量子力学练习题答案

1、量子力学练习题参考答案一、 简答题1. 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。答:光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有:(1对入射光存在截止频率0,小于该频率的入射光没有光电子逸出;(2逸出的光电子的能量只与入射光的频率有关,入射光的强度无关;(3截止频率只与材料有关而与光强无关;(4入射光的强度只影响逸出的光电子的数量;(5无论多弱的光,只要其频率大于截止频率,一照射到金属表面,就有光电子逸出。2. 简述Planck 的光量子假设。答:Planck 的光量子假设为,对于一定的频率为的辐射,物体吸收或发射的能量只能以h 为单位来进行。3. 写出Einstein 光电方程,并阐述Ein

2、stein 对光电效应的量子解释。答:Einstein 光电方程为212h m W =+v 。 Einstein 对光电效应的量子解释为:(1存在截止频率0,0W h =,小于该频率的入射光无光电子逸出;(2无论多弱的光,只要0,一经照射,马上就有光电子逸出;(3逸出功由材料决定,即截止频率由材料决定;(4光强代表总入射能量的多少,并不代表单个光子的能量,光强只影响光电子的数量而不影响其能量,即光电子的能量与入射光的频率有关与光强无关。4. 简述Compton 散射实验。答:如果光具有粒子性,当高能光子与低能电子碰撞时,光子就会损失能量,波长就会增加,这个实验就是康普顿散射实验,它证实了光的粒

3、子性。 (01cos h m c= 5. 简述Bohr 的量子论,并对它进行简单的评价。答: Bohr 的量子论是建立在以下的假设上的(1定态假设:电子在原子中可以处于某种特定的状态(定态而不辐射能量;(2量子化假设 d k k k p q n h =v ;(3频率条件 i f h E E =。Bohr 的量子论用量子化假设来论证量子化,带有明显的人为的性质,仍然保留经典轨道的概念,无法处理更复杂的原子的光谱,只能处理周期运动,不能处理非束缚态问题。但在处理氢原子光谱时取得很大的成功,说明其假设有一定的合理成份。6. 写出Sommerfeld 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件。 答:d (

4、1,2,3,k k k k p q n h n =v其中(,k k q p 代表一对共轭的正则坐标和动量。7. 利用光波的双缝干涉实验,说明Born 的概率波解释。答:Born 认为,微观粒子的运动状态用“波函数”来描述,粒子通过双缝时,每一个缝都有一个所谓的“波”通过,只不过与经典波的强度对应的,是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子,其概率“分成”了两束(波动性,但对某个具体的粒子,它只能通过其中的一个缝(粒子性。8. 阐述概率波波函数的基本特性。答:波函数的统计诠释,必然要求波函数具有下面的性质(1波函数必须是有界且平方可积的;(2波函数可以有一个常数因子的不确定性;(3概率密

5、度(即*必须是单值的;(4波函数必须是连续的。9. 设(ikx x e =,粒子的位置几率的分布如何?此波函数能否归一化? 答:粒子位置分布的概率密度为*(1ikx ikx x x e e =在整个位置空间,粒子的概率分布相同,这不是真实的物理问题,是对物理问题进行理想化处理的结果,波函数不能归一化。10. 设(x x =,粒子的位置几率的分布如何?此波函数能否归一化? 答:粒子位置分布的概率密度为2*(x x x =利用公式00(d (f x x x x f x +=,得 2d (d (0x x x += 该波函数也不能归一化,这也不是真实的物理问题,是对物理问题进行理想化处理的结果。11.

