伴随矩阵的性质

1、编号 2009011118 毕 业 论 文（设 计）（ 2013 届本科）论文题目： 伴随矩阵的性质 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09级本科1班 作者姓名： 魏瑞继 指导教师： 俱鹏岳 职称： 副教授 完成日期： 2013 年 4 月 20 日目 录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明3摘要4关键词40引言41主要结论41.1伴随矩阵的基本性质41.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质81.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质91.4两伴随矩阵间的关系性质102应用举例11例111例211结束语12参考文献12致谢13陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明

2、：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：二一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例.关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数

3、中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义11 设矩阵,将矩阵的元素所在的第i行第j列元素划去后，剩余的个元素按原来的排列顺序组成的阶矩阵所确定的行列式称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式，记为，即 = (i,j=1,2,n).定义22 方阵的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵 = 称为矩阵的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若是阶方阵,那么 = .证明 （1）设,设,则，由知为可逆矩阵，从而推

4、得，即为零矩阵.于是也为零矩阵，与矛盾，所以; (2) ）如果,则中至少有一个元素0，即中至少有一个阶子式不为0，故.而r() =1<n，所以; (3) ）如果,即为零矩阵，而中元素均为中的阶代数余子式，从而中的所有阶子式全为0，所以;性质24 若矩阵为非奇异阵，为常数（0），则.证明 由=及可得 =.性质3 （1）无论是奇异阵还是非奇异阵，等式 ()成立5;（2）设为阶方阵，则6.证明 （1）当是奇异阵时，因为=为零阵.所以 ，从而等式 ()成立.当是非奇异阵时，由得. 所以 （）.（2）当0时，=.当=0时，知，若，则.由性质1知()=0,从而=0=若，则r()=0，即=0故=0=.

5、性质4 设，为阶方阵，则.证明 （1）当，0时，由=可得 =.（2）当，=0时，令，只要充分大，都可逆，所以上式两端矩阵中的元素都是关于的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的都成立.特别的取=0，即得.推论 设均为n阶方阵，则 .性质5 设，均为阶可逆矩阵，则有.证明 因为=所以可逆，且=.又有由可得= = .推论 设A，B，C均为n阶可逆矩阵，则有 .性质64 若为阶方阵，则.证明 (1)当为非奇异矩阵时，有0，=0，即，也为非奇异阵.由=可得又 因为 所以= 即=.(2)当为奇异阵时，设= ，则的第i行第j列元素为，的第i行第j列元素为，的第i行第j列元

6、素为，的第i行第j列元素为 (i,j=1,2,)，所以= .性质7 (1)设是阶非奇异阵，则 ;(2)设是阶非奇异阵，则.证明 (1)由= 得 又所以 = .(2)由性质得由(1)得.又因为, 所以即又所以.1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若是可逆矩阵，是其特征值，是的属于特征值的特征向量，则 的特征值为，是的属于特征值的特征向量.证明 因为是可逆矩阵，所以0，在两边左乘得 即 . 又， 所以 即.所以为的特征值，是的属于特征值的特征向量.性质9 设是不可逆矩阵，若是的非零特征值，是的属于的特征向量， 则是的属于特征值0的特征向量.证明 由条件可知(0)，两边左乘得 即.由于=0

7、，0，所以即是的属于特征值0的特征向量.推论 设是不可逆矩阵，若是的非零特征值，是的属于的特征向量， 则是的属于特征值0的特征向量.1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质107 (1)若是阶对称矩阵，那么也是阶对称矩阵；(2)若是阶反对称矩阵，那么当是偶数时，也是阶反对称矩阵；当是奇数时，是阶对称矩阵.证明 (1)因为是阶对称矩阵，所以=.又，所以是阶对称矩阵.(2)因为是阶反对称矩阵，所以=.又 当是偶数时，有，所以也是阶反对称矩阵；当是奇数时，有，即，所以是阶对称矩阵.性质118 若是阶正定矩阵，则也是阶正定矩阵 .证明 若正定，则为对称矩阵，由性质10知也为对称矩阵.其次可得的所有特征值均

8、大于0，由性质8知的所有特征值也大于0，即为正定矩阵.性质129 若是正交矩阵，则也是正交矩阵 .证明 设是正交矩阵，则有又= 所以也是正交矩阵.性质13 若是上(下)三角矩阵，则也是上(下)三角矩阵.证明 设=是上三角矩阵，则当i>j时，有=0.当i<j时，的余子式为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以=0(i<j)，即有=0(i<j).故也为上三角矩阵.同理可证，若是下三角矩阵，则也为下三角矩阵.推论 当是对角矩阵时，也是对角矩阵.1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵等价于，则等价于 .证明 因为等价于，则存在可逆矩阵，使得 两边取伴

9、随矩阵得即有.因为,可逆，所以，也可逆，因此等价于.性质1510 若与相似，则与也相似.证明 当可逆时，因为与相似，则存在可逆矩阵，使得=.两边取行列式得，所以也可逆，即.上式两边分别乘以得.即，所以与相似.性质16 若与合同，且与可逆，则与也合同.证明 因为与合同，所以存在可逆矩阵，使得. 又与可逆，上式两边取逆，得 即.令=C，则，所以.又由得 所以 即.令Q=，则 所以与合同.2应用举例例1 设、均为阶可逆矩阵，且=，=，= =，=，=，求.解 由性质的推论可得 = = .例2 设=，是的伴随矩阵，求.解 因=0，所以可逆由性质7可得 .结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详

10、细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献1李明.伴随矩阵秩的研究J.陕西理工学院学报，2008.6.7-8.2张禾瑞，郝鈵新.高等代数M.北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版.3张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解M.徐州：中国矿业大学出版社，2008.4. 4陈艳凌，许杰.矩阵A的伴随矩阵的性质J.齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.5肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质J.

11、上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.6郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究J.河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.7王航平.伴随矩阵的若干性质J.中国计量学院学报，2004.3.246-247.8朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质J.高师理科学刊，第28卷 第3期，2008.5.22-23.9任化民.伴随矩阵的性质J.工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.10孙红伟.伴随矩阵性质的探讨J.高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions