角平分线的性质与判定

1、已知已知:AOB求作：求作：AOB的平分线的平分线（1）以）以O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OA于于M，交，交OB于于N。（2）分别以）分别以M、N为圆心，大于为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交的内部交于点于点C。（3）作射线）作射线OC。射线。射线OC即为所求。即为所求。A0BMNC做法：做法：O仔细观察步骤仔细观察步骤ABOAOEBCPD 将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折

2、痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折 按照做一做做一做的顺序画AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PD、PE ，并度量所画PD、PE是否等长？画一画画一画同学甲、乙谁的画法是正确的?角平分线上的点到角的两边的角平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等 议一议：由折一折和画一画你可得到什议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？么猜想？能否用符号语言来翻译能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角角平分线上的点到角的两边的距离相等的两边的距离相等”这句话请填下表：这句话请填下表：PD=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E为为垂足垂足于是我们得角的

3、平分线的性质：于是我们得角的平分线的性质： 角的平角的平分线上的点到角的两边的距离相等分线上的点到角的两边的距离相等角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个

4、。了任何一个。 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）如图， AOC= BOC,点点

5、P在在OC上，上，PD OA,PE OB,垂足分别为垂足分别为D,E,求证求证PD=PE.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.1.明确命题中的已知和求证；明确命题中的已知和求证；2.2.根据题意，画出图形，并用符号表示根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；已知和求证；3.3.经过分析，找出由已知推出要证的结经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。论的途径，写出证明过程。 反过来，到一个角的两边的距离相等的反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、

6、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明证明: QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平到角的两边距离相等的点在角的平分线上。分线上。例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：

7、点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为，垂足分别为D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的

8、距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在A A 的的 平分线上吗？这平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？说明三角形的三条角平分线有什么关系？，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2 、 如 图、 如 图 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 线的 平 分 线 , , 点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则

9、PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用B 思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等.思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处