2015真题及解析

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.设：是数列，下列命题中不正确的是 ()(A)若lim xn :-a,则limX2n = lim X2n 1 = an_i:n l :n_ac(B)若lim x2n二 limX2n 1二 a ,贝U lim Xn 二 an ；:n t:n_sc(C)若lim xn =二a,则limX3n =lim X3nan ;:n l :n_sc1(D)若lim X3n=limX3n 1=a ,则 lim xn =

2、an_$ :n :【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系数列Xn a n、：= 对任意的子列：Xnk "匀有Xnk a k ' ；,所以A、B、C正确；D错(D选项缺少X3n 2的敛散性)，故选D(2)设函数f X在-:：，V 内连续，其2阶导函数X的图形如 右图所示则曲线y = f X的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是(x)不存在的点或f (xQ的点处产生.所以y = f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 (X)符号发生改变的点即为拐点所

3、以从图可知，拐点个数为2,故选 C.(3)设d；x, y x2 y2咗2x,x2 y2乞2yf，函数f X,y在D上连续,则f x,y dxdy =()D2cos2sin 二(A) /dA。 f r cosr si" rdr 亠！2dj f r cosr sin rdr42sin2cos T1(B) 04犷 0 f rcosdrsin rdr 亠 引二。 f r cosSrsin rdr1x(C) 2 0dx J仃2 f X,y dy12XZX2(D) 2 0dx x f x,y dy【答案】(B)=O 0 <0【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域兰一,

4、0 兰r E2sin 日 > D2 = *(r,日)一兰日兰一，0 Er E2cos日 > '“J所以n! f (x,y)dxdy = ； drD2sin dif(rcos,rsinRrdr 亠 i2f(rcosr,rsinRrdr，故选B.F列级数中发散的是(A):=n(B)二 11ln(1 -) nd nn(C)二(-1)n 1n=2In n(D)二 n!Z n n t n【答案】(C)【解析】A为正项级数，因为n 1n 1lim n ；： n二 lim3n=1 ： 1，所以根据正项级数的比值30判别法斗收敛；BnS 3为正项级数,因为1ln(1 )Ln1，根据P级数收

5、敛准则，知n 21 ln(1 )收敛;n 4、. n nC，£ (-1)n +1nm ln n-(1)，根据莱布尼茨判别法知心 ln n n 三 ln n芒凹收敛,nm lnnQOz ni ln n1发散，所以根据级数收敛定义知，凹 1发散；D为正项级n# ln n(n 1)!数，因为怦(n 1)n1= lim(n+1)!"十 lim(n! n n! (n 1)n 1 n ；： n 1=-：1，所以根据正项级数 e的比值判别法'、牛收敛，所以选C.n £ n*11 1 '1 2 a,b =dJ 4 a丿设矩阵A =.若集合11()= '12

6、 ,则线性方程组 Ax二b有无穷多解的充分必要条件为(A) a f，d 1(B)a " ,d(C) a：,d °【答案】（D）1(1111、,Z1111【解析】（A,b） =12adT01a-1d -1J42 adj!I00(a-1)(a-2)(d -1)(d -2)由 r（A） =r（A,b） ：3，故 a 刊或 a = 2，同时 d =1 或 d =2.故选（d）设二次型f x!，x2,x3在正交变换x = Py下的标准形为2yj t ，其中P =(ei, e2(3)，若 Q = (ei, -e3, e?)则 f =(Xi,X2,X3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为

7、()2(A) 2y12 2-y2y3(B)2 2 22y1 y2 -y322 22 2 2(C) 2y1-y2 -y3(D)2y1 y2 y3【答案】(A)【解析】由 x = Py，故f'=xTAx =yT(PTAP)2Y12 yl-yl'2 0 0 "且 PTAP = 010.<0 o -bq o o'又因为Q = P O 01=PC<o -i o>广200、故有 QTAQ =CT(PTAP)C = 0 -1 0<0 0 1所以 f 二 xT Ax = yT (Qt AQ)y = 2y2 - y； 丫；.选(A) 若A, B为任意两个

8、随机事件，则:(A) P AB < P A P B(B) P AB -PAP B(C) P AB <(D)【答案】(C)【解析】由于 AB A,AB B，按概率的基本性质，我们有P(AB)乞P(A)且P (A)亠 P(B)P(AB)乞 P(B)，从而 P(AB) _ P(A)_P(B)，选(C).(8)设总体X B mj ,Xi,X2,|)|,Xn为来自该总体的简单随机样本，X为样本均n 2i； Xi -X(A) m -1 nr 1 -(B) m n -仁 1(C) m-1 n -仁 1-二(D) mn 1 - v【答案】(B)1 n(Xi -X)2 的性质 E(S2) = D(X

