第三章 水动力学基础2(ZHU)

1、前进3.7 实际液体恒定总流的动量方程实际液体恒定总流的动量方程11221122t时刻t+t时刻依动量定律依动量定律： MFt 即：单位时间内，物体动量即：单位时间内，物体动量的增量等于物体所受的合外力的增量等于物体所受的合外力t t时段内，动量的增量：时段内，动量的增量：前进t t时刻动量：时刻动量：121 2MMM12122 2MMMt+t+t t时刻动量：时刻动量：1 21 112MMM2 21 1MM11221122t时刻t+t时刻dA1u1u2dA2u1t22dmu dtdA1 11111dMu dmuu dtdA21222111AAuu dtdAuu dtdA在均匀流或渐变流过水断

2、面上uV21222211AAu dtdAu dtdA22222111V dtAV dtA 2221112211()dtQ VdtQ VdtQVV 2211()FQVV代入动量定律，整理得：代入动量定律，整理得：即为实际液体恒定总流的动量方程式即为实际液体恒定总流的动量方程式作用于总流流段上所有外力作用于总流流段上所有外力的矢量和的矢量和单位时间内，通过所研究流段单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上游断下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差面流入的动量之差前进2 21 1MMM11dmu dtdA2 22222dMudmuu dtdA动量方程的投影表达式：动量方程的投影表达式：2

3、211()xxxFQVV2211()yyyFQVV2211()zzzFQVV适用条件：适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流、无支流的汇入与分出。渐变流、无支流的汇入与分出。22233 31 1 1FQVQVQ V 如图所示的一分叉管路，动量如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2前进流出的动量流出的动量流入的动量流入的动量应用动量方程式的步骤：应用动量方程式的步骤：取脱离体；取脱离体； 正确分析受力，设定未知力方向；正确分析受力，设定未知力方向； 建立坐标系，标上作用力；建立坐标系，标上作

4、用力； 列动量方程：列动量方程：( (合力合力流出动量流出动量- -流入动量流入动量) )投影于某坐标轴投影于某坐标轴 设设11，11。 前进1122FP1FP2FRFGxzy动量方程式在工程中的应用动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力前进返回弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp

5、AFQV1111RxFp AQV 沿沿z方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)GRzp AFFQV2222RzGFp AFQV 沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp AFQV1111RxFp AQV 沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)RyFp AQV2222RyFp AQV FP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2FryFRxxy返回水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=gbh12/2FP2= gbh22/2FR沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：12221 1()PPRFFFQVV1222

6、1 12212212221221()11()221111()22RPPFFFQVVQQgbhgbhQAAQgbhgbhbhh返回射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：00(0)RFQV00RFQV 整理得：整理得：录像例例2：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两股，如图所示。已知股，如图所示。已知d=40mm，Q=0.0252m3/s，水头损失不计，求水流对，水头损失不计，求水流对光滑壁面的作用力光滑壁面的作用力R。解：解：（1

7、）断面）断面1、2、3及脱离体表面上的动水及脱离体表面上的动水压力压力P1、P2、P3及及P均等于零（作用在均等于零（作用在大气中）大气中）（2）重力）重力G，铅垂向下，铅垂向下（3）楔体对水流的反力）楔体对水流的反力R，待求。，待求。(4) 取坐标，列动量方程：取坐标，列动量方程：1122Q,v 1Rxydv 2v 333P 1P 2P 3例：设有一股自喷嘴以速度例：设有一股自喷嘴以速度v v0 0喷射出来的水流，冲击在一喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成个与水流方向成角的固定平面壁上，当水流冲击到平面角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在壁

8、后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力试推求射流施加于平面壁上的压力F FP P，并求出，并求出Q Q1 1和和Q Q2 2各为各为多少？多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：0000(sin)sinRFQVQV 前进对对0-00-0、1-11-1断面列能量方程为：断面列能量方程为：22010000022VVgg可得：可得：01VV同理有：同理有：02VV依据连续