6、 设粒子波函数为(,x y z ,写出在(,d x x x +范围找到粒子的几率。 答:在(,d x x x +范围找到粒子的几率为d d d *(,(,x y z x y z x y z +或者: *d d d y z x 12. N 粒子系的波函数为12(,N r r r K K K ,写出在111(,d r r r +K K K 中找到粒子1的几率(其它粒子的位置不限。答:在111(,d r r r +K K K 范围找到粒子的几率为121212d d d *(,(,N N N r r r r r r r r r +K K K K K K K K K 13. 设一维自由粒子的初态0/(,

7、0ip x x e =,写出(,x t 。 答:对一维自由粒子,其波函数为平面波的形式为00/(/(,ip x i Et p x iEt x t e e e = 14. 写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的表达式。答:动量算符 lp i =K = 动能算符 l (212T i m= 角动量各分量的算符 x L i y z z y =, y L i z x x z =, z L i x y y x = 15. 写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式。答: 2222211sin sin sin L =+= 16. 简述粒子动量与位置的不确定关系。答:若要想精确地知道粒子的

8、动量值,就无法得知粒子的具体位置;要想精确地知道粒子的位置,就无法得知粒子的具体动量值,位置分布的均方差和动量分布的均方差受到下面关系的制约2x p =17. 简述量子力学的态叠加原理。答:量子力学的态叠加原理是指如果1、2、3均是体系的可能状态,则它们的线性组合n n nC =也是体系的可能状态。18. 描述微观粒子的隧道效应。答:微观粒子入射到势场中时,可以穿透大于粒子入射能量的势场,这种效应称为隧道效应。19. 写出一维谐振子的Hamilton 量、定态Schrdinger 方程以及能量本征值的表达式。答:一维谐振子的 Hamilton 量为 l l 22222d 1(2d 2H T V

9、 x m x m x =+=+= 定态 Schrdinger 方程为 22222d 1(2d 2m x x E x m x += 能量本征值为 10,1,2,2n E n n =+= 20. 简述处于基态的一维谐振子的特征长度(经典回转点。 答:一维谐振子的基态能量为 012E = 此时对应于经典振子的振幅为221122m A = 于是有 0x A = 0x 称为谐振子的特征长度(经典回转点,也就是经典谐振子的振幅,经典粒子无法逾越此禁区,但是微观粒子能够穿越此经典禁区。21. 简述“箱归一化”方法的基本思想。答:“箱归一化”方法,其基本思想是先把波函数限制在一个正六面体的“箱”中,此时体系所

10、处的状态是束缚态,能够把波函数归一化。当把波函数归一化后,再把“箱”扩展到无穷空间,由此来确定波函数中的“归一化常数”。22. 完整阐述不确定性原理。答:由于粒子波函数对空间、动量、动能、总能量、角动量等的概率分布的同时决定,也使得它们的分布同时制约,这种制约就是不确定性原理,它是任何两个力学量在任何状态下的涨落(用均方差表示必须满足的相互制约关系,公式表示为l l 1,2A B A B 23. 如果算符A 的本征值分别为123,A A A ,在算符A 的自身表象中写出算符A的矩阵形式。 答:算符在其自身的表象中,矩阵的表示形式为一对角矩阵123000000A A A =A 24. 什么是守恒

11、量?简述在概率密度分布不随时间改变的问题上,定态与守恒量的区别。答:如果力学量算符l A 满足:(1不显含时间;(2与体系 Hamilton 算符l H对易,则称力学量A 为体系的一个守恒量。 在概率密度分布不随时间改变的问题上,定态与守恒量的区别为:在定态下,所有力学量的概率分布不随时间改变;在一切状态下,守恒量的概率分布不随时间改变。25. 在z S 表象下,写出算符zS 及其本征态|和|的矩阵表达式。 答:在z S 表象下,算符zS 的矩阵表达式为 10012z =S = 其本征态|和|的矩阵表达式分别为1|0= 和 0|1=26. 设角动量1J 和2J 彼此独立,其量子数分别为11j

12、=、212j =,在无偶合表象中写出总角动量12J J +的所有本征态。 答:无偶合表象中总角动量12J J +的所有本征态为(根据1122|,j m j m 11|1,1,22、11|1,1,22、11|1,0,22、11|1,0,22、11|1,1,22和11|1,1,22 27. 设角动量1J 和2J 彼此独立,其量子数分别为11j =、212j =,在偶合表象中写出总角动量12J J +的所有本征态。 答:偶合表象中总角动量12J J +的所有本征态为(根据12|,j j j m 133|1,222、131|1,222、131|1,222、133|1,222、111|1,222和111