9、)，而【解析】根据样本方差 S -)n T ynD(X)二 m(1 -力，从而 E' (Xi -X)2H( n - 1)E(S2) = m(门-1尸(1-二)，选(B).i=1、填空题：914小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上.(9)xmoln( cos x)2 x1【答案】-丄2【解析】原极限ln(1 cosx -1)2xcos x T2xX2(10)设函数 f (x)连续，(x) = p xf(t)dt,若=1, ： (1) = 5,则 f(1) =【答案】2x2【解析】因为f(x)连续，所以 (x)可导，所以(x) f(t)dt 2x2f (x2)；因为(

10、1) = 1，所以(1)= : f(t)dt =1又因为"(1) = 5，所以®(1)= J； f (t)dt +2f (1)=5故 f(1)=2(11) 若函数z = z(x,y)由方程©乂初和+xyz =1确定，则dz(0,0)=.12【答案】dx dy33【解析】当x=0, y=0时带入ex 2y3z xy1，得z = 0.对ex 2y 3z - xyz = 1求微分，得d (ex知*z +xyz) =ex 知卡zd (x +2y +3z) +d(xyz)= eXty*z(dx +2dy +3dz) + yzdx + xzdy + xydz = 0把 x=0

11、 , y=0， z=0 代入上式，得 dx 2dy 3dz = 012所以 dz(0,0)n-dx-yy(12) 设函数y =y(x)是微分方程y： y2y=0的解，且在x=0处取得极值3,贝Uy(x)二.【答案】y(x) = ex 2ex【解析】y ' y-2y =0的特征方程为，2 ，2 =0，特征根为-2 , =1，所以该齐次微分方程的通解为y(xC1e2x C2ex，因为y(x)可导，所以x = 0为驻点，即y(0) = 3 , y (0) = 0，所以 G = 1 , C? = 2，故 y(x)二 e'x 2ex2(13) 设3阶矩阵A的特征值为2, -2,1 , B

12、二A - A E ,其中E为3阶单位矩阵，则行列式B =.【答案】21【解析】A的所有特征值为2,-2,1.B的所有特征值为3,7.所以 | B| = 3 7 1=21-(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1;0)，贝UP XY -Y £0 =.【答案】12【解析】由题设知，X N(1,1)Y N(o,1)，而且X、Y相互独立，从而PXY -Y :：: 0 = P( X -1)Y :：: 0 = PX -1 0,Y :：: 0 PX 一 1 ： 0,Y . 0 11111二 P X . 1 PY ： 0 P X ： 1P Y 0二2 2 2 2 2三、解答

13、题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数 f (x) = x aln(1 x) bxsin x, g(x) = c = kx3.若 f (x)与 g(x)在 x 0 时是【答案】-1-1a = 1,b, k =23【解析】法一：233、xx _ Z 3X 3、等价无穷小，求a, b, k的值.因为 ln(1 +x) = x_ +一 +o(x )sinx=x_ +o(x )23'3!'则有，1=讪他=佃 aln(1 X? bxsinxx 0 g(x) x 0kx3(1 a)x (b -号

14、)%2 号 x3 o(x3)可得:1 a =0-r0，所以,3k1b =-法二：由已知可得得c;f(x) g(x)x aln(1 x) bxsin xkx3由分母lim 3kx2 = 0 ,得分子x-0=limx )01 bsin x bxcosx1 x3kx2bsi nx bx cosx)=lim (1 a) = 0，求得于是1f(x) g(x)bsin x bxcosx3kx2x b(1 x)sin x bx(1 x) cosx3kx(1 x)x b(1 x)s i nx bx(1 x) c o3kx21 bsin x b(1 x) cosx b(1 x)cosx bxcosx - bx(

15、1 x)sin x6kx由分母lim 6kx =0，得分子x_0lim1 bsinx 2b(1 x) cosx bxcosx-bx(1 x)sin xlim (1 2bcosx) = 0 ,求得 b -；2进一步，b值代入原式1 -limx 卩 g(x)1111sin x-(1 x) cosx xcosx x(1 x)s inx= lim2x 06kx1 111 11 cosx-cosx (1 x)sinx cosx xsinx (1 x)sinxxsinxx(1 x)cosx二 lim 債22222x 06k2，求得 k = -1.6k3(16)(本题满分10分)计算二重积分 JJx(x +

16、 y)dxdy，其中 D =( x, y) x2 + y2 兰 2, y 色 x2.D【答案】二上45【解析】nx(x y)dxdy = x2dxdyDD12二2 2= 2(dx2 x dy0 x2X2X1 o2-x = 2sin t2。恢in Pcoddt22u =2t二2。4 2tdt <2sin2 udu05Q为该商品的需求量,(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设P为价格，MC为边际成本,为需求弹性(0).(I)证明定价模型为PMCdLdQ-J I当且仅当 =0时，利润L(Q)最大，又由于dQP dQQ dP，所以dPdQ故当时，利润