9、性方程有依据连续性方程有：12QQQFP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：1 12200cosQVQ VQV整理得：整理得：12cosQQQ所以：所以：11 cos2QQ21 cos2QQ返回12QQQ21QQQ2cos2QQQ1cos2QQQFP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2FryFRx动量方程的解题步骤动量方程的解题步骤1.1. 选脱离体选脱离体 根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为脱离体；的水体取为脱离体； 2. 2. 选坐标系选

10、坐标系 选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；大小和方向；3 3. . 作计算简图作计算简图 分析脱离体受力情况，并在脱离体上标出全部作分析脱离体受力情况，并在脱离体上标出全部作用力的方向；用力的方向；4. 4. 列动量方程解题列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解，注意列动量方程时力与流速方向与投影轴方向一致量方程求解，注意列动量方程时力与流速方向与投影轴方向一致取正，反之取负。特别注意动量方程是流出动量取正，反之取负。特别注意动量方程是流出动量- -流入动量。计流入

11、动量。计算压力时，压强采用相对压强计算。算压力时，压强采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。注意与能量方程及连续性方程的联合使用。例例 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径，直径dA200 mm 变为变为dB150 mm ，在流量，在流量Q=0.1m3/s时，压强时，压强pA=18KN/m2，求流对，求流对AB 段弯管的作用力。不计弯管段的段弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。水头损失。 连续性方程求流速连续性方程求流速 能量方程求能量方程求B B点压强点压强 列动量方程列动量方程AyxoQxRyRBo60例例 水由水箱经一喷口无

12、损失地水平射出，冲击在一块铅直平水由水箱经一喷口无损失地水平射出，冲击在一块铅直平板上，平板封盖着另一油箱的短板上，平板封盖着另一油箱的短 管出口。两个出口的中心线管出口。两个出口的中心线重合，其液位高分别为重合，其液位高分别为h1和和h2，且，且h1=1.6m，两出口直径分，两出口直径分别为别为d1=25mm,d2=50mm，当油液的相对密度，当油液的相对密度0.85时，不使时，不使油液泄漏的高度油液泄漏的高度h2应是多大（平板重量不应是多大（平板重量不 计）？计）？ 根据能量方程求流速根据能量方程求流速V1 求求P1、P2 P1P23.8 3.8 量纲分析法简介量纲分析法简介n水力学三大方

13、程是解决水力学问题的基础，很多涉及水力学三大方程是解决水力学问题的基础，很多涉及具体问题的水流现象还无法找到其数学表达式。具体问题的水流现象还无法找到其数学表达式。n量纲分析可在试验研究的基础上帮助寻求各物理量之量纲分析可在试验研究的基础上帮助寻求各物理量之间的关系，建立关系式的结构，为将试验上升到理论提间的关系，建立关系式的结构，为将试验上升到理论提供了一种有效方法。供了一种有效方法。1. 1. 量纲和单位量纲和单位量纲：量纲：按物理量的性质不同进行分类按物理量的性质不同进行分类,其类别称为其类别称为量纲。量纲。如长度、时间、质量如长度、时间、质量量纲表示：量纲表示： 物理量物理量 。如。如

14、LL、TT、MM。单位：单位：量度各种物理量数值大小的标准。米、秒、量度各种物理量数值大小的标准。米、秒、Kg物理量的种类物理量的种类物理量的数量物理量的数量物理量物理量 基本物理量：长度基本物理量：长度L;L;时间时间T;T;质量质量MM 基本物理量要求：基本物理量要求： （1 1）量纲相互独立）量纲相互独立 （2 2）用基本物理量的组合能表示其他所有的物理量）用基本物理量的组合能表示其他所有的物理量基本物理量基本物理量导出物理量（诱导物理量）导出物理量（诱导物理量）诱导物理量：由基本物理量组合而成的物理量。诱导物理量：由基本物理量组合而成的物理量。力、能量、功由时间、长度和质量三个基本量组

