或者一个新的数学公式的推导与应用，或者一种新的解题方法与技巧应用，或者提供新闻背景材料；二

19、是考查内容题型主要有两类：一是“先阅读解题方法，再解答”，即利用已学知识,综合归纳出新的解题方式方法，重在把握其方法、规律;二是“先阅读新的概念，再解答”，即阅读特殊范例 解题方法、规律，推出一般结论.解答阅读理解型问题的关键在于阅读，重在理解，考查自学能力和应用新知识、新方法的能力解题策略是理清材料脉络，归纳总结数学方法和解题技巧，构建相应的数学模型来解答阅读理解型问题的命题方向“旧教材”删除或削弱的内容；二是“其他版本”教科书借鉴的内容；三是与高中阶段相衔接的知识念、新运算.【关键词】圆；圆的定义；阅读理解题型；学习性阅读理解问题；初高衔接题型5. （2016湖南湘西，3, 4分）四边形A

20、BCD是某个圆的内接四边形，若/A=100 则/ C=【答案】80【逐步提示】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关 键根据“圆内接四边形对角互补”可得“/ A+Z C=180”，又知/ A度数，可求/ C度数【详细解答】解：由题意得Z A+Z C=180 , / A=100, / C=80，故答案为80 .【解后反思】 此类问题容易出错的地方是不知运用圆内接四边形的性质解题.【关键词】圆内接四边形,总结阜:是;四是新概6.（ 2016湖南湘西，7, 4分）如图，在O O中，圆心角/ AOB=70 ,那么圆周角/ C= 【答案】35【逐步提示】【详细解答】本题

21、考查了圆周角定理根据圆周角定理，发现Z AOB与Z C的倍分关系.11 1解：Z AOB与Z C分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，/。=丄Z AOB=- X 7035 ，故答案2为 35 .【解后反思】圆心在圆周角的外部，但三种情况下结论是统一的。【关键词】圆周角定理一条弧所对的圆周角与圆心的位置关系有三种：圆心在圆周角的一边上,圆心在圆周角的内部,（第 7题图）7. （2016湖南省永州市，18 , 4分）如图，在O O中，A, B是圆上的两点，已知Z AOB=40 ，直径CD / AB，连 接 AC,则Z BAC=度.【答案】35【逐步提示】本题综合考查了圆周角、圆心角、三角形内角和、平行

22、线的性质等知识，解题时，把要求的圆周角 转化为对应的圆心角是解题的关键在等腰三角形ABO中，根据三角形内角和求得/ABO的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出圆心角/BOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出/BAC的度数.1【详细解答】解：/ AOB=40,/ ABO=_（180 - 40 ）=70 ,v CD / AB ,二/ BOC = Z ABO=70,.21/ BAC= / BOC=35。，故答案为 35.2【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆

23、心角的一半等关系求解.【关键词】圆周角；三角形内角和；平行线的性质8. （2016湖南省岳阳市，13, 4）如图，四边形 ABCD为O O的内接四边形，已知/ BCD =110，则/ BAD =度.【答案】70【逐步提示】根据圆内接四边形的对角互补求/BAD的度数即可.【详细解答】四边形 ABCD为O O的内接四边形，/ DAB +/ BCD =180，又BCD=110，/ BAD=70 所以填：70。【解后反思】 解答此类题时，利用了圆内接四边形对角互补的性质来求已知角的补角即可【关键词】 圆内接四边形及性质2分）如图，扇形 OAB的圆心角为122 , C是AB上一点，则/ ACB = 【答

24、案】119【逐步提示】 本题考查了圆周角的计算，解题的关键是运用圆内接四边形对角互补解题.可以作出整圆，在优弧AB上取点D，得到圆周角/ ADB的度数，再根据圆内接四边形对角互补解计算/ACB的度数.1【详细解答】 解：如图，作出整圆，在优弧 AB上取点D，得圆周角/ ADB= / AOB=61 ，根据圆内接四边形2对角互补，可知/ ACB= 180/ ADB=119 故答案为119.如图，构造出两个等腰 AOC和厶BOC，则/仁/2, / 3= / 4,所以/ ACB1 一、。2【解后反思】本题也可以连接OC,1 ,=/ 2+ / 3=/ 1 + / 4,即/ ACB= _ （360 / A