13、|1,22228. 对非简并态的微扰,写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值。答:对非简并态的微扰,能级与波函数的一级近似值分别为(0n n n n E E H =+(0(0(0(0k n n n k k n k H E E =+ 其中 l (0(0|k n k nH H 。 能级的二级近似值为2(0(0(0|k n n nn n k n k H E E H E E =+29. 简述变分法的基本思想。答:变分法的基本思想是,首先选取含有参数的尝试性波函数(,用之求体系 Hamilton 量l H 的平均值(H ;然后求体系 Hamilton 量的平均值取最小值时参数的取值,由此得出体系

14、 Hamilton 量平均值的最小值min H ,这就是体系基态能量0E 的近似值。30. 设体系的微扰H 从0t =时刻开始引入,在微扰作用下,在时刻0,t 内体系从初态k 跃迁到终态m 的概率是多少?答:在时刻0,t 内体系从初态k 跃迁到终态m 的概率是2|(|mk m W a t = 其中01(d mk t i m mk a t e H i =,l *(d mk m k H H t =,(/mk m k E E =二、 证明题1. 证明黑体辐射的辐射本领(,E T 与(,E T 之间的关系。证明:黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位频率间隔内的能量,用(,E T

15、表示。由于/c =,所以黑体的辐射本领也可以表示成(,E T 。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为00(,d (,d E T E T = 利用/c =,得 2d d c=,所以有20(,d (,d c E T E T = 20(,d cE T =由此得到辐射本领的频率表示与波长表示之间的关系为:2(,(,E T E T c =2. 从Schrdinger 方程出发,证明量子力学中定域几率守恒的表达式0j t+=K 式中,概率流密度(*2i j m=K =,并阐明定域几率守恒表达式的物理意义。证明:由 Schrdinger 方程i H t=两边左乘*,得 *i H t= (1 上式取复共轭

16、,考虑到222H V m=+=为实算符,得 *i H t = (2 (1式与(2式相减,得(222*2i tm =(2*2m= 上式对任意闭区域积分,得(2*d *d 2i r V t m=K = 即 d (d r j V t =K K 考虑到积分区域的任意性,即有 0j t+=K 上式在量子力学中称为概率守恒定律的微分形式,它表明:在非相对论量子力学中,粒子既不会产生,也不会湮灭,某个地方出现粒子的概率增加了,一定是有概率“流”进去,别的地方出现粒子的概率必定会减少。反之,某个地方出现粒子的概率减少了,一定是有概率“流”出去,别的地方出现粒子的概率必定会增加。3. 设1(,rt K 和2(,

17、r t K 均为同一Schrdinger 方程的两个解,证明: 312d d *(,(,0d r r t r t t=K K 证明:由题意,有11(,(,i r t H r t t =K K =(1 22(,(,i r t H r t t=K K = (2 由12*(2(1*,得12211221*i i H H t t +=上式对全空间积分,得33121221d d (*d (*d i r r H H t= 1221(,(*,*H H = (3 由于算符H为厄米算符,且为实算符,有 2121(*,*(*,*H H += 12(,*H =12(,H = 由(3式可见312d d (*0d r t

18、=4. 证明:如果(r K 是定态Schrdinger 方程的解,则其(*r K 也是定态Schrdinger 方程的解,并且与(r K 对应同一能量本征值。证明:由定态 Schrdinger 方程22(2V r r E r m +=K K K 注意到算符l 22(2H V r m=+=K 为实算符,即l l *H H =,上式取复共轭,得 22(*(*2V r r E r m +=K K K 显然(*r K 也是Schrdinger 方程的解,且与(r K 对应同一能量本征值。5. 证明:如果(V r K 具有空间反演不变性,即(V r V r =K K ,并且(r K 是定态Schrdin

