（精选）高三数学一轮复习必备精品3：函数基本性质--【高三数学一轮复习必备精品共42讲-】

1、第3讲 函数基本性质备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一【课标要求】1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；二【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题

2、综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点三【要点精讲】1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点

3、对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定

4、义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B

5、是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质奇函数在其对称区间上

6、的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) =

7、M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值； 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(

8、x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为四【典例解析】题型一：判断函数的奇偶性例1讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R， ，f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f(x)=0，也满足f(x)=f(x)；由、知，对xR有f(x) =f(x)， f(x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=±1) ，

9、即f(x)的图象由两个点 A（1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）x2a2, 要分a >0与a <0两类讨论，当a >0时， ，当a >0时，f(x)为奇函数； 当 时， 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能 化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）例2(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数，给出以下三个条件:(1) 存在，使得；(2) 成立；(3) 在区间上是增函数.若同时满

10、足条件 和 （填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为 .答案 满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等题型二：奇偶性的应用例3重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值； （）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【解】（1） （2）点评：若奇函数的定义域包含，则题型三：判断证明函数的单调性例5（2008上海文，19）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分已知函数（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围【解】（1）. .2分由条件可知，解得 6分 .8分（2）当 10分即 13分故m的取值范围

11、是 .16分点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁例6已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽象函数的单调性问题，应该用单调性定义解决在R上任取x1、x2，设x1<x2，f(x1)< f(x2)， f(x)是R上的增函数，且f(5)=1，当x<5时0< f(x)<1, 而当x>5时f(x)>1; 若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1, 0< f(x1)f(x2

12、)<1,<0, F (x2)< F(x1)；若x2 >x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 , f(x1)f(x2)>1, >0, F(x2)> F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点题型四：函数的单调区间例7(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 答案 D解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期

13、的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 例8（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：

14、所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同增、异减”的规则.也可通过导数方法求单调性。题型五：单调性的应用例9已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且f(2)=f(2)=0。不等式可化为log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2

15、+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集为x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使f(cos23)+f(4m2mcos)>f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos23)>f(2mcos4m)，即cos23>2mcos4m,即cos2mcos+2m2>0。设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒

16、为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正当<0,即m<0时，g(0)=2m2>0m>1与m<0不符；当01时，即0m2时，g(m)=+2m2>042<m<4+2，42<m2 当>1,即m>2时，g(1)=m1>0m>1。m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>42。另法(仅限当m能够解出的情况)： cos2mcos+2m2>0对于0,恒成立，等价于m>(2cos2)/(2cos) 对于0,恒成立当0,时，(2cos2)/(2cos) 42，m>42。点评：上面两例子

17、借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题题型六：最值问题例11（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.例12设m是实数，记M=m|m>1，f(x)=log3(x24mx+4m

18、2+m+)。(1)证明：当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m>1,(xm)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+>0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m>1，故mM。(2)解析：设u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小。而u=(

19、x2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立。log3(m+)log33=1点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理题型七：周期问题例13已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，。当时，由题意可设，由得，。是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，。当时，有，。当时，。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征五【思维总结】1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常