mathematica教程第五章线性代数运算命令与例题ppt课件

1、北京交通大学l5.1向量与矩阵的定义向量与矩阵的定义l数学上矩阵是这样定义的数学上矩阵是这样定义的: 由个数排成由个数排成m行行n列的列的数表数表:l 称为称为m行行n列矩阵，特别，当列矩阵，特别，当m=1时就是线性代时就是线性代数中的向量。数中的向量。l记作记作: l两个矩阵称为同型矩阵。两个矩阵称为同型矩阵。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112115.1.1输入一个矩阵输入一个矩阵命令形式命令形式1:Tablefi,j，i，m，j，n功能功能: 输入矩阵，其中输入矩阵，其中f是关于是关于i和和j的函数，给出的函数，给出i

2、， j项的值项的值.命令形式命令形式2:直接用表的形式来输入直接用表的形式来输入功能功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。注意注意:1. 要看通常的矩阵形式可以用命令要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm%2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Tablefj，j,n或直接输入一个一维表或直接输入一个一维表a1,a2,an，这里，这里a1,a2,an是数或字母。是数或字母。 例例1.输入矩阵输入矩阵A= , 向量向量b=1,4,7,-3。解解:Mathematica命令命令In1:

3、= a=12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4Out1:= 12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4In2:=b=1, 4, 7, -3 Out2:= 1, 4, 7, -34138163912145856120312例2. 输入一个矩阵解:Mathematica命令In3:=TableSini+j，i，5，j，3Out3:=Sin2，Sin3，Sin4，Sin3，Sin4，Sin5，Sin4，Sin5，Sin6， Sin5，Sin6，Sin7，Sin6，Sin7，Sin8In4:=MatrixForm% Out4:

4、=Sin2 Sin3 Sin4Sin3 Sin4 Sin5Sin4 Sin5 Sin6Sin5 Sin6 Sin7Sin6 Sin7 Sin8 8Sin7Sin6Sin7Sin6Sin5Sin6Sin5Sin4Sin5Sin4Sin3Sin4Sin3Sin2Sin5.1.2 几个特殊矩阵的输入几个特殊矩阵的输入1. 生成生成0矩阵矩阵命令形式命令形式: Table0，m，n功能功能:产生一个的产生一个的0矩阵矩阵2. 生成随机数矩阵生成随机数矩阵命令形式命令形式: TableRandom ，m，n功能功能: 产生一个的随机数矩阵产生一个的随机数矩阵 3.生成上三角矩阵生成上三角矩阵命令形式命令

5、形式: TableIfi=j， a， 0， i，m，j，n功能功能: 产生一个非产生一个非0元全为数元全为数a的下三角矩的下三角矩阵阵 5.生成三对角矩阵生成三对角矩阵命令形式命令形式: TableSwitchi-j，-1，ai，0，bi，1， ci-1，-，0，i，m，j，n功能功能: 产生一个的三对角矩阵产生一个的三对角矩阵 6.生成对角矩阵生成对角矩阵命令形式命令形式:DiagonalMatrixlist功能功能:使用列表中的元素生成一个对角矩阵使用列表中的元素生成一个对角矩阵.7.生成单位矩阵生成单位矩阵命令形式命令形式:IdentityMatrixn功能功能:生成生成n阶单位阵阶单位

6、阵n例例3. 构造的构造的0矩阵。矩阵。n解解: Mathematica命令命令nIn5:=Table0，4，3nOut5:= 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0nIn6:= MatrixForm%nOut6:=n 0 0 0n 0 0 0n 0 0 0n 0 0 0n例例4. 构造一个的随机数矩阵。构造一个的随机数矩阵。n解解: Mathematica命令命令nIn7:=TableRandom ，2，5nOut7:=0.46223， 0.545335， 0.423938， 0.635765， 0.792571， n 0.802126， 0.372146， 0

7、.114424， 0660867， 0.0163719n例例5. 构造非构造非0元全为元全为2的的45上三角矩阵。上三角矩阵。n解解:Mathematica命令命令nIn8:=TableIfi=j，1，0，i，4，j，4nOut10=1，0，0，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，1，1，1nIn11:=MatrixForm%nOut11=1 0 0 0n 1 1 0 0n 1 1 1 0n 1 1 1 1n例7. 生成三对角矩阵 n解:Mathematica命令nIn12:=TableSwitchi-j，-1，a，0，b，1，c，_，0，i，6，j，6nOut12=b，a，0，0，0，0