19、ger 方程的解,则(r K 也是定态Schrdinger 方程的解,并且与(r K 对应同一能量本征值。证明:定态 Schrdinger 方程为22(2V r r E r m +=K K K 因为算符2222222x y z =+ 具有的空间反演不变性,即222222222222(x y z x y z+=+ 对定态 Schrdinger 方程做变换r r K K ,得22(2V r r E r m +=K K K 再根据题设, (V r V r =K K ,得22(2V r r E r m +=K K K 由此可见,(r K 也是定态 Schrdinger 方程的解,且与(r K 对应同一

20、能量本征值。6. 证明:对一维阶梯形势场12(V x a V x V x a 若12(V V 有限,则定态波函数(r K 及其导数(r K 一定是连续的。证明:由一维定态 Schrdinger 方程222d (2d V x x E x m x += 整理,得22(m x E V x x =(1 显然,在(V x 连续区域,(x 存在,所以,(x 和(x 一定是连续的。在x a =处,(V x x 发生跃变,但变化有限(由于21V V 有限。 (1式在区域0,0a a +积分,得0202(0(0(d 0a a m a a E V x x x += 由此可见,(x 在x a =点连续,因此,在x

21、a =点,(x 也连续。7. 证明:如果1(x 和2(x 是一维定态Schrdinger 方程的对应同一能量本征值的解,则1221C =(常数 并且对于束缚态,有0C =。证明:由题意,有1122(0m x E V x x += (1 2222(0m x E V x x +=(2 12(2(1,得12210= 上式即 1221(0= 所以有1221C = (3 对于束缚态,x 时,0,则(3式中0C =。所以,对同属于能量E 的任何两个束缚态波函数1和2,必定有1221=8. 证明:如果在规则势场(即不存在奇点的势场中运动的粒子处于束缚态,则波函数一定是不简并的。证明:设1和2均是定态 Sch

22、rdinger 方程的对应于同一能量本征值的解,且是束缚态,于是,有1221= 上式可整理成 1212= 积分,得 12ln ln C =+ 上式可写成12ln C =,也就是12C = 由此可见,1与2线性相关,能级不简并。9. 证明坐标与动量算符之间的对易关系式l ,x x p i =证明:对任意波函数(,r t K ,有 l (x x p i x x= l (x p x i x i i x x x= 所以,有 l l l ,(x x x x p x p p x i =由算符相等的定义,得 l ,x x p i =10. 证明:不管体系处于什么状态,厄米算符的平均值必为实数。证明:根据厄米

23、算符的定义l l l i *A A A +=,以及转置算符的定义l i l (,(*,*A A =有 l l l l (,(,(*,*(,*A A A A +=于是,厄米算符的平均值l l (,(,*A A A A =要使上式成立,显然厄米算符A的平均值必须为实数。11. 证明:若线性厄米算符A和B 有不止一个共同本征函数,且这些共同本征函数构成完备系,则算符A、B 必定可以对易。 证明:设线性厄米算符A 和B 的共同的完备本征函数系为n,则对空间中任意一个波函数,可按该完备函数系展开为n n nC =于是,有l l l l l l l l (n n nAB B A C AB B A =(0n

24、 n n n n n nC A B B A =即 l l ,0A B=12. 证明:如果一个量子力学体系存在守恒量A ,则在体系的任何状态下,守恒量A 的概率分布不随时间改变。证明:如果A 是守恒量,则根据守恒量的定义, A 不显含时间且l l ,0A H =。取包括力学量l H 和l A 在内的一组力学量完全集的完备基n ,对于任意态矢量|,有|n n na =则守恒量A 的平均值为l ,|*|*n m n m n n n n m nnA A A a a A a a =守恒量A 的概率分布不随时间改变,是指*n n a a 值不随时间改变。d(*d *.|.d d n n n n n n a

25、 a a a c c c c t t t =+=+ (展开系数l |.n n Hc c i =+=(Schrdinger 方程 l 1|.n n H c c i =+=(厄米算符 |.nn n E c c i =+= (本征函数2|.n n E c c i =+=0= (2|n n E i =为纯虚数 此即守恒量A 的概率分布不随时间改变。13. 在z 表象中,利用算符的对易关系证明:x y z i =。 证明:首先证明Pauli 算符的反对易关系式 0x y y x += 利用Pauli 算符的反对易关系式2y z z y x i =,得1(2x y y x y z z y y y y z

