大学数学高数微积分11Fourier积分课堂讲义

1、一、Fourier级数二、Fourier积分定理三、小结一、 Fourier级数傅里叶(17681830)法国数学家对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.法国数学家FourierJBJFouriern 1804年，法国数学家Fourier提出：n 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和.n 1822年， Fourier在研究热传导理论时发表了热的解析理论，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理.一、 Fourier级数一、Fourier级数n 1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的定理，奠定了Fourier级数的理论基础.狄利克雷（1805185

2、9）德国数学家P. G. L. Dirichletn 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在n 上满足Dirichlet条件, 即在区间 上满足:,22TT ,22T T ,22TT 1. Fourier级数展开 1) 连续或只有有限个第一类间断点; 2) 只有有限个极值点. 则在区间 可以展开成Fourier级数. 在fT(t)的连续点处, 级数的三角形式如下: 其其中中，2T 01( )(cossin)2Tnnnaftantbnt 级数的三角形式22( )sind1,2,3,TTnTbf tn t tn （) )22( )cosd1,2,3,TTnTaftn ttn （) )2202(

3、)dTTTafttT 01(0)(0)cossin22TTnnnaftftan tbn t t在间断点 处成立： 01(0)(0)cossin22( )TTnnnTftftaan tbn tft 即级数的三角形式1) 级数复指数表示形式:在在其其连连续续点点处处，利利用用Euler公Euler公式式：jjjjcos,sinj22 e ee ee ee e01( )(cossin)2Tnnnaftan tbn t jjjj01j222n tn tn tn tnnnaab e ee ee ee e级数的三角形式e ee ejj01jj222n tn tnnnnnaabab 如如果果令令 ，2200

4、1( )d2TTTacfttT 1)级数复指数表示形式系数的确定j jj jj je ej je e22221( )d (1,2,3,)21( )d (1,2,3,)2TTTTn tnnnTn tnnnTabcftt nTabcftt nT 221( )d (1, 2, 3,)TTn tnTcftt nT j je e1)级数复指数表示形式若令 (n=0,1,2, ),01( )nnntttTnnnnnf tcccc j jj jj je ee ee e级数的复指数表示2211( )( )dTnnTttTTnftfTT j jj je ee e1) 级数复指数表示形式nn 001(0)(0)2

5、TTftft 在在其其间间断断点点 处处，0tj jj je ee e2211( )dTnnTttTnfTT 1)级数复指数表示形式ntnnc j je e1)级数复指数表示形式2211( )dTnnTttTnfTT jjjjeeee即001(0)(0)2( )TTTftftft 2)级数正弦和余弦表示形式01( )cos()2TnnnaftCn t 1( )sin()TnnnftCn t 级数正弦表示形式:级数余弦表示形式22,arctannnnnnnaCabb 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t),使其在 之内等于f

6、(t), 而在 之外按周期T延拓到整个数轴上,显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有lim( )( )TTftf t 二、Fourier积分定理1)Fourier积分公式,22TT ,22TT eeee，22jj1( )( )dTnnTtTTnftfT e ee e22jj1( )lim( )dTnnTtTTnf tfT 令令 ，由由1) Fourier积分公式 当当 取取一一切切整整数数时时所所对对应应的的点点便便均均匀匀分分布布在在整整个个数数轴轴上上 两两个个相相邻邻的的点点的的距距离离为为,nn 或或12

7、,nnnnTT 1. Fourier积分公式22jj01( )lim( )d2TnnTntTnnf tf eeee 0nT 则则当当 ，时时，22jj1( )lim( )dTnnTtTTnf tfT e ee e1. Fourier积分公式22jj1( )d2TnnTtTnf e ee e是是参参数数为为的的函函数数， 当当 固固定定时时，t22jj1()( )d2TnnTtTnTf e ee e ()Tn 记记作作，即即1. Fourier积分公式22jj01( )lim( )d2TnnTntTnnf tf eeee 0( )lim()nTnnnft ()Tn 利利用用，1. Fourier

8、积分公式0,()()nTnnT 当当即即时时jj1()( )d2nntnf 又又e ee e ()dnnf t 则则（ ）= =，( )df t 即即（ ）= =，1. Fourier积分公式Fourier积分公式1d2tf tf j jj j（ ）= =（ ） e ed de e 得得1). Fourier积分公式若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有（在在绝绝对对可可积积即即收收敛敛）(,)|( )|df tt 2. Fourier积分定理 一个非周期函数在什么条件下,可以

9、用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.定理:jj1( )( )dd2tf tf e ee e Fourier积分公式的复数形式成成立立. .2. Fourier积分定理 如如果果左左端端的的在在它它的的间间断断点点 处处 应应以以来来代代替替( ),(0)(0).2f ttf tf tjj(0)(0)1( )dd22tf tf tf e ee e 即即2. Fourier积分定理3. Fourier积分公式的三角形式利利用用EulerEuler公公式式，有有jjj()1( )( )dd21( )dd2ttf tff e ee e e e 1( )cos()d2( )sin()ft

10、ft j jd dd d1( )( )cos()dd2f tft ( )sin(),ft 又又d d 是是 的的奇奇函函数数故故得得01( )( )cos()ddf tft ( )cos(),ft 又又d d 是是 的的偶偶函函数数故故又又得得Fourier积分公式的三角形式3. Fourier积分公式的三角形式 当 为奇函数时,利用三角函数的和差公式,有 fx01( )( )cos()ddf tft 01( )( ) coscosf tft 3. Fourier积分公式的三角形式 sinsinddt 由于 为奇函数,则 和 分别是关于 的奇函数和偶函数,因此( )cosf( )sinf fx

11、Fourier正弦积分公式002( )( )sinsindf tft d d 当 为偶函数时,同理可得 fx002( )( )cosdcosdf tft Fourier余弦积分公式4. Fourier正弦和余弦积分公式 特别地,如果 仅在 上有定义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶延拓的方法,得到 相应的Fourier正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开式.( )f t，(0) ( )f t注意:jj1( )( )dd2tf tf e ee e 1j11cossindd2ttt j je e 11( )0tf t ， 求求函函

12、数数 的的F Fo ou ur ri ie er r积积分分表表达达式式. .， 其其他他根根据据FourierFourier积积分分公公式式的的复复数数形形式式，有有1j01cosddtt e e 1sincossindtt j j 02sincosd1t ( 10)( 10)122ff f t（ ）为为偶偶函函数数，根根据据FourierFourier余余弦弦积积分分公公式式，012sincosd112f ttt （ ）， ， 当当时时，1t 有有f t（ ）应应以以代代替替. .012sincosd1401ttt ， ， ， 即即0t 当当时时，有有Dirichlet积分 f t由由上上可可以以看看出出，利利用用的的F Fo ou ur ri ie