8、，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a,0,0，n 0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，bn例8. 生成对角矩阵n解:Mathematica命令nIn13:=DiagonalMatrixa，b，c，dnOut13=a，0，0，0，0，b，0，0，0，0，c，0， 0，0，0，dbcabcabcabcabcab00000000000000000000dcban例例9.生成生成5阶单位矩阵。阶单位矩阵。n解解:Mathematica命令命令nIn14:=a=IdentityMatrix5nOut14=1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，0 0， 0

9、，0，0，1，0，0，0，0，0，1 n In15:=MatrixForm%n Out15=1 0 0 0 0n 0 1 0 0 0n 0 0 1 0 0n 0 0 0 1 0n 0 0 0 0 15.2向量与矩阵的运算向量与矩阵的运算 5.2.1基本运算基本运算运算运算功能功能命令形式命令形式矩阵加法和减法矩阵加法和减法将两个同型矩阵相加将两个同型矩阵相加(减减)A B数乘数乘将数与矩阵做乘法将数与矩阵做乘法kA其中其中k是一个数，是一个数，A是一个矩阵是一个矩阵矩阵的乘法矩阵的乘法将两个矩阵进行矩阵相将两个矩阵进行矩阵相乘乘B其中乘号其中乘号.使用键盘上的小数点使用键盘上的小数点矩阵的求逆

10、矩阵的求逆求方阵的逆求方阵的逆InverseAA必须为方阵必须为方阵矩阵的转置矩阵的转置.求矩阵的转置求矩阵的转置TransposeAA可以是任意矩阵可以是任意矩阵向量的数量积向量的数量积(点积点积) 求同维向量的数量积求同维向量的数量积v1.v2其中乘号其中乘号.使用键盘上的小数点使用键盘上的小数点例例10. 计算计算 解解:Mathematica命令命令In16:= 1，3，7，-3，9，-1+2，3，-2，-1，6，-7Out16=3， 6， 5，-4， 15， -8例例11 计算计算解解:Mathematica命令命令In17:=51，2，3，3，5，1Out17=5， 10， 15，

11、 15， 25， 57612321937311533215例12. 求向量 与 的点积。解:Mathematica命令In18:= a， b， c.e， f， gOut18= a e + b f + c g例13. 求向量a，b，c与矩阵 的乘积。解:Mathematica命令In19:= a， b， c.1， 2，3， 4，5， 6Out19=a + 3 b + 5 c， 2 a + 4 b + 6 ccb,a,gf,e,654321例例14. 求矩阵求矩阵 与向量与向量a，b的乘积。的乘积。解解:Mathematica命令命令In20:=1，2，3，4，5，6.a， bOut20:=a +

12、 2 b， 3 a + 4 b， 5 a + 6 b 例例15:求矩阵求矩阵 与与 的乘积。的乘积。解解:Mathematica命令命令In21:= a=1，3，0，-2，-1，1In22:=b=1，3，-1，0，0，-1，2，1，2，4，0，1In23:=a.bOut23:=1， 0， 5， 3， 0， -1， 0， 0654321112031104212100131例例16. 求矩阵求矩阵 的逆。的逆。解解:Mathematica命令命令In24:=A=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，-2，-6Out24=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，

13、-2，-6In25:=InverseAOut25=22，-6，-26，17，-17，5，20，-13，-1，0，2，-1，4，-1，-5，36201111121324321n例例17. 求矩阵求矩阵 的逆。的逆。n解解:Mathematica命令命令nIn26:= Inversea，b，c，dnOut26:=n例例18. 求矩阵求矩阵 的转置。的转置。n解解:Mathematica命令命令nIn27:=A=1，2，3，4，2，3，4，5，3，4，5，6nOut27:=1， 2， 3， 4， 2， 3， 4， 5， 3， 4， 5， 6nIn28:=TransposeAnOut28:=1， 2，

14、 3， 2， 3， 4， 3， 4， 5， 4， 5， 6 dcbaadbca,adbcc,adbcb,adbcd654354324321A5.2.2. 方阵的运算方阵的运算求行列式求行列式 命令形式命令形式:DetA功能功能:计算方阵计算方阵A的行列式的行列式求方阵的幂求方阵的幂命令形式命令形式:MatrixPowerA，n功能功能:计算方阵计算方阵A的的n次幂。次幂。求矩阵的求矩阵的k阶子式阶子式命令形式命令形式:MinorsA，k功能功能:求出矩阵求出矩阵A的所有可能的的所有可能的k阶子式的值。阶子式的值。例19 ,求A的行列式解:Mathematica命令In29:=Deta，b，c，