26、z y i+=+ 221(2y z y z y y z y z y i=+ 1(02y z y z z y z y i=+= 把Pauli 算符的对易关系式 2x y y x z i = 与反对易关系式 0x y y x += 相加,得 x y z i = 两边右乘z ,利用21z =,即得x y z i =14. 证明:如果角动量1J 和2J 彼此独立,则对于总角动量12J J J =+仍然有:l l l J J i J =K K K =。证明:由于1J 和2J 彼此独立,有 l l 12,0J J =K K于是,得l l l l l l 1212,x y x x y y JJ J J J

27、J =+ l l l l 1122,x y x y JJ J J =+ l l l 12z z z i J i J i J =+= (1同理可证l l l ,y z x JJ i J = (2 l l l ,z x y JJ i J =(3上面的(1、(2、(3三式合写起来就是l l l J J i J =K K K =15. 证明:如果角动量1J 和2J 彼此独立,则对于总角动量12J J J =+仍然有:l l 2,0JJ =(其中1,2,3=分别表示,x y z 。 证明:由于1J 和2J 彼此独立,有 l l 12,0J J =K K 于是,得l l l l l l l l 22212

28、1212,2,x x x J J J J J J J J =+K K l l l l l l l l 121212122,x x y y z z x x JJ J J J J J J =+ l l l l l l l l l l l l 2112111221222,y y x z z x y y x z z x JJ J J J J J J J J J J =+ l l l l l l l l 212112122(0yz z y y z z y Ji JJ i J J i J J i J =+= 同理可得 l l 2,0y JJ = l l 2,0z JJ = 三式合写起来就是 l l 2,0

29、J J =(其中1,2,3=分别表示,x y z 。16. 根据轨道角动量升降算符的定义: ,x y x y LL iL LL iL +=+=,证明:,2z LL L += 证明:由轨道角动量升降算符的定义,有(x y x y LL L iL L iL +=+ 22(x y x y y x L L i L L L L =+ 22z z L L L=+= 同理,有22(x y x y x y x y y x L L L iL L iL L L i LL L L +=+=+22z z L L L= 于是,得,2z LL L L L L L +=17. 在Pauli 表象下,用矩阵形式证明:l l

30、|0,|2|+= 证明: Pauli 表象就是l z 表象,有算符的矩阵形式 0110x =,00y i i =,1001z = 由此,得l l l 0200x y i +=+=所以,有l 021|0000+=l 0201|22|0010+=18. 对于一维谐振子的产生算符 a+和湮灭算符 a ,证明|1an n +=+ |1a n n = 证明:由对易关系l ,N a a =(即l l N a a N a =+,有l l (1Na n a N n a n a n n a n n a n =+=+=+ 由于谐振子势场为规则势场,波函数不简并, an 是算符l N 的对应于本征值1n +的本征态

31、,所以 an 与1n +最多只差一个常数,即 1a n C n =+ 由此得*d *(d n n n n n aa n aa a a = (*d (*d n n n na a a a = 1111*d *d *n n n n C C CC CC +=从另外一个角度看,有l (1(11n aan n a a n n N n n =+=+=+比较上面两式,为简单起见,取C 为正实数,有C = |1a n n +=+ 类似地,由对易关系l ,N a a =(即l l N a aN a =,得l l (1Na n aN n a n n a n = 由于谐振子势场为规则势场,波函数不简并, an 是算符

32、l N 的对应于本征值1n 的本征态,所以 an 与1n 最多只差一个常数,即 1a n C n = 由此得*d n n n a a n a a = *d (*d n n n n a a a a =1111*d *d *n n n n C C CC CC =从另外一个角度看,有l n aa n n N n n n n n = 比较上面两式,为简单起见,取C为正实数,有C =,于是,得 |1a n n =三、 计算题1. 质量为m 的粒子在一维无限深方势阱(0a 0,(00x x a V x x a= 中运动,用de Broglie 的驻波条件,求粒子能量的可能值。解:由驻波条件,势阱宽度与半波

