2012海淀一摸理数

1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)2012.04、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1 )已知集合A= xx>1， B = x x<m，且AU B= R，那么m的值可以是(A)- 1(B)0(C) 1(D)2(2)在等比数列an中，ai = 8,a4 =玄3玄5，则a7 =1(A)161(C)-41(D)-2(3)在极坐标系中，过点1(B)-8(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是2(A) sin = - 2(B)cos = - 2(C)sin = 2(D)cos = 2(4)已知向量a=(1， x)，b=(

2、-1,x)，若2a b与b垂直，则a(C) 2(D) 4(5)执行如图所示的程序框图，输出的 k值是(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7输出k(6)从甲、乙等个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是结束(A) 12(B) 24（D） 48（C） 362x ax, x（7 ）已知函数f（x）ax 1, x;若X1,X2R,xX2，使得f(Xj f(X2)成立，则实数a的取值范围是（A） a< 2（B）a >2（C） - 2< a< 2（D）a >2或 a< - 2(8)在正方体 ABCD- A'B'C'D'中，若点P

3、 (异于点B )是 棱上一点，则满足 BP与AC'所成的角为45°的点P的个数为(A)0( B)3(C)4( D)6、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上a+ 2i(9)复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a=.1- ix2y2(10 )过双曲线 - 二1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程916是.（11 ）若 tan =则 cos（2(12 )设某商品的需求函数为 Q = 100- 5P，其中Q, P分别表示需求量和价格， 如果商品 需求弹性EP大于1 (其中譽-2P，Q'是Q的导数)，则商品价格P的取值范围E(

4、13 )如图，以 ABC的边AB为直径的半圆交 AC于点D ,交 BC 于点 E , EFA AB 于点 F , AF = 3BF ,BE= 2EC= 2，那么 DCDE=, CD =.?1,x? Q,(14 )已知函数f (x)=点贝U?0,x?eRQ,I(i) f (f (x) =；(ii) 给出下列三个命题： 函数f(X)是偶函数； 存在x ? R(i 1,2,3)，使得以点(Xi, f (Xi)(i二1,2,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形； 存在Xj?R(i 1,2,3, 4)，使得以点(xi, f (xi)(i= 1,2,3, 4)为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是

5、.三、解答题：本大题共 6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15 )(本小题满分13分)在 ABC中，角A , B , C的对边分别为a,b,c 且A , B , C成等差数列(I)若 b = x 13 , a = 3，求 c 的值；PCD(n)设t sin Asin C，求t的最大值.(16) (本小题满分14分)在四棱锥 P- ABCD 中，AB CD , ABA AD ,AB= 4,AD = 2、_2,CD = 2 , PAA 平面 ABCD , PA= 4.(I)设平面 PAB I平面PCD m，求证：CD/ m ；V3 求 pq3 ， PB(n)求证：BD 平面P

6、AC ；(川)设点Q为线段PB上一点，且直线 QC与平面PAC所成角的正弦值为的值.(17) (本小题满分13分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成0,100，样本数据分组为0,20),频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是20,40) , 40,60) , 60,80) , 80,100.(I)求直方图中x的值；(n)如果上学所需时间不少于 1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；(川)从学校的新生中任选 4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为 X，求X的分布列和数学期望(以直方图中

7、新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)(18) (本小题满分13分)1 已知函数 f(x) e (x2 x ) (k 0).k(I)求f (x)的单调区间；2(n)是否存在实数 k,使得函数f(x)的极大值等于3e ?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由(19) (本小题满分13分)在平面直角坐标系 xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为人(1,0) , P为椭圆G的上顶点，且PFiO 45 .(I)求椭圆G的标准方程；(n)已知直线li : y kx mi与椭圆G交于A , B两点，直线l2: y kx m2 ( mi)与椭圆G交于C , D两

8、点，且| AB | | CD I，如图所示(i)证明：m1 m20 ;(ii)求四边形 ABCD的面积S的最大值(20) (本小题满分14分)1,x M,对于集合M ,定义函数fM(x)对于两个集合M , N ,定义集合1,x M .M N x fM (x) fN(x)1.已知 A= 2,4,6,8,10 , B= 1,2,4,8,16.(I)写出fA(1)和fB(1)的值，并用列举法写出集合 A B ；(n)用Card(M)表示有限集合 M所含元素的个数，求 Card (X A) Card (X B)的最 小值；(川)有多少个集合对(P, Q)，满足P,Q AU B，且(PA) (Q B)

9、A B ?海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理科)参考答案及评分标准2012 . 04(9)2(10)4x- 3y- 20= 0(12)(10,20)(13)603 1313（14）1.选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案DBACBDAB.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）解：（I）因为A,B,C成等差数列,所以2B因为所以因为313 ,2.分所以3c 4所以因为所以t2 2a= 3 , b a2accosB0

10、.1 （舍去）2sin Asi n( A)5分6分1sin A( cos A si nA)2 2空sin2A 1(1 C0S2A)4221142sin (2A因为0A237所以-2A666所以当2A，即A时，62310分t有最大值.413分(16) (本小题满分14分)(I)证明:因为 AB CD , CD平面PAB，AB 平面PAB，2.分4分则 B(4,0,0),P(0,0,4)D(0, 2 .2,0) , C(2, 2 &,0).所以CD/平面PAB.因为CD 平面PCD，平面PABI平面PCD m , 所以CD/ m.(n)证明：因为APA平面ABCD , ABA AD，所以以

