2007真题及解析

1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题只有一个一、选择题：1L 10小题，每小题 4分，共40分，下列每题给出的四个选项中, 选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当Xr 0 时，与-X等价的无穷小量是()A.1 -e x1+x B. l n1 - . xC., 1- x -1 D. 1- co.sx的上、下半圆x:0 f(t)dt,则1函数心)二© e)tanx在丨_二，二上的第一类间断点是x=()x(e"-e)A. 0B.1JIc.TtD.-22(3)如图，连续函数y二f(x)在区间1-321,1.2,3 1上的图形分别是直径为周,在区间

2、-2,0 1, 0,2 1上的图形分别是直径为 2的上、下半圆周设F(x)下列结论正确的是()443 5C.F(-3)F(2) D.F(-3) F(£)4 4(4)设函数f (x)在X=0连续，则下列命题错误的是 ()A.若 lim f (x)存在，则 f (0) - 0 XT xC.若limx 0丄存在，则f (0)存在B.若 limf(x) f(x)存在,xxD.若lim心)")存在,x 0则 f (0) = 0则(0)存在 曲线丫二1"n(1 ex)渐近线的条数为()xA. 0B.1C.2D.3 设函数f(x)在(0,：)上具有二阶导数，且f (x) 0，令

3、un = f( n)(n =1,2,川)，则下列结论正确的是()A.若 u1u2，则 tuj必收敛B.若U1AU2，则(uj必发散C.若U1 : U2，则：Un必收敛D.若U1 ：U2，则 S 必发散二元函数f (x, y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是(A.(x胆,o)If(x,y) f(o,o)】 = oB.lim'f(x-f(0.0且 lim'f(0，yf(0,0)x )0xy )o-0C.lim %八 f(0,0)L°(x,y)_(0,0)22D.lxmo f；(x,o) f(0,0) = 0 且 四fy'(0, y) f；(0,0) =0(8)

4、设函数f (x,y)连续，则二次积分1 JTA冷十幕("皿1兀七resin yC. pdy 二 f(x,y)dx2H 1dxS. f (x,y)dy 等于() si nx21兀B. ody.yesinyfXyMX1n-aresin yD. ody f(x,y)dx02(9)设向量组12,3线性无关，则下列向量组线性相关的是()A. - ：22 -3,3 - >1B.2 *12 *33 *1C. ： 1 一2： 2, ： 2 一2： 3, ： 3 一2： 1 D. ： 1 2 ： 2, ： 2 2 ： 3, ： 3 2 :2 -1设矩阵A=|12_1 _1-110-1，B=012

5、 一卫0010 ，贝U A与B(A.合同，且相似B.合同，但不相似、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)arcta nx s in x limx0x3(12)2cost cos t ,亠 -曲线上对应于t的点处的法线斜率为4y =1 sint(13)1设函数"尹，则严°)(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2 xy4y ' 3y =2e的通解为y二(15)设f(u,v)是二元可微函数，f (-,-),则x空一 y=x yexcy广00(16)设矩阵A =0<0贝V A3的秩为三、解答题：17- 24小题，共86分.

6、请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本题满分10分)设f (x)是区间0,上的单调、可导函数，且满足4其中f °是f的反函数，求f (x).f (x)10 f (t)dt 二空皿dt0 sint cost(18)(本题满分11分)x设D是位于曲线y = ： xa 2a (a 1,0 _ x ：)下方、x轴上方的无界区域(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V a ;(II) 当a为何值时，V a最小？并求出最小值.(19)(本题满分11分)求微分方程y(xy') = y 满足初始条件y(1)=y (1)=1的特解.(20)(

7、本题满分10分)已知函数f(u)具有二阶导数，且f(0)=1，函数y = y(x)由方程y-xey=1所确定.dZ|d z设 z = f (ln y sin x)，求|x, xa .dxdx(21)(本题满分11分)设函数f(x)，g(x)在la,b 1上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a) = g(a),f (b) = g(b)，证明：存在红(a,b),使得f唯)=g W)(22)(本题满分11分)2x ,xf设二元函数f (x, y)=丿11c|x +|y 兰 2Qy2'计算二重积分JJf(x,y)d仃，其中D(x,y)|x+|y兰2>D(23)(本题满

