2006真题及解析

1、(3)(3) 广义积分(4)(4) 微分方程设函数yxdx增量，Vy与dy分别为2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题：1-61-6 小题，每小题 4 4 分，共 2424 分，请将答案写在答题纸指定位置上 (1)(1)曲线 y y _ _4sinx的水平渐近线方程为5x 2cos x-0(1 x2)2-y空色的通解是x-y(x)由方程y 1 xe，确定，则I0dxx-2 1(6)(6)设A, ,E为 2 2 阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E, ,则B1 2二、选择题：9-149-14 小题，每小题 4 4 分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题

2、目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内设函数y f (x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0, Vx为自变量x在点X。处的f (x)在点x0处对应增量与微分，若Vx 0，则()()(A)(A)连续的奇函数(C)(C)在x0间断的奇函数(B)(B)连续的偶函数(D)(D)在x0间断的偶函数设函数f (x),x 0 x0a,x 0在x 0处连续，则a(8(8) )(A)(A)0 dy Vy(C)(C)Vy dy 0设f(x)是奇函数，除(B)(B)0 Vy(D)(D)dy Vy0外处处连续,dyx 0是其第一类间断点，则(9(9) )设函数g(x)可微,h(x)e1g(x),h(1

3、) 1,g(1)2,则g(1)等于( (A)(A)ln3(10)(10)函数yxqec2e(B)(B)ln3 12xxxe满足的一个微分方程是(C)(C)ln2 1(D)(D)ln2 1(A)(A)yy 2y 3xex(B)(B)y y2y3ex(C)(C)yy 2y 3xex(D)(D)y y2y3ex(12)(12)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且y(x, y) 0,已知(xo, yo)是f (x, y)在约束条1(11)(11)设f (x, y)为连续函数，贝Ud f (r cos , rsin )rdr等于()()0 02-1 x1 221 x2(A)(A)dxf (x

4、, y)dy(B)(B)dxf(x, y)dy0 x0 02(C)(C)dyf (x, y)dx(D)(D)dyf (x,y)dx0y0 01(A)(A)C P AP.00，则()()1件(x, y) 0下的一个极值点，下列选项正确的是()()1得C，记P 001(B)(B)C PAP .(C)(C)CPTAP.(D)(D)C PAPT.三、解答题：1515- 2323 小题，共 9494 分. .请将解答写在答题纸指定的位置上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .(15)(15)(本题满分 1010 分) )试确定常数A,B,C的值，使得ex(1 Bx Cx2) 1 Ax o(x

5、3)，其中o(x3)是当3x 0时比x高阶的无穷小. .(A)(A)若fx(xo, yo)0,则fy(xo, yo)0(B)(B)若fx(Xo,yo)0,则fy(Xo,yo) o(C)(C)若fx(xo, yo)o,则fy(Xo, yo)0设1,2, L ,s均为n维列向量，A是m(A)(A)若1,2丄，s线性相关，则A1, A(B)(B)若1,2,L,s线性相关，则A1, A(C)(C)若1,2,L,s线性无关，则A1, A(D)(D)若1,2,L,s线性无关，则A1, A将A的第 2 2 行加到第 1 1(13(13) )2丄2丄2丄2丄(D)(D)若fx(xo,y。)o,贝Ufy(Xo,

6、yo)0n矩阵，下列选项正确的是 ()()s线性相关. .s线性相关. .s线性无关. .(14)(14)设A为 3 3 阶矩阵,行得B, 再将B的第 1 1列的-1-1 倍加到第 2 2 列dx(I)(I)验证f (u)f(u)0；u(II)(II)若f (1) 0, f (1) 1, ,求函数f(u)的表达式(21)(21)(本题满分1212 分) )已知曲线L的方程X t212,(t 0),y 4t t(I)(I)讨论L的凹凸性；(III)(III)求此切线与L( (对应xx0的部分) )及x轴所围成的平面图形的面积已知非齐次线性方程组xx2x3x41,ax-!3x25X3X41,有 3