15、d Out29:=-bc+ad 例20. 求矩阵 的2次幂。解:Mathematica命令In30:=MatrixPower1，2，3，4，2Out30:=7， 10， 15， 22 dcbaA4321例21. 求矩阵 的所有2阶子式的值。解:Mathematica命令In31:=Minors1，2，3，2，3，4，2Out31:=-1， -2， -1432321l解：年龄组为解：年龄组为5岁一段，故将时间周期也取岁一段，故将时间周期也取5年。年。15年经过年经过3个周期。用个周期。用k=1，2，3分别表示第一、二、三个周期，分别表示第一、二、三个周期，xi(k)表示第表示第i个年龄组在第个年

16、龄组在第k个周期的数量。由个周期的数量。由题意，有如下矩阵递推关系：题意，有如下矩阵递推关系：l即即 l利用利用Mathematica计算有：计算有：lIn32:=L=0，4，3.1/2，0，0，0，1/4，0; x0=1000，1000，1000;lIn33:= Dox0=L.x0;Printx0， 3lOut33：= 7000， 500， 250l 2750， 3500， 125l 14375， 1375， 875l结果分析：结果分析：l 15年后，农场饲养的动物总数将达到年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中头，其中05岁的有岁的有14375头，头，占总数的占总数的86.47%

17、，610岁的有岁的有1375头，占头，占8.27%，1115岁的有岁的有875头，头，占占5.226%，15年间，动物总增长年间，动物总增长13625头，总增长率为头，总增长率为13625/3000=454.16%。 3 , 2 , 1,) 1() 1() 1(04/10002/1340)()()(321321kkxkxkxkxkxkx)()()()(,04/10002/13403 , 2 , 1,),1()(321kxkxkxkxLkkLxkx5.3解线性方程组解线性方程组命令形式命令形式: Solveeqns，x1，x2，功能功能:求解以求解以x1，x2，为未知量的方程或纺方程组。为未知量

18、的方程或纺方程组。注注:eqns表示方程或方程组，其中的等号用两个等号表示方程或方程组，其中的等号用两个等号“=”输入。输入。例例23 求方程组求方程组 的解。的解。解解:Mathematica命令命令In34:=Solve2x+3y= =4，x-y= =1，x，yOut34:= 1432yxyx52y,57x例例24. 求齐次方程求齐次方程 的解。的解。解解:Mathematica命令命令 In35:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x1 Out35= In36:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x5Out36=x5 - -5 x1 - 4 x2 -

19、3 x3 - 2 x40234554321xxxxx5x52x43x34x2x1例例25. 求非齐次方程求非齐次方程 的解。的解。解解:Mathematica命令命令In37:=Solve2x1+7x2+3x3+x4=6，3x1+5x2+2x3+2x4=4，9x1+4x2+x3+7x4=2， x1，x2，x3，x4Out37= 2749422536372432143214321xxxxxxxxxxxx11x4x31151110 x2,119x411x3112x1命令形式命令形式1:EigenvaluesA 功能功能:求出方阵求出方阵A的全部特征值。的全部特征值。命令形式命令形式2:Eigenv

20、aluesNA 功能功能: 求出方阵求出方阵A的全部特征值的数值解。的全部特征值的数值解。注意注意:命令命令1有时不能求出特征值，而命令有时不能求出特征值，而命令2总能求出特征值的近总能求出特征值的近似值似值例例26. 求矩阵求矩阵 的特征值。的特征值。解解:Mathematica命令命令In38:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out38=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.， 1.， 2.In39:=EigenvaluesAOut39=4.， 1.， 1.211121112A例例27. 求矩阵求矩阵 的特征值。的特征值。解解:Mathematica

21、命令命令In40:=A=2，1，1，1，2，1，1，3，2;In41=EigenvaluesNAOut41=4.56155， 1.， 0.438447得三个特征值得三个特征值4.56155， 1.， 0.438447. 211121112A 例例28. 求矩阵求矩阵 的特征值。的特征值。 解解: Mathematica命令命令 In43:=A=3，7，-3，-2，-5，2，-4，-10，3; In44:=EigenvaluesNA Out44=1.， 1.77636 10 -15 + 1. I， 1.77636 10 -15 - 1. I 得三个特征值得三个特征值1.，1.77636 10 -15 + 1. I，1.77636 10 -15 - 1. I 3104252373A5.4.2 求矩阵特征向量命令求矩阵特征向量命令命令形式命令形式1:EigenvectorsA 功能功能:求方阵求方阵A全全部特征向量。部特征向量。命令形式命令形式2: EigenvectorsNA 功能功能:求方阵求方阵A全全部特征向量的数值解。部特征向量的数值解。例例29. 求矩阵的特征向量。求矩阵的特征向量。解解:Mathematica命令命令In47:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out47=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.，