8、分11分)fX1 +X2 +X3 =0设线性方程组x1 2x2 ax 0(1)2凶 +4x2 +a x3 =0与方程x1 2x2 x3 二 a -1(2)有公共解，求a得值及所有公共解.(24)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵 A的特征值1 =1,'2 =2,匕二2,1 =(1,-1,1)丁是A的属于的一 个特征向量记B二A' -4A3 E ,其中E为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题【答案】B【详解】1 2 x, x; 1cosx 二 2sin2 20时

9、，此时方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当x > 0时,ex _1 L x; 一 FT -1o,所以 ie" u（-7）； Ji + 仮_i_ 舟仮；icosTL 1 （仮）2,可以排除A、C、D，所以选（B）.方法2：1 -、X 、X X1 - /x= ln1当 X)0 时，1 - , X > 1,0，又因为Xr 0时,ln 1 x L x，所以ln1X匸x Xx1 - . X 1 - X、X = X X 1 '、X，选(B).方法3：洛1-、X ( 1 X )1 X 1 - ； X 二 limX 0 12冬1 - . x1 X=lim x0 '1

10、 -X 亠 一1 1 X2(x2 - x 2、，x 1 - x =lim -2 x 2、x 1 -x a 设x 0 - B_，则 A 1 - , x B 1 x =4x 2 上-2x.X1 x 1 - . X 1 x 1 -.X对应系数相等得：A =2”/x, B = 1，所以= lim 玉xT 1 x2仮(2坂+1 -x)原式二lim 一-xT 十(1+x)(1-Jx )二 lim lim 一1 _ = 0 1 = 1，选(B).x0 1 x0 1 - x【答案】(A【详解】首先找出 f (x)的所有不连续点，然后考虑f(x)在间断点处的极限f (x)的不连续点为 0、1、JT一，2第一类间

11、断点包括可去间断点及跳跃间断点逐个考虑各个选项即可对A:1(ex e) ta n x lim f (x) = lim 产x_0 x_0 _x(ex e)1ex +e=lim 彳 limX )0 丄ex eJ.e(1 e x)彳1 1,x_0 1-1e(1-e x)1(ex e) tan x lim f (x)二 lim厂x )0x_01x(ex e)lim ex+eI f 11ex+e二 lim 1x刃一丄ex elim ex ef (x)在x = 0存在左右极限，但【详解】由题给条件知，f (x)为x的奇函数，则f(-x)二-f (x)，由 F(x)(t)dt, 知F(-x) = J0 f

12、(t)dt令t = -u，0 f (-u)d (-u)因为f (一u) = -f(u) ,0 f(u)du二 F(x)，故F(x)为x的偶函数，所以F (-3) = F.!im+f(x)Hximf(x)，所以 x=° 是 f(x)的第一类间断点，选(A)；同样，可验证其余选项是第二类间断点，lim f x , lim f x二 yF(3)二的负值，所以所以所以20 f (t)dt表示半径2f(t)dt° f (t)dt二 r232 f(t)dt =22R=1的半圆的面积，所以F(2)=.°33,2 f(t)dt，其中,2 f(t)dt表示半径2F(3)°

13、 f(t)dt 2 f(t)dt 匕F ( -3) = F (3) = 3 F (2)，选择 C42: R2:2 一 2 '1r 的半圆的面积232884 2=4F【答案】C(4)【答案】(D)【详解】方法1：论证法，证明 AB.C都正确，从而只有 D.不正确由lim凹存在及f(x)在x = 0处连续，所以 X】0 xf (0) = lim f (x) =|叫(丄乂)= 1imf(x) lim 0 1imf(x)二 0，所以(A)正确;由选项(A)知，f(0) = 0,所以limf(x)=|imf(x)存在，根据导数定义，T X_07 xf '(0) = limd 型 存在，所

14、以(C)也正确；x_0x-0由f (x)在X = 0处连续，所以f (_x)在X = 0处连续，从而I叫 I f (x) f (-x) 1 = I叫 f (x) l叫 f (-x) = f (0) f (0) = 2 f (0)f(x) f (一x). f (x) f(x)f(x) f(x)门所以 2f(0)=lim.x = limlimx = 0 lim0丨xTXT7x即有f(0) =0.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确.例如取f(x) = X，有.f(x)f(x)|x|x|lim =lim= 0 存在xox _ 0x_oxlimf x -f 0-lim