7、 3 个线性无关的解冷3x3bx4(I)(I)证明此方程组系数矩阵A的秩r(A) 2; ;( (n) )求a,b的值及方程组的通解TT1,2, 1,20, 1,1是线(16)(16)(本题满分 1010 分) )xarcs inex(17)(17)(本题满分 1010 分) )设区域D ( x, y) | x22y 1,x0，计算一重积分11 xy22dxdyD1 x y(18)(18)(本题满分 1212 分) )设数列Xn满足0捲,xn 1sin xn(n1,2,L )(I)(I)证明lim xn存在，并求该极限；(I(II)I) 计算lim1xn 1恳nnXn(19)(19) ( (本题

8、满分 1010 分) )证明：当0 a b时，bsinb 2cosb b a si na 2cosa a. .(20)(20) ( (本题满分 1212 分) )_ 2 2设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且Z f x2y2满足等式一占-4 0 x y(II)(II)过点(1,0)引L的切线，求切点(Xo,y。)，并写出切线的方程(22)(22)(本题满分 9 9 分) )(23)(23)(本题满分 9 9 分) )设 3 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,3,向量 性方程组Ax 0的两个解(I)(I) 求A的特征值与特征向量；(II)(II) 求正交矩阵Q和对角矩阵 ，使得QT

9、AQ-无穷小量与有界函数的乘积是无穷小2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题1【答案】y 5【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质 量”可知注：0型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换sinx2: x200时-为无穷小量,x14sin xxlim1 0 x5 01limx52cosx5xlimy limx 4sinxx x5x 2cos xsinx，cosx均为有界量. .故,y-是水平渐近线5sint23I叫f (x)洛limsin(x2)x 03x2limx 03x2【答案】12【详解】 由已知条件BA B 2E变形得，BA 2E BB(A E) 2E

10、, ,两边取行列其中，A E因此，B2 1 101 2 0 12E 22E 4f (x)0,贝y f (x)是凹函数，又【详解】xdx1dx21110(1 x2)220(1 x2)22 1x02x【答案】Cxe. .【详解】分离变量，dy y(1 x)dy(1 x)dxdy(丄1)dx史丄dx dxdxxyxyxy xln yln xx cxIn y In xxceeyCxe【答案】e【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数在原方程中令x 0y(0)1. .将方程两边对x求导得yeyxeyy，令x 0得y (0) e【答案】2式，得B(A E) 2E 4 E 4二、选择题【答案】A【

11、详解】方法 1 1: 图示法. .因为f (x)0,贝U f(x)严格单调增加；因为2Vx 0,画f(x) x的图形Ay结合图形分析，就可以明显得出结论：0 dy Vy. .方法 2 2：用两次拉格朗日中值定理Vy dy f (XoVx) f(x。)f ( )Vxf (Xo)Vx(x)Vx( (前两项用拉氏定理) )( (再用一次拉氏定理) )由于方法 3 3：x)Vx, ,dy o. .f ()(f (x)0,从而Vy用拉格朗日余项一阶泰勒公式其中XoXo又由于dy f (x0)Vx. .泰勒公式：Vx,Xo0,故选A其中f(x) f (xo) f (xo)(x xo)f(Xo)(x xo)

12、22!(n 1)(n),f(Xo)(xn!Xo)Rn，Rn(n 1)!(Xo)n(x人)此时n取 1 1 代入，可得dy f (xox) f (xo) f (xo)(x)2又由dyf (Xo)o，选(A). .(8)(8)【答案】( (B) )【详解】方法 1 1：赋值法特殊选取f(x)1,0,1,00，满足所有条件，则x,它是连续的偶函数. .因此,o选( (B) )x,方法 2 2:显然f (x)在任意区间a,b上可积，于是记F(x)o f (t)dt处处连续，又XF( x)of(t)dt即F (x)为偶函数选( (B).).Xs t0f( t)dtx0f(s)dsF(x)(9)(9)【答

13、案】( (C) )【详解】 利用复合函数求导法h(x)e1 g(x)两边对x求导h (x) g (x)e1 g(x)1将x 1代入上式，12e1 g(1)g(1) In 1 In 2 1. .故选( (C).).2-.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,4可以看出，直角坐标的积分范围(注意2yD:0 y ,y2x与x2y2画出积分区间，结合图形1在第一象限的交点是所以，原式2dy01yf(x,y)dx. .因此选(C)【详解】方法 1 1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知(x(),y0) 0，由(x,y) 0，在(x0, y0)邻域，可确定隐函数y y(x)，满足y(x0)dydx(X0