25、OB ） =_ （360 122 =119.2【关键词】 圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理；圆内接四边形及性质；化归思想10. （2016江苏省宿迁市，14, 3分）如图，在 ABC中，已知/ ACB=130 ，/ BAC=20 , BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交 AB于点D，贝U BD的长为【答案】2 . 3【逐步提示】 先利用三角形内角和求出第三个角为函数等，即可求出 BD的长.【详细解答】解：过C作CE丄AB,垂足为E, BD=2BE/ ACB=130 ，/ BAC=20 / ABC=30在 RtA BCE 中，BC=2 ,BE=BC cos30 =2 x 3 = 32 B

26、D= 2 3，故答案为2.3 .（第14题图）30,是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角【解后反思】 垂径定理是圆中构造直角三角形来线段长度、角度等常用的方法；在利用垂径定理解题时，常见的 辅助线有：（1）过圆心作弦的垂线；（2）连半径，再运用勾股定理、三角函数解这个直角三角形，进而求出弦的 长度或角度等.【关键词】 三角形内角和定理；解直角三角形；垂径定理；11. （2016江苏省扬州市，16, 3分）如图，O O是厶ABC的外接圆，直径 AD=4，/ ABC= / DAC，贝U AC长 为.5 ItiH)【答案】2 2【逐步提示】 本题考查了圆周角的性质、 等腰直角三角形的性质，

27、 解题的关键是通过同弧所对的圆周角相等转化数量关系，再构造等腰直角三角形.连接CD，可得/ ABC= / ADC= / DAC，得到等腰直角厶ADC，再由三边关系求得AC的长.【详细解答】 解：连接CD，可得/ ABC= / ADC= / DAC，而AD是直径，可知/ ACD=90，因此得到等腰直角厶ADC , AC=上兰AD= 2 2，故答案为2 2 .托 M【解后反思】“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”是转化圆中圆周角的重要性质定理，特别地，当圆中有直径 时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题.【关键词】 圆；圆的有关性质；圆周角；三角形；等腰三角形和直角三

28、角形；等腰直角三角形；勾股定理12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. ( 2016福建福州，24, 12分)如图，正方形 ABCD内接于O O, M为并D中点，连接 BM , CM .(1) 求证：BM = CM ;(2) 当0 O的半径为2时，求BM的长.【逐步提示】 本题考查了正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键.（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧

29、长公式计算.【详细解答】解：（1）证明：四边形 ABCD是正方形， AB=CD , AB 二 CD , M为AD中点,AM = DM , BM 二CM , BM =CM .（2）解：连接 OM ,OB,OC ./ BM -CM ,/ BOM =Z COM,正方形ABCD内接于O O, BOC = 36090.4 BOM =135.由弧长公式，得BM的长l=135 2 二180【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能求出圆心角的度数及弧长公式用错在弧长公式1 =空中，当圆心180角n半径R和弧长I已知两个时，可求得第三个 .【关键词】正方形的性质；弧、弦、弦心距；弧长； ；2. (2016甘肃兰

30、州，27, 10分)如图，三角形 ABC是O O的内接三角形,O,分别交 AC、CF于点E、D，且DE=DC .(1) 求证：CF是O O的切线；(2) 若0 O的半径为5, BC= .10 , 求DE的长.AB是O O的直径，OD丄AB于点【逐步提示】(1)第一步：连接 OC,易知/ A=Z OCA，由OD丄AB证得/ A +Z AEO=90； 第二步：根据“等边对等角”有/ DEC = Z DCE ,代换得/ OCE+ / DCE=90。，从而证得结论；1(2)第一步：作DH丄EC,根据“等角的余角相等”可得/ EDH = / A, EDC中根据三线合一得 EH =HC = - EC,2A

31、O AE于是AB=10，由勾股定理可得 AC=3,10 ;第三步：由 AEOs ABC得，代入数据求得 AE,进AC ABBC eh一步求出EC、EH ;第四步：由等角的正弦相等得sin/A= sin / EDH，从而，进而求得DE的长.AC DE【详细解答】 解：(1)证明：连接 OC,则/ A= / OCA ,T OD 丄 AB,a/ AOE=90 ,a / A +/ AEO=90 , / DE =DC ,/ DEC=/ DCE , v/ AEO = / DEC , / / AEO= / DCE,：/ OCE + / DCE=90 ,. CF 是 O O的切线.(2)作 DH 丄 EC,则