15、合力、能量、功由时间、长度和质量三个基本量组合12 , vLTaLT 2 FMaMLT 22WFLMaLML T 速度、加速度由时间、长度两个基本量组合速度、加速度由时间、长度两个基本量组合MTLx0; 00;00 0 力学问题中，任何一个物理量力学问题中，任何一个物理量X X的量纲都可以用的量纲都可以用三个基本物理量量纲的指数乘积来表示，即：三个基本物理量量纲的指数乘积来表示，即：2 2 量纲方程量纲方程 动力学量: 如质量，密度，力，动量等。 运动学量: 如时间，速度，流量等。 无量纲量: 如水力坡度、相对误差，相对水深等。 几何学量: 如长度，面积，体积。3 3 量纲和谐原理量纲和谐原理

16、一个物理方程式中各项的量纲必须一致一个物理方程式中各项的量纲必须一致例：能量方程、动量方程例：能量方程、动量方程注意：经验公式中量纲是不和谐的。注意：经验公式中量纲是不和谐的。利用量纲和谐性可检验物理方程的正确性。利用量纲和谐性可检验物理方程的正确性。有量纲的完整物理方程改为无量纲项组成的物理方程，不改有量纲的完整物理方程改为无量纲项组成的物理方程，不改变物理过程规律性变物理过程规律性222221111221 ,21 ,21 ,2220101222222t a k e a d im e n s io n a l t r a n s fo r m a t io nle t : t o t a l

17、 w a t e r h e a d , t e r m s in t h e e q u a t io n s h o w e d a b o v e is d ivpvpvzzggpvzgpvpvzzML TLggH 22222211112id e d b y , t h e n w e g e t t h e fo llo w in g r e la t io n 22: t h e r e la t iv e lo c a t io n h e a d: t h e p r e s s u r e w a t e r h e a d : t h e v e lo c it y w a

18、t e r h e a d2 HzpvzpvHHg HHHg HzHpHvg H 为什么要进行量纲分析为什么要进行量纲分析 ？ l 校核公式校核公式l 兑换单位（对不具备量纲和谐的经验公式）兑换单位（对不具备量纲和谐的经验公式）l 帮助人们认识物理量之间的内在规律帮助人们认识物理量之间的内在规律l 帮助探求模型的相似准则帮助探求模型的相似准则l 指导试验，减少试验的变量数目指导试验，减少试验的变量数目, ,减少试验工作量减少试验工作量 dydu单位：单位：NS/mNS/m2 2l 校核公式校核公式 通过毛细管的流量通过毛细管的流量Q Q 与液体动力粘性系数与液体动力粘性系数、管径管径d、管长、

19、管长l、压力差压力差 p之间的关系如下之间的关系如下： 3300033000322()() right : ()() left : d plQlQffdd pdlllffM L TdddQd pQvAdALQvA vLM L Td pAL vpvvL 公式量纲和谐公式量纲和谐 无量纲数无量纲数解题步骤：解题步骤：（1）找出影响流动的物理量，并用它们写出假拟的指数方）找出影响流动的物理量，并用它们写出假拟的指数方程；程；（2）以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并根据量纲）以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理出最后形式。和谐性原理求出各物理量的指数，整

20、理出最后形式。量纲分析的基本定律：雷利法量纲分析的基本定律：雷利法例题例题1：自由落体运动的位移：自由落体运动的位移s与时间与时间t、重力加速度、重力加速度g有关。试求位移有关。试求位移s的表达式。的表达式。解：解：s=Kgatb L=LT-2aTb根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则L ： a=1T ： -2a+b=0得出：得出：a=1,b=2 s=Kgt2选三个基本物理量，该物理过程满足函数：选三个基本物理量，该物理过程满足函数： 量纲分析的基本定律：量纲分析的基本定律：定理定理 物理过程表示函数：物理过程表示函数：1233(,.)0nF 1