14、,y)是f (x, y)在条件(x, y) 0下的f (x, y(x)的极值点。它的必要条件是f (x0, y)f(x, y) dy个极值点xdzdxx X0dxx0fx(x), y)fy(X0, y)fx% y)fy(x, y)0( (否则方法 2 2:用拉格朗日乘子法. .引入函数fx(x),yo)fy(), y)xXy。)yXy。)x(x,y)0,因此不选(A)，(B). .dzdxx0 x00).).因此选(D)F(x,y,)f (x,y)(x, y)，有齐次方1 1 和-2-2，于是特征方程为(1)( 2)20,对应的齐次xex代入方程(10)(10)【答案】( (C) )【详解】题

15、目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项因为y Gexc?e2xxex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的微分方程为y y -2y0所以不选( (A) )与( (B) ),为了确定是( (C) )还是( (D) )，只要将特解y计算得(y ) (y ) -2y3ex，故选( (D).).(11)(11)【答案】(C)i【详解】记4d f (r cos ,rsin )rdr f(x, y)dxdy，则区域D的极坐标表示是:D(12)(12)【答案】Dy。，Fxfx(x,y)x(x,y) 0

16、(1)Fyfy(x,y)y(x,y) 0 (2)F (x,y)0因为y( xo, yo)0,所以yX %，代入得y(Xo,yo) /、fy(Xo, yo)x(Xo,y。)fx(xo,y。)y(xo,yo)若fx(xo, yo) 0,则fy(xo, yo) 0,选(D)(13)(13)【答案】A A【详解】方法 1 1：若1,2,L ,s线性相关，则由线性相关定义存在不全为0的数ki,k2,L ,ks使得k1 1k2 2Lks s0为了得到A1, A2,L , As的形式，用A左乘等式两边，得k,A1k2A2LksAs0于是存在不全为0的数k1,k2,L ,ks使得成立，所以A1,A2,L ,A

17、s线性相关方法2:如果用秩来解，则更加简单明了只要熟悉两个基本性质，它们是：1.1.1,2,L ,s线性相关r(1,2,L ,s) s； 2.2.r(AB) r(B). . 矩阵(A1,A2,L ,As) A(1,2,L ,s)，设B (1,2,L ,s)，则由r(AB) r(B)得r(A1, A2,L , As) r(1,2,L ,s) s. .所以答案应该为( (A).).(14)(14)【答案】B【详解】用初等矩阵在乘法中的作用( (矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换) )得出110将A的第 2 2 行加到第 1 1 行得B，即B 01 0A记PA00111 0将B

18、的第 1 1 列的-1-1 倍加到第 2 2 列得C，即CB01 0记BQ00 1将ex1 x1 (B 1)x (C B -)x22o(x3)1 Ax o(x3)xm01 3B 6C611 0110因为PQ 01 0010E，故Q P1EP100 1001从而C BQBP1PAP1， 故选( (B).).三、解答题(15)(15)【详解】方法 1 1:用泰勒公式23X X3o(x3)代入题设等式整理得2 6B1A比较两边同次幂函数得CB10，由此可解得A 1，B2，C12336B1一C026方法 2 2：用洛必达法则. .由ex1BxCx21 Axo(x3),(x0)(记)ex1Bx Cx21

19、 AxJx叫3-0ex(1 Bx Cx2) ex(B 2Cx) A lim厂x03x2要求分子极限为 0 0,即1 B A 0,否则Jex(1 Bx Cx2) 2ex(B 2Cx) 2exC J limx06x要求分子极限为 0 0,即卩1 2B 2C 0，否则Jex(1 Bx Cx2) 3ex(B 2Cx) 6exC61 3B 6C 0所以解得(16(16所以xarcs in edx1arcs in td (-)tarcsint令.1 t2xarcs in exe dx= =xarcs in e2xe2xedex令extarcsin t2dtarcsi ntdt2t2厂t2arcsi nta