15、x Q- X _0lim -x7 'f X -f 0x 0-lim 口x°_x _0左右极限存在但不相等，所以f(X)= X在X = 0的导数f '(0)不存在.(D)不正确，选(D).(5)【答案】D【详解】因为y叫HXXe + X z( In +|卜1哩丄+哩n(1十)=閃,丿 xT x T所以x = 0是一条铅直渐近线;门)1因为 xm 厂xm ； 1 n(i eX)pm以 xmn( 1 小°,所以y = 0是沿x 、方向的一条水平渐近线;-limln(1exl i mXfxxr：x： ： x=lim - lim ln(1eX)X : xx_J :1e

16、x洛必达法则0 lim =二1X门：1:im1X r： xb = limyax = l iJF x 41=lim lim In(1ex) -x x In ex 0 lim In(1ex) - In exX r： ： x xx1 - ex所以=x是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)Jim In( _) = Jim In(e1) = 1 n1 =0【答案】(D)【详解】Un =f(n)，由拉格朗日中值定理，有Un 1 - Un = f (n 1) - f (n)二 f 'n)(n T - n)二 f '( ；),( n =1,21()， 其中n :：: n < n 1，

17、12汕： n汕I.由f ”(X)7,知f '(X)严格单调增，故f '( 1厂：f '( 2)汕卜 f '( nPHI.若 U1 < U2，则 f '( 1) =U2 -U10,所以 0 ： f '( 1)： f'( J 叮 1( : f '( nBHI.nnUn 1 =5 ' (Uk 1 -山)=5、 f '( Q 5 nf'( 1).k=1k=1而f'(J是一个确定的正数.于是推知lim Un故fun?发散.选(D) 【答案】(C)【详解】一般提到的全微分存在的一个充分条件是：设函数f(x

18、, y)在点X), y0处存在全微分，但题设的 AB.C.D .中没有一个能推出上述充分条件，所以改用全微分的定义检查之 全微分的定义是：设f(x,y)在点/，丫。的某领域内有定义，且f(x,y)在点y。处的全增量可以写成fx, y y - f x0, y0A x B yi,其中A, B为与x, ®无关的常数，P = J(Ax )亠+(与$，憾o)= 0，则称f (x, y)在点(x0, y0 )处可微，A x B ：y称为f(x, y)在点x°, y°处的全微分，对照此定义，就可解决本题.选项A.相当于已知f (x, y)在点(0,0)处连续；选项 B.相当于已

19、知两个一阶偏导数fx 0,0，f/ 0,0存在，因此 A B.均不能保证f (x,y)在点(0,0)处可微.选项D.相当于已知两个一阶偏导数fx，0,0 ， f0,0存在，但不能推导出两个一阶偏导函数f/ x,y， f/ x,y在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x,y)在点(0,0)处可微.由 C,xy)%f(x,y) f(0,0) 1二0，推知f (x, y) - f (0,0)x2y20 x 0 y oC"),其中 t 二 x2y2，o( )1叫lim°= 0 .对照全微分定义,相当于x0 = 0, y0 二 0, ：x = x, ：y = y, A = 0, B

20、 = 0.可见f (x, y)在(0,0)点可微，故选择(C).(8)【答案】(B)【详解】画出该二次积分所对应的积分区域D :x : ,sin x _ y _ 12交换为先x后y，则积分区域可化为：0乞y乞1,禦一arcsin y乞x乞二兀 11H所以 匸dxsinxf(x,y)dy 二 °dy 计 f (x,y)dx，所以选择(B).2(9)【答案】A【详解】方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数k1, k2, k3，使得kr1k 2 k33 = 0成立，则称r,-,线性相关因(1 -2厂2 - ： 3)3 -1)=0,故 >1 -2,2 -3,3 -1 线性相关，

21、所以选择(A).方法2：排除法因为>1 *22匕3：1"01、Z1 0 1 A=（%,。203 ）1 1 0=（a 1,ct2,a3 ）C2,其中 C2 1 1 01° 1 b1° 1 b101101且 |C2 =1101行汉（一1）+2行01-1=（-1严1-11 1011011=1 1 一1 （一 1）=. 2 = 0.故C2是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,C2右乘亠，2，3时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r（1 *2, >2*3,3 *1）=r（1,2, >3）=31厂2,所以，>1比2,

22、>2 *3,3 *1线性无关，排除（B）.因为 i：対一2二2,二2 -2二3,二3 -2环广10-2 '广10-2、-210（a123 JC3 ,其中C3 =-2101°-21 >1°-21pm 3-21行 2+2行=（-1）1 卅-2-2=1 1 -（ 2） （ -4） =-7=0.故C3是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,C3右乘:时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r（： 1 -2： 2,： 2 一2： 3, ： 3 一2： 1）= r（： 1,： 2,： 3） =3所以,-2 , >2 -233 -2：