21、23( ,.)0nf x xxx123.(3)kkkkkabckkkxknxxxxk+1,xk+2,xk+3为基本物理量，为基本物理量，ak,bk,ck为待定指数为待定指数薄壁孔口出流公式薄壁孔口出流公式 H11cc00d2dAv0vc),( dgHFvc已知：已知： ，试根据，试根据定律，建定律，建立孔口出流的流量公式。立孔口出流的流量公式。2(,)0cVdFHHgg HHg Hc45672c2c22 () ()0() ()g2g1()2cmmvdHHgHgHgHvdHHggHHgHdQv AAHAHHHgHgHdHHgHgH， 311124c4567223344vd;g Hg Hg Hg

22、H ;4342421333231123222131211MLLTLTMLMLLTLTMLMLLTLLMLLTLLTv1v200v 管心管心管壁管壁粗糙度粗糙度),0 vRf（ 管道的壁面的切应力管道的壁面的切应力0 与断面平均流速与断面平均流速v 、水力、水力半径半径R 、液体的密度、液体的密度、液体的动力粘滞系数、液体的动力粘滞系数、粗糙、粗糙表面的凸起高度表面的凸起高度有关，写成函数表达式为：有关，写成函数表达式为：0004220555222221260022,)0 111ReRe (,Re,)0 (Re,)let :(Re,)8 (Re,)xyzxyzfv RvRvpvvRvRvFpLg

23、Lv LvLLgvLRvRvRRR （208v , v, R 为基本变量为基本变量111222333042.5005602.502.52.50, , , )0 (, )0 (, ) (, )xyzxyzxyzfH g Q vQQHggHvvHggHHggHHvQgHgHgHHvQgHgHgHHvQgHgHgHH（ 三角堰的流量三角堰的流量例例 :液体在恒定水头液体在恒定水头H作用下从面积为作用下从面积为A的孔的孔口流出，口流出，v与与H、g和和有关。试求有关。试求v的表的表达式。达式。解：解： LT-1= La1ML-3b1LT-2c1 ML-1T-1d= La2ML-3b2LT-2c2小结小

24、结一、几个基本概念一、几个基本概念1 1）元流（）元流（Tube FlowTube Flow） ：充满在流管中的液流称为元流或微小流束。元流：充满在流管中的液流称为元流或微小流束。元流的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。2 2）过水断面（）过水断面（Cross SectionCross Section）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过水断流动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过水断面。面。3 3）点流速）点流速：液体流动中任一点的流速

25、称为点流速，常用液体流动中任一点的流速称为点流速，常用u u表示。一般情况表示。一般情况下过水断面上各点的点流速是不相等的。下过水断面上各点的点流速是不相等的。4 4）平均流速）平均流速：由通过过水断面的流量由通过过水断面的流量Q Q除以过水断面的面积除以过水断面的面积A A而得的流速称而得的流速称为断面平均流速，常用为断面平均流速，常用V V表示，即表示，即AudAAV5 5）渐变流）渐变流：水流的流线几乎是平行直线的流动。或者虽有弯曲但曲率半水流的流线几乎是平行直线的流动。或者虽有弯曲但曲率半 径又很大，则可视为渐变流。渐变流的极限是均匀流。渐变流同一过径又很大，则可视为渐变流。渐变流的极

26、限是均匀流。渐变流同一过 水断面上的动水压强分布规律同静水压强，即水断面上的动水压强分布规律同静水压强，即z+p/z+p/ = =常数。但需要注常数。但需要注 意：对于不同断面意：对于不同断面z+p/z+p/ 一般不相等。一般不相等。6 6）急变流）急变流：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线。急变流过水断面上的动水压强不按静水压强规律分布。线。急变流过水断面上的动水压强不按静水压强规律分布。7 7）动能（动量）修正系数）动能（动量）修正系数：指按实际流速分布计算的动能（动量）与按指按实际流速分布计算的动能（动量）与按断面平