20、rcsi nt 2lnltJ. xarcs in e ,dxxarcsi ne(17)(17)【详解】积分区域对称于dtarcsin tt 1 t2arcsintdu2u uarcsin t丄ln_tdt_ t2、1 t2d(1 t2)duu21t2x轴，x2y一y为y的奇函数,1 x y1 B A 01 2B 2C 01 3B 6C 0【详解】题目考察不定积分的计算，利用变量替换和分部积分的方法计算xy从而知2dxdy 0D1 x ytC所以dxdy极坐标1 x y0+dr列(1 r2)0-l n22(18)(18)【详解】(I)(I)由于0 x时，0 si nx x，于是0 Xn 1si

21、nXnXn, ,说明数列xn单调减少且xn0. .由单调有界准则知lim xn存在. .记为A. .n递推公式两边取极限得A sin代A 01sin xn=(II)(II)原式=lim( -)n，为1”型. .nX-因为离散型不能直接用洛必达法则,1先考虑lim（平广sint：怦匚）.1 | ,sintlim ln( )J0t2te11 (tcost si nt)limg gt 02t sintt2e -tcost sintlimt 02t3ecost tsint costsintlim2limt06tt 06tee1xn1 7sin x,所以lim(亠)n=lim(-n乂n乂nn、n丄11x

22、2sin x p6)n=lim( )xe6x 0 x(19)(19)【详解】令 f f (x)(x) xsinxxsinx 2cos2cos x x时，f（x）单调增加俨格）f (x) sin x xcos x 2sin xx cosxsin xf (x) cosx xsinx cosxxsin xf（x）单调减少（严格），又f ( ) cos0，故0 x时f (X)0，则f（x）单调增加 （严格）由b a有f (b) f (a)得证（2020）【详解】（I I）由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了同理 i 7 x x7?y22zf- X22yxf222xxy2f-

23、x22yxf22xy22zfx22yf2r xy22yxy222x2 23 2x y又因为f(1)0,所以c20,得f(u)2t2tdyd2yddx 1dx2dt dxt22tt3(t所以曲线(I(I切线方程为4t。t：dt0处是凸的1 (x 1)，设xto1，y。4t0t2，t01(t；2),4t；2)22 _代入 _ _z zo,得f、.7xy所以f (u)丄凹0成立u(II)(II)令f (u)p于是上述方程成为即In p In u c,所以f (u)因为f (1)1，所以c 1，得(21)(21)【详解】方法 1 1:计算该参数方程的各阶导数如下dx恳得t2t020,(t01)(t02

24、)0 Qt00t01所以，切点为(2(2, 3)3)，切线方程为yx 1(III)(III)设 L L 的方程x g(y)，贝US3g(y) (y01)dy由t24t y 0解出t 2 x 4 y得x 2x4- 2y 1由于点- -(2(2, 3)3)在 L L 上，由y 3得x2,可知x22、4 y1 g(y)333所以S9 y 44 y(y 1) dy(10 2y)dy4.4 ydy2yf (jx2y)0，22 Xydp-，则dpduc，duupucP -uf(u)In uQIn u3(10y y2)：4 7yd(40y) 2141(43y)20方法 2 2： (I)(I)解出yy(x):

25、由t , x 1(x 1)代入y得y曰dy疋-dx3(x 1)。0 (x 1)曲线L是凸的(II)(II)L上任意点(x0,y0)处的切线方程是y y021叫小其中X。1( (X。1时不合题意).).令x1, y 0,得4 x= 2、1X11 ( 1 X)dx 1令t0订x 1，得4t怙？(1)( 2 t02). .t其余同方法 1 1,得t011111(22)(22)【详解】(1)(1)系数矩阵A 4351未知量的个数为n 4，且又AX b有二个a13 b线性无关解，设1,2,3是方程组的 3 3 个线性无关的解，则2 1,3 1是AX 0的两 个线性无关的解因为2 1,3 1线性无关又是齐次方程的解，于是AX 0的基础解 系中解的个数不少于 2,2,得4 r(A) 2, ,从