23、线性无关，排除（C）.因为2-2/-2 - 2-3/-3 - 2：q02、 ,q0=（«123 ）210=（°1,°2,°3 G,其中 C4 =210<021<0211021021 -42 1C4=2101行 x(2)+2行01-4(1)021021=1 1 一2 ( 4) = 9 = 0.C4右乘故C4是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r(： 1 2： 2C22： 3, ： 32： 1) = r (： 1, ： 2, ： 3) = 3所以,>12-2 2 2 3-

24、 3 2 1 线性无关，排除(D).综上知应选(A).(10)【答案】B【详解】1 行(-1)+3行111九-300人-30=(-1)叫0 扎-300丸3-3=0Z-211几11方法1：人E -A=1人212、3列分别加到1列几九一2111Z-2几1丸21111 11提出九九1九-211行(一1)+2行九0九-3011人-21 1九一2则A的特征值为3, 3，0; B是对角阵，对应元素即是的特征值，则B的特征值为A与 B不相似.1，1，0.代B的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知,由代B的特征值可知，代B的正惯性指数都是2,又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有

25、相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A与B合同，应选(B).方法2:因为迹(A)=2+2+2=6，迹(B)=1 +仁2 = 6，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件).又XEA=(3)，九E B=(1)，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同.、填空题(11)【答案】-6【详解】由洛必达法则,12 - COSX arctanx - sinx 01 x237 呵2 23x 1 x21 - 1 x cosx(12)【答案】1.2【详解】dydxdy dtdx dt1 sint2 cost cos tcost-sin t - 2sin t cost把t 代入,4dy

26、dx11 -2所以法线斜率为1 .2.x0 x 0 3x(-1)n2n n!(13)【答案】14【详解】y2x 3,2x+3-1-d¥-4-1y(-1) 2x 3 2x =(-1) 1! 2 2x 3,y J(-1) (-2) 22 2x 3 1)22! 22 2x 3 宀川1,由数学归纳法可知y=(-1)n2nn! 2x 3 J,n n y%) =(Y) 2 n!3n 1(14)【答案】Gex(2e3x-2e2x【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f x是Pm x e x型(其中Fm x =2, = a所给方程对应的齐次方程为y-4y：3y=0，它的特征方程为r2-4r

27、，3 = 0,得特由于这里 =2不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为y=A*所以 y*；=：2Ae2x， yj =4Ae2x，代入原方程：4Ae2x-4 2Ae2x 3Ae2x =2e2x，*2xx3x2x则A=-2，所以y - _2e故得原方程的通解为 y = Ge C?e -2e .y ' x '(15)【答案】2(fi - f2)x y【详解】匸=f:x11. f2.x一 1 斗 x=f1 + f2 - 2x1 y丿1.11 :.:zf?'丄,y2 x1:x；z-y+所以 x 二 - y = x dxdyx2丿f2'_ 2xf2'1y

28、 x+ - f2)y(16)【答案】1【详解】Z0 1 0 0广0 1 00、"0010、20 0 100 0 100 0 0 1A =0 0 0 10 0 0 10 0 0 0,0 0 0 0 丿(0 0 0 0 丿e 0 0 0 丿巾0 1 0入0100、巾 0 0 1、0 0 0 10 0 100 0 0 0A = A2 A =0 0 0 00 0 0 10 0 0 02 0 0 0丿<0000 J<0 0 0 0 >由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知r A3 =1.三、解答题.(17)【分析】本题要求函数详解式，已知条件当中关于函

29、数有关的式子只有这是一个带有积分符号的式子,f (x)1 f (t)dt【详解】方程.0f(x)i,、， x cost - sint ,0 f(t)dt=°tdt,00 sint cost如果想求出函数的详解式，首先要去掉积分符号，即求导二xtc°st sint dt两边对x求导，得sint costcosx-s inxcosxsi nx二 x，即 xf (x)二 xsinx cosxsin x cosxcosx -s in xx，得f (x)，所以sin x + cosxd(si nx + cosx) ,.=In sin x + cosx + CL sin x+cosxf