33、长的整数倍相等,得(1,2,3,2a n n =由 de Broglie 物质波假设,粒子动量为2hnh p a= 于是,粒子能量为 22222222(1,2,3,282p n h n E n m ma ma =2. 设质量为m 的粒子限制在长、宽、高分别为a 、b 、c 的箱内运动,用Sommerfeld 量子化条件求粒子能量的可能取值。解:由 Sommerfeld 量子化条件d 1,2,3,k k k k p q n h n =v在直角坐标系中,对x 分量,有11d 1,2,3,x p x n h n =v当粒子处于一定的能级上时,能量是固定的,如果势能为零,此时粒子的能量就是动能,处于一

34、定能量状态上的粒子,其动量是一个定值,可以把它移到积分号外。所以,有1d x p x n h =v在x 方向上,箱的宽度为a ,相当于宽度为a 的无限深势阱,有12x ap n h = 即 12x n h p a= 同样可求 22y n h p b =,32z n h p c= 由此得粒子能量22222221232221(28x y z h n n n E p p p m m a b c =+=+ 2222123123222,1,2,3,2n n n n n n m a b c =+=3. 设质量为m 的粒子在谐振子势221(2V x m x =中运动,用Sommerfeld 量子化条件求粒子

35、能量E 的可能取值。 (积分公式:2arcsin 2a x x C a =+ 解:由 Sommerfeld 量子化条件d 1,2,3,kk k k p q n h n =v 取直角坐标系,对一维情况,有 11d 1,2,3,x p x n h n =v当粒子处于一定的能级上时,能量是固定的,但此时势能不为零,粒子动能随势能的变化而变化,也就是说此时动量是位置的函数,动量不能看成常数而放到积分号外。但是动量可以用动能表示,动能可以用总能量与势能表示,总能量可以用振幅表示,如果我们能够求出量子化的振幅,则可以求出量子化的总能量。由此思路,得d 2d 2a a a p x p x x =v 2aa

36、x = 由于总能量 221(|2x a E V x m a =d 22a a a p x x m x =v 利用积分公式 2arcsin 2a x x C a=+,得 2d 2ap x m x m a = v (1,2,3,nh n = 由此得量子化振幅 a =于是得到量子化的能量值221(1,2,3,2E m a n n =4. 一个平面转子的转动惯量为I ,用Sommerfeld 量子化条件求能量的可能取值。解:在经典力学中,对平面转动,一般选取极坐标系。在此,我们选取广义坐标,则广义速度为= ,广义动量为 212T T p I I =由此得粒子的动能为22211(222p E I I I

37、 I= 对微观粒子,只要能求出量子化的广义动量,则能求出动能。由 Sommerfeld 量子化条件得2200d d d k k p q p p =v 2p nh =2nh p = 所以 222222(1,2,3,282p n h n E n I I I=5. 设22/2(x x Ae=,为常数。求归一化常数A 。解: 利用公式 22200d 2d(x x x e x xe x e +=22002d x e x x +=+ 312032d 22t e t t +=112122=+= 得 22222d *d *|d x x x xA Ae A xe +=22|d |x A xe += 再利用归一化

38、条件 d *1=由此求出归一化常数 |A = 可以把它取为正实数,得 A =6. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动,能量本征值为22222n n E ma = ,对应的归一化本征函数为(n n x x a=。如果粒子的状态由波函数(0x Ax a x x a =0,(00x x a V x x a=中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:由定态Schr dinger 方程 22(2V r r E r m +=K K K在区域0x a 内,有 2(2x E x m=令222mE k =,定态Schr dinger 方程的解为(cos sin x A kx B kx =+对无限深势阱,在区域0x a 外,波函数为零。由连续性条件,在边界上波函数为零,即0|0x =,|0x a =。利用边界条件0|0x =,得 0A =利用边界条件|0x a =,得 1,2,3,n k n a = 由此得能量本征值为 22221,2,3,2n n E n ma =对应