27、均流速计算的动能（动量）的比值。断面平均流速计算的动能（动量）的比值。 它们的值均大于它们的值均大于1.01.0，且取，且取决于总流过水断面的流速分布，流速分布越均匀，决于总流过水断面的流速分布，流速分布越均匀， 其值越小，越接近其值越小，越接近于于1.01.0。一般工程计算中常取常数。一般工程计算中常取常数1.01.0。二、恒定总流连续性方程二、恒定总流连续性方程不可压缩液体无分叉流时：不可压缩液体无分叉流时：V V1 1A A1 1= V= V2 2A A2 2即即Q Q1 1= Q= Q2 2 ，即任意断面间断面平均，即任意断面间断面平均流速的大小与过水断面面积成反比。流速的大小与过水断

28、面面积成反比。不可压缩液体分叉流动时：不可压缩液体分叉流动时： Q Q入入= = Q Q出出 ，即流向分叉点的流量之和等于，即流向分叉点的流量之和等于自分叉点流出的流量之和。自分叉点流出的流量之和。三、恒定总流能量方程三、恒定总流能量方程1 1、能量方程、能量方程hzzgpgp222122222111各项物理意义和几何意义：各项物理意义和几何意义： z z 单位重量液体具有的位能（位置水头）单位重量液体具有的位能（位置水头）p单位重量液体具有的压强水头，测压管高度单位重量液体具有的压强水头，测压管高度pz 单位重量液体具有的势能（测压管水头）单位重量液体具有的势能（测压管水头）g22单位重量液

29、体具有的动能（流速水头）单位重量液体具有的动能（流速水头）gpzH22单位重量液体具有的总比能（总水头）单位重量液体具有的总比能（总水头）h单位重量液体产生水头损失或能量损失。单位重量液体产生水头损失或能量损失。2 2、能量方程的应用条件、能量方程的应用条件（1 1）恒定流恒定流；（2 2）不可压缩液体不可压缩液体；（3 3）质量力只有）质量力只有重力重力；（4 4）所选取的两过水断面必须是）所选取的两过水断面必须是渐变流渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。断面，但两过水断面间可以是急变流。（5 5）总流的）总流的流量沿程不变流量沿程不变。（6 6）两过水断面间除了水头损失以外，总流）两过

30、水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出没有能量的输入或输出。)()()(3 . 12332 . 12222112332222111hzQhzQzQgpgpgp（7 7）式中各项均为单位重液体的平均能（比能），对液体总重的能量方程应）式中各项均为单位重液体的平均能（比能），对液体总重的能量方程应 各项乘以各项乘以 Q Q，即：，即：3 3、应用能量方程时的注意事项、应用能量方程时的注意事项（1 1）沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程；）沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程；（2 2）基准面原则上可任取，但应尽量使各断面的位置水头为正；）基准面原则上可任取，但应尽量使各断面的

31、位置水头为正；（3 3）在同一问题上必须采用相同的压强标准。一般均采用相对压强，而当）在同一问题上必须采用相同的压强标准。一般均采用相对压强，而当某断面有可能出现真空时，尽量采用绝对压强；某断面有可能出现真空时，尽量采用绝对压强；（4 4）由于）由于Z+p/ Z+p/ = =常数，所以计算点在断面上可任取，但对于管道流动常常数，所以计算点在断面上可任取，但对于管道流动常取断面中心点，对于明渠流动计算点常取在自由液面上；取断面中心点，对于明渠流动计算点常取在自由液面上；（5 5）应选取已知量尽量多的断面，如上游水池断面）应选取已知量尽量多的断面，如上游水池断面V V1 1=0=0，p=0p=0，下游管道出，下游管道出口断面口断面 p p2 2=0 =0 处，其中一个断面应包括所求的未知量。处，其中一个断面应包括所求的未知量。（6 6）当一个问题中有）当一个问题中有2323个未知量时，需和连续方程、动量方程联个未知量时，需和连续方程、动量方程联立求解；立求解；（7 7）对于有分叉的流动能量方程仍可应用，因为上述能量方程是）对于有分叉的流动能量方程仍可应用，因为上述能量方程是对单位重量液体而言的。对单位重量液体而言的。（8 8）当两断面有能量输入、输出时，能量方程应为：）当两断面有能量输入、输出时，能量方程应为： hzHzgpgp222