11、A为坐标原点，AB,AD, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,5分所以uuur BD(4, 2,0),uuurAC (2, 2、2,0)uuuAP(0,0, 4),所以uuu BDuuurAC ( 4) 222 2-2 0 0uuur BDuuu AP(4) 0 2.20 0 4 0.所以BDAC , BDAP.0 ,因为 API AC A, AC 平面 PAC ,PA 平面PAC ,所以BD 平面PAC.9分PQ(川)解：设 = (其中0 #1), Q(x, y,z)，直线QC与平面PAC所成角为PBuuuruuu所以PQ= PB .所以(x, y, z- 4) =(4

12、,0, - 4).所以所以40,-4即 Q(4 ,0,-4 +4).+ 4,uuuCQ= (4由（n）知平面-2,- 2.2,- 4 + 4).11-分uuuPAC的一个法向量为BD ( 4,. 2,0).uuur uur CQ >BD uur_uutr , CQ ：<BD12分uuu uur因为 sin = cos< CQ,BD>4(42) 82 .6 , (42)2 8 ( 44)2解得右财.所以PQ = 7_PB = 1214分（17）（本小题满分13分）解：(I)由直方图可得：2.分20 x 0.025 200.0065 20 0.003 2 201.所以 x=

13、 0.0125.(n)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:4-分0.003 2 20 0.12,因为 600 0.1272，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.6分7.分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为P(X0)81256P(X1)2764'P(X2)C2盍P(X3)364'P(X4)1256X01234P812727312566412864256所以X的分布列为:12分EX 0 旦 1225664271283644 1 .(或 EX 4 -1 )2564所以X的数学期望为1.(18) (本小题满分13分)解：(I) f (X)的定义域为R .f

14、'(x)kex2kX(2x1)kx kx2(2 k)x 2,即 f '(x) e kx(kx2)(x1)(k 0).2.分(川)X的可能取值为0, 1 , 2 , 3 , 4.2 令f '(x)0 ,解得：x 1或x .k当k 2时，f'(x) 2e2x(x 1)20,故f(x)的单调递增区间是(-? ,?).3分当2 k 0时，f (x)， f '(x)随x的变化情况如下:x2 k(訂)1(1,)f '(x)00f(x)Z极大值极小值Z所以，函数f(x)的单调递增区间是(，2)和(1,)，单调递减区间是(2, 1).kk5分当k 2时,f (x

15、) , f '(x)随x的变化情况如下:x(,1)12匚牟)f'(x)00f(x)Z极大值极小值Z所以，函数f(x)的单调递增区间是(，1)和(2,)，单调递减区间是(1,2).kk7分(n)当 k =2-1时，f(x)的极大值等于3e .理由如下:2时，f(x)无极大值.k 0时，f (x)的极大值为f (2)k8分令 e2($ -) 3e2，即 $-k2 kk2 k3,解得 k 1 或 k £ (舍).39分ke 当k 2时，f(x)的极大值为f( 1).k10分因为k e e2, 011k2所以k e12e .k2因为1 2 e3e2,2所以2f (x)的极大值

16、不可能等于 3e综上所述，当k 1时，f (x)的极大值等于3e2.12-分13分(19)(本小题满分13分)2 2x y(I)解：设椭圆 G的标准方程为 21(a b 0).a b因为 F( 1,0) ,PF1O 45 ,所以b= c= 1.2 2 2所以 a = b + c = 2.2分2所以椭圆G的标准方程为y2 1.3分2设 A(X1, yj ,B(X2,y2), C(x3,y3), Dg M .(i)证明：由y kx m1,2x22 2 22 消去 y 得：(1 2k )x4kmx 2m1 2 0.y 1-则8(2k2m2 1)%x2x1x24km2m2 21 2k2 .5分所以|A

17、B|X2)2 (% y2)21k2。X2)24XX21 k2 / ET22k2同理因为所以因为所以2.2*1 kI 2k2 m2 11 2k22 , 2k2 m2 11 2k27分| AB| |CD |,2 2.1k22k2 m2 112k22丘下推rnf 11 2k2m1m2,m19分解:由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB,CD间的距离为d ,因为所以所以m|- m2m20,d = J1+ k210）分S | AB| d 2血1 k2J2k2 律 1十田1 2k21 k2(或 S4. 2V (2k22m1)m212k2,(2k21)m2404 222(1 2k)2 2 22k

18、 m 1 m21 2k222.2 2所以当2k 1 2mi时,4 2:2迈)四边形ABCD的面积S取得最大值为2、2.13-分(20)(本小题满分14分)解: (I)fA(1)=1 ,fB(1)=-1,AB1,6,10,16.3分(n )根据题意可知：对于集合C,X ,若a? C且 a? X ,则Card (C(X Ua)Card (CX)1;若a? C且a? X,则Card (C(X Ua)Card (CX)1.所以 要使Card (X A) Card (X B)的值最小，2，4，8 一定属于集合 X ； 1，6，10，16是否属于X不影响Card(X A) Card (X B)的值；集合X不能含有AU B之外的元 素 所以 当X为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，Card (X A) Card (X B)取到最小值4.8分(川)因为 A B x fA(x) fB(x)1,所以A B B A.由定