2014真题及解析

1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.(1)设lim a.二a,且a =0,则当n充分大时有()lai(A) an2lai(B ) an c口2(C) an a -n1(D) an a -n(2)下列曲线有渐近线的是()(A)=x sin x(B)=x2 sin x(C)(D)I -6IJu+ - 1 二 x sinx2 * 1 y = x sinx设P(x)-ti+Ea + cx- +dx:,则当时，若P(x)_tanx是比0高阶的无穷小#则下列

2、诜项中错误的是(4)设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) = f (0)(1-x) f (1)x，则在区间0,1 上()(A) 当 f (x) 一0时，f (x) _g(x)(B) 当 f (x) _0时，f(x)乞 g(x)(C) 当 f (x)空0时，f(x) g(x)(D) 当 f (x) 0时，f (x) g(x)a b 0（5）行列式0 0bc d 000 d(A) (ad -be)22(B) -(ad -be)(C) a2d2 -b2e22 2 2 .2(D) b e -ad（6） 设ai, a , a均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组r k：3,：2丨匕线性无关是向量组

3、宀2,3 线性无关的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7） 设随机事件 A与B相互独立，且 P（ B） =0.5，P（A-B）=0.3，求P（ B-A ）=（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4X X（8） 设x1, X2,X3为来自正态总体 N（0,；2）的简单随机样本，则统计量2%2服从的分布为（A ） F（ 1,1）（B）F（ 2,1）（C）t（1）（D）t（2）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上.（9） 设某商品的需求函数为Q=40-2P （P为商品价格），则该商品的边际

4、收益为 。（10）设D是由曲线xy+1=0与直线y+x = 0及y=2围成的有界区域，则D的面积为 。a 2x1（11）设xe dx =，则 a =.匕411ex22（12）二次积分dy f （ey ）dx =.0Lyx22（13） 设二次型f（X1, X2,X3）=X1 X2+28X1X3 + 4X2X3的负惯性指数为1,则a的取值范围是 (14)设总体X的概率密度为f(x;力二i0:22，其中，是未知参数 其它X 1，X 2，,X n，为来自n总体x的简单样本，若c送xi2是e2的无偏估计，则 c =i 4三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字

5、说明、证明过程或 演算步骤.(15) (本题满分10分)x2C ) 1I t2 et -1 -t dt求极限limX一血21x2l n( 1+-)x(16) (本题满分10分)Ixdy.x sin(二x2y2) 设平面区域 D =(x,y)|1乞x2 y2辽4,x _0, y _0，计算 -D(17)(本题满分10分)：2：2设函数f(u)具有2阶连续导数，Z = f (ex cos y)满足 . Z - Zx2 x = 4(z e cosy)e2,右:xyf ( 0 0 ,耳0,)求f (u)的表达式。(18) (本题满分10分)QO求幕级数a (n 1)(n 3)xn的收敛域及和函数。n

6、(19) (本题满分10分)设函数f (x), g(x)在区间a,b上连续，且x(I) 0 乞 g(t)dt 沁一a,x a, b;Laa+fg(t)dtb(II) a f(x)dx f (x)g(x)dx.aaf (x)单调增加，0乞g(x)叮，证明:(20)(本题满分11分)设A = 01J 2求方程组Ax =0的一个基础解系;3-4-11, E为3阶单位矩阵。0-3丿求满足AB = E的所有矩阵B(21)(本题满分11分)证明n阶矩阵q 1 III pz00 川 1 1 1川1与0 0川2+PF+iT+b1-+44+Ff1 1川100川n相似。(22)(本题满分11分)设随机变量 X的概

7、率分布为 PX=1=PX=2=1，在给定2X =i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(O,i)(i =1,2)(1) 求Y的分布函数FY(y)(2) 求 EY(23)(本题满分11分)设随机变量X与Y的概率分布相同,X的概率分布为PX =0 =1,PX =1 且X与Y的相关系数33(1)X，Y )的概率分布(2)求 PX+Y 12014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)A(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A(7)(B)(8)(C)二、填空题:9

8、14小题,(9)dR=40 -4Pdp(10)3-In 221(11)a 二2(12)丄(e-1)2(13)每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.-2,2(14)25n三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)【答案】1x 21 t2(ex -1)-tdt limx J :In (1 -) x1(exx 2 x-1)1t2d1tdtlimx J :2二 lim x (e1)xx .令u，x则 lim x2(e-1)-xx-.eu -1 -u勺mr.eu -1 =limu0 2u(16)【答案】2士2丄

9、om廿01 :- cos):- sin rnCOS：0 cost sin 1=兀2ddcos1ji1ji3兀342cos0 cos： sin 二cos02c d十cos0 cos sin -cos2 cos dr(2 1) 0 cos/ sin r1 二2冲2 11JI2* cos二Eg )(17)汨_:xE【答案】f (ex cosy)ex cosy-2.xJE:yx、 2x 2x、 x=f (e cosy )e cos y f ( e cos y )e cosyf (ex cos y )ex( _sin y )宇二 f (ex cosy )e2x sin2 y f (excosy )ex(

10、cos y) y_22E - Ex2xx2x2 2 f (e cosy)e =(4E e cosy)e.x:yf (excosy) =4f(excosy) excosy令 ex cos y = u ,则 f (u) = 4f(u) u ,故 f (u) =Ge2u C2eu _u ,(G ,C2为任意常数)4由 f(0) =0,f (0)=0,得2u_2uf(u)1616(18)【答案】(n 2)(n4)胡,由limn 1)( n 3)得R =1qQqQ当 x=1 时，n，1)( n，3)发散，当 x = -1 时，( -1)n (n 1)( n 3)发散,故收敛域为(-1,1)。x = 0

11、时,n =0n =0 x、(n 1)( n 3)xn (n 3) (n 1)xndx) n =0n =0=0 (n 3)xn b =(1、(n 3)xn 2)n X n 1.： x1：-= ( ( (n 3)xn 2dx) =( xn3)x n =0 0x n=0= s(x)珂丄(各)=(31)=产命X 1 _X (1 _x) (1 _x)3 _xx = 0时，s( x) = 3，故和函数 s( x)亍，x ( T,1)(1x)XXxa0d2ag(t)dt E .a1dt,即(19)【答案】证明：1)因为0乞g (x )乞1，所以有定积分比较定理可知,x0 g(t )dt - x - a。a2)令xX 韦g(t)dt_F(x)= a f(t)g(t)dt_ a f(t)dtF(a) =0xF (x)二 f(x)g(x) 一 f a a9(t)dtg(x)= g(x) f(x) fa :g(t)dt x由 1)可知 a g( t )dt _ x a ,x所以 a 亠 i g( t )dt _ x。由f(x)是单调递增，可知f(x) - fa ；g(t)dt 一0由因为0X(x)叮，所以 F (x)_0.F(x)单调递增，所以F(