32、/ EDH=/ A, v DE =DC , EH =HC = EC , v O O 的半径为 5 , BC= 10 , AB=10 , 2AC=3.10 , AEOs ABC,AO AEAC AB. ae=5 m3/103 EC=AC-AE=3.105、104.103 EH= 1 EC=, I/ EDH = / A,. sin / A= si n/ EDH，即 _BC23ACEHDEAB EHBC；10203【解后反思】 看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过

33、这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；若未知直线与圆有交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等.【关键词】切线的判定；相似三角形的判定与性质；转化思想；方程思想3. (2016广东省广州市，25, 14分)如图，点 C ABD外接圆上的一动点(点 C不在BAD上，且不与点 B,D 重合)，/ ACB = / ABD =45 (1) 求证：BD是该外接圆的直径；(2) 连结 CD，求证：,2 AC=BC+CD ；(3) 若厶ABC关于直线AB的对称图形为 ABM ,连接DM ,试探

34、究DM2, AM2 , BM2三者之间满足的等量关系， 并证明你的结论.BD【逐步提示】(1)要证BD是圆的直径，只需证明/ BAD=90即可，这可由已知条件/ ACB=/ ABD=45及/ D= / ACB直接得到；(2)由所要证明的结论形式自然联想到证明线段“a+b=c”型问题的方法：截长补短法，由a 2 AC”可联想到构造以 AC为直角边的等腰直角三角形，其斜边长即等于2 AC .于是可作 AE丄AC ,交CB的延长线于点E,连结AE,通过证明厶ABEADC进一步获证结论；(3)由DM2, AM2, BM2三者的形式，可构建直角三角形， 进一步利用勾股定理探究三者之间的数量关系.则根据圆

35、的性质，易于构造以DM为斜边的Rt MDF，显然有DM2= DF2+ MF2，借助“几何直观”，易于猜想DF=BM,关于MF2与2AM2,连结AF后它们 在一个等腰直角三角形中，进而易于得出结论. 另外，亦可以BM为直角边，以AM为直角边构造两个 Rt BMF与Rt MAF，通过三角形全等证明 BF=MD获得结论.【详细解答】 解：(1)由AB=AB,得/ ADB= / ACB=45 又ABD=45 / ABD+ / ADB=90 , /-Z BAD=90 BD是厶ABD外接圆的直径；(2)证明：如图，作 AE丄AC,交CB的延长线于点 E,连结 AE.tZ EAC= / BAD=90 , /

36、 EAB+ / BAC= / DAC + / BAC, / EAB= / DAC .由Z ACB=Z ABD =45 可得 ACE 与厶 ABD 是等腰直角三角形， AE=AC,AB=AD , ABE ADC，/ CD=BE.在等腰 Rt ACE 中，由勾股定理，得 CE= . 2 AC . t CE=BC+BE，/.2 AC=BC+CD;D(3) DM 2=BM2 + 2MA2.证明如下：方法1:如图，延长 MB交圆于点F，连结AF, DF .tZ BFA= / ACB= / BMA=45MAF =90 MA=AF，/ MA2+AF2=2MA2=MF 2.又t AC=MA=AF,Ac=Ae，

37、又t Ad=Ab, df=bc=bm.t BD 是直径，/ BFD=90 .在Rt MDF中，由勾股定理，得 DM2= DF2+ MF2, / DM 2=BM2+ 2MA2 .方法2:如图，过点 M作MF丄MB，过点A作AF丄MA , MF与AF交于点F，连结BF . 由轴对称性可知Z AMB=ACB=45FMA=45 , AMF是等腰直角三角形， AM=AF, MF2=2AM2.tZ MAF+Z MAB= Z BAD+ Z MAB ,FAB = Z MAD .又t AF=AM , AB=AD , ABF ADM，/ BF=DM .在 Rt BMF 中,t BF2=BM2 + MF2, / DM 2=BM2 + 2MA2.D【解后反思】1 关于问题(2)的解决，是利用证明线段“ a+b=c”型问题的方法一一截长补短法该例所作的 辅助线本质上是在线段 CB的延长线上得到 BE=CD .我们也可直接在 CB的延长线上截取 BE=CD，显然/ ABE= / ADC , AB=AD，因此， ABE ADC，从而可证/ EAC=90进一步可证得结论成立.2 对于许多几何证明题，根据已知条件与所要证明的结论，联想相关知识是沟通证明思路的重要途径如本例(3)中根据探究量的形式联想到勾股定理，从而构造直角三角形是解决问题的突破口.另外，注意“几何直观”，合情推理与演绎推理的有机结合