17、最大(II)由于 MC 二C(Q) =2Q =2(40 -P),则dQdP代入(I)中的定价模40 P2(II)若该商品的成本函数为 C(Q) =1600 Q，需求函数为Q = 40 - P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格【答案】(I)略(II) P =30.【解析】(I)由于利润函数L(Q) =R(Q)-C(Q) = PQ-C(Q),两边对Q求导，得二 PC (Q) = P Q-dP - MC .dQdQ型，得p二240 与，从而解得p =30.,40 P1 -P(18) (本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的I，曲线y = f(x)在点(X。，f(x。

18、)处的切线与直线x=x°及x轴所围成区域的面积恒为4,且f0 2二，求f (x)表达式.【答案】f x =484 x【解析】曲线的切线方程为y-fx()二f怡x-x0，切线与x轴的交点为故面积为：2SX0 =4.2 f X2故f x满足的方程为f X =8f x ,此为可分离变量的微分方程，一8 8解得f x二，又由于f 0 = 2，带入可得C = -4，从而f x x +C4- x(19) (本题满分10分)(I)设函数 u(x),v(x)可导，利用导数定义证明 u(x)v(x) =u (x)v(x) u(x)v(X)；(II)设函数 U!(x),U2(x)|,Un(x)可导，f(

19、xUi(x)U2(x|Un(x)，写出 f(X)的 求导公式【答案】f (x) =Ui(X)U2(X)|(Un(X)二 U(X)U2(X)l|Un(X)Ui(X)U2(X)| lUn(X)川，5&)比(X)l 11 U. (x)u(x h)v(x h) -u(x)v(x)【解析】(I) u(x)v(x) = ljmu(x +h)v(x +h) _u(x + h)v(x) +u(x +h)v(x) _u(x)v(x)=limh 0hv(x h) -v(x) u(x h) -u(x) /、二 lim u(x h)”mv(x)二 u(x)v(x) u (x)v(x)(II)由题意得f (X)

20、二U1(X)U2(X)|l(Un(X)=5(X)U2(X)l|IUn(X) U1(X)U2(X川 I Un(X)川 U,X)U2(X)I H Un ( X)(20)(本题满分11分)a10、设矩阵A =1a-1，且 A = O1a(I) 求a的值；(II)若矩阵X满足X XA2 - AX AXA2二E，其中E为3阶单位矩阵，求 X . 广3 1-2"【答案】a=0,X= 1 1-1<2 1 -1>a 10010【解析】(1) A3 = 0 nA=0n1 a-1=1-a2a-1=a = 0= a = 00 1a-a1a(II)由题意知2x XA - AX +AXA2二En

21、X(E -A2)-AX (E -A2)=E2"一 * 2-2二(E - A )X (E A)=E 二 X=(E-A)(E - A)=:E _ A )( E 一 A )=X = E A? 一 A '广 0-11、E - A? A= -111 ，112<1i厶丿广 0-11M00M -1 -1M0-10、-11 1MD10T0 -11 M1001-1-1 2M00bL -12 M00h1-1-1M0-1 0、1-1-1M0-10、T01-1M10 0T01-1M100e-21 M0-1 b1°0-1M2-1b1-10憧0-1、广100MB1-2、T010M11-1

22、T010M11-11°01憧1一11。01憧1-b勺1 -2二 X = 11-1I? 1 -1 丿(21)(本题满分11分)'02-3、1-20、设矩阵A =-13-3相似于矩阵B =0b0-2a丿<031丿(I) 求a,b的值；(II)求可逆矩阵 P，使P AP为对角矩阵2-3-1A【答案】a=4,b=5, P =10-1<011【解析】(1) A B二 tr(A) =tr(B)= 3 a =1 b 1023 sJ1-20A =B-133 J=0b01-2a031a'b = -1(a=42ab =3= b=5P 235 0 0、J1 2 -3A =-13

23、=0 1 0+-12-3=E + CJ-231° 0 bJ-23r-123C =-12£=-1(1 -2 3)J-23<1C的特征值r = 2 = 0, '3=41. -0时(0E -C)x =0 的基础解系为 1 =(2,1,0)T2 =(-3,0,1)丁1. -5时(4E -C)x=0 的基础解系为 l =(-1,-1,1)丁'2-3 -r令 P=G，J，q)=10-1<01 1丿1、二 PAP =15丿(22)(本题满分11分)2 In 2,x>0设随机变量X的概率密度为f (x)=<，对X进行独立重复的观测10,x"

24、A的特征值 A C ：1,1,5第2个大于3的观测值出现时停止，记 Y为观测次数(I) 求Y的概率分布；，直到(II) 求 E(Y).17【答案】(I) PY = n严C：4p(1-p)(n -1)(-)2(-)心，n =2,3川| ；8 8(II) E(Y) =16.【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则p = p(X . 3)2in 2dx二丄，3 817从而 PY 二 n= C 爲 p(1-p )np 二(n -1)()2 ()n- , n=2,3，川 为 Y 的概率分布;(II)法一汾解法：将随机变量Y分解成Y=M N两个过程,其中M表示从1到n(n ： k)次试验观测值大于3首次发生，N表示从n 1次到第k试验观测值大于3首次发生.则 M Ge