30、(t)dt =0.因f(x)是0,上的单调可导函数,4当X = 0时，对上式两边同时除以cosx -sinx , f (x)dx 二sin x + cosxf(0)在已知等式中令x=0，得0f(t)的值域为0,，它是单调非负的，故必有 f(0) =0，从而两边对上式取 X； 0 极限4lim f(x) = f(0) =C 二0x )0 f(x)=ln sinx+cosx，因为 xe0,，故 f(x) = ln(sin x + cosx),x 0, 44(18)x【详解】(I) V( a)=兀广xsfQO/X 叫Xda丿d-ln aXQO i1(n) V a 珂二aHln axxa'l-

31、bea+nln aa adx =0、2 aIlna=na4a2aln2a -a2L2I na,22 a l hb _ a3 2 ln aa I na - 1ln3a令 V a =0，得 ln a =1,从而 a 二 e 当 1 ： a ： e 时，V ' a < 0 , V a 单调减少;当a e时，V a 0 , V a单调增加.所以a = e时V最小，最小体积为Vmin a =二e2 (19)【详解】令yp，则y：p；原方程化为p(x，p2) = p.x1两边同时除以pp，得 p =pp"将p詈带入上式，得汁p 按一阶线性方程求导公式，得带入初始条件得C = 0,

32、于是 p? = x 由dx2 - 12 - 1解得y xdxy C!，带入初始条件得 C,，所以特解为y x2 - 3 333(20)【详解】在y xey丄=1中，令x =0，得y =1，即y(0) =1y-xey，=1 两边对 x 求导，得 y"-(xey°)= 0 = y"-xey-x(ey)= 0= y -eyxey= 0 ( y = y(x)是x的函数，故eyJ是关于x的复合函数，在求导时要 用复合函数求导的法则)=2y y"ey，=0(*)(由 yxey'=1 知，xey二 y1，把它代入)在(*)中令 x =0，由 x = 0, y

33、=1，得 y" x=0 =1在(*)两边求导，得(2 -y)y F-y* -£7=0.令 x = 0，由 x =0y =1 y 1 得，y" x=0 =2因为z = f (In y -sin x)，令u =1 n y - sin x ,根据复合函数的求导法则，(*)dzdz；:udz；:udy_dz1.把以上两式代入(*)中，f (u) cosx) f (u) yT_1 ITTdxdu；:xdu:ydx在u = ln y -sin x中把x, y看成独立的变量，两边关于x求导，得ux二- cosx1在u = In y -sinx中把x, y看成独立的变量，两边关于

34、y求导，得uy即dz d x比=f "( I ny - si (- yex) s*)把 x =0, y =1, / -1 代入(*)，得dzdx-f (In1 -sin0)(】-cos0) =0x£1ysin x)( - cosx)y在(*)左右两端关于x求导，2 - d z . ydx2f (In y -sin x) ( cosx) f (In y - y根据复合函数的求导法则 竺二空.兰竺卫 3，有dx du ex du cy dxf (lny sinx) = f (Iny sinx)(cosx) f (lnysinx) = f (lnysinx)( cosx) yy2

35、(y 、 /yy y .( cosx) ( )(cosx)2sinxyyy yd 2f一2I* =f (ln y -sinx)(y cosx)2 f (ln y - sinx) -sinxdxyIL y y把x二0,y二1,y二1,y二2代入上式，得二 f (In1sin0)(】cos0)2 dx1+ f (In1 sin0)卡+彳+sin0= f'(0)(21)=1Li(21)【详解】欲证明存在(a, b)使得f ()二g ()，可构造函数:(f (x), g(x) = 0 ,从而使用介值定理、微分中值定理等证明之令(x) = f(x)-g(x)，由题设f (x),g(x)存在相等的

36、最大值，设x, (a,b)， x2 (a,b)使得 f(N)=maxf(x)=g(x2)=maxg(x).于是申伪)"化)-g(x)兰0，砕化)=伦2)-g(x?)M0 a.ba.b若：(X1)=0，则取=X1 (a,b)有()=0.若：(X2)=0，则取=X2 (a,b)有;:()=0.若，(X1) 0,(X2)： 0，则由连续函数介值定理知，存在(捲公2)使：() = 0.不论以上哪种情况，总存在 (a,b),使:()=0.再(a) = f (a) -g(a) =0(b)二 f(b) -g(b) =0,将(x)在区间a, , ,b分别应用罗尔定理，得存在 1 (a, ), ( ,

37、b),使得-(0, - ( 20 ;再由罗尔定理知，存在 ( 1, 2),使'()=0.即有 f ( ) =g ().(22)【详解】记 Di =(x,y)|x| +|y 兰 1,D2x, y)1c|x +|y 兰 2则Di f (x, y)d 存=H f(x, y)d + n f (X, y)d =府苗 + 口2 d<i DD1D2D1D2 x y再记；=(x, y) 0 兰x + y 兰1,x K0,y Zo，a2 =(x, y) 1 兰 x + y 兰 2,x K 0,y HO2 1由于D1与D2都与x轴对称，也都与 y轴对称，函数x与=都是x的偶函数,Jx=4 dr co

38、s1''sidr =4 j +y2也都是y的偶函数，所以由区域对称性和被积函数的奇偶性有2211 A 2iix2d；丁 = 4 iix2dr = 4 °dx 0 x2dyD1门121231= 4oX(1-x)dx=4o(x -x)dx=?ji.则x 1化为1 111 .d ；- 4 11=d匚.-2 2 2 2D2 x y匚 x y对第二个积分采用极坐标，令x = rcos y = rsin v ,0 ： vr =, x y = 2 化为 r =,cos 日 +sinBcos 日 +si n 日2cos sin i 1cos曰是,1丑d二=4 2d，' 厂2匚

39、2$0JD2 ,x y' sin '1r cos J)2 (r sin v)2rdr1cost sinTd 丁 - 4 2:仁 2cosT4二 二 24)y)Mn=22 o2sec()- )d)-2 2ln sec©(22ln1迈匹孑 .?-lnTT1= 2.2n= 2.2ln 2二2 =2 n(3 2. 2) 2-42.所以f(x, y)d；二f(x, y)小亠 11 f(x, y)d二=丄 2、2ln(3 2 2)DD1D2cosCki n 甘(23)【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得乂十 x2 + x3 = 0捲 +2x2 +ax3

40、 =02% +4x2 +a x3 =0% +2x2 +x3 = a _1对联立方程组的增广矩阵作初等行变换a -1a2 -11 -a4行 （一 3） 3行a -12a1 -a-13 3a<111o)n110*12a01 行（-1 + 2行01a 10142 a0142 a021a丿21a丿110110、1）+ 3行L01a -10衫乙（1）-4行01a 10703a2 -1003 a-10J21a丿<010a 1丿110n1 10(Ab)=沽 （11 10 、n110 '01 0a 1010a100 a -13行(- a-1) + 4行00a -11 -a1 a<00

41、 a2 -13 3a 丿<000(a -"(a-2)1°10a 1 j1°10a-1换行即 a = 1 或a = 2.由此知，要使此线性方程组有解， a必须满足（a - 1）（a - 2） = 0 ,x1 x2 x3 = 0 当a =1时，r（A）=2，联立方程组 （3）的同解方程组为123 ，由区=0r（A） = 2，方程组有n - r =3-2=1个自由未知量.选X1为自由未知量，取= 1，解得两方程组的公共解为k 1,0, -1 ，其中k是任意常数.X1 X2 X3 = 0当a = 2时，联立方程组（3）的同解方程组为X2 =0，解得两方程的公共IX3

42、 - T解为（0,1,1$.方法2：将方程组（1）的系数矩阵A作初等行变换111 111A= 12 a 1 行：( 1)+ 2行 0 1 a12 I214 a14 a2111 1'111 101a 12行(3) 3行01a 13a2 -1一F00(a -1)(a -2)_13行% + x2 十 x3 = 0当a =1时，r(A)=2，方程组的同解方程组为1，由r(A) =2 ,x? = 0方程组有n_r=3-2=1个自由未知量选x1为自由未知量，取x 1，解得的通解为TTk 1,0, -1 ,其中k是任意常数.将通解k 1,0,-1代入方程 得k0(-k)=0,对 任意的k成立，故当a

43、=1时，k(1,0,1$是、的公共解.Xt + x2 + x3 = 0当a=2时，r(A)=2，方程组 的同解方程组为1，由r(A) =2，K + X3 = 0方程组有n-r =3-2=1个自由未知量选x2为自由未知量，取x2=1，解得(1)的通解为4 (0,1-1 $ ,其中卩是任意常数.将通解卩(0,1-1/代入方程 得2卩4=1，即 卜=1，故当a =2时，(1)和(2)的公共解为(0,1,1$.kk 1k 1故B的特征值可以由A的特征值以及 B与A的关系得到,A的特征值 =1, '2 = 2,(24)【详解】(I)由A：”"，可得 A) =A (Ar) = A A 训I二宀，k是正整数，故 353B% =(A -4A +E)% = A