人教B版复习课件：4 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系三年三年8 8考考 高考指数高考指数: :1.1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想. .1.1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；2.2.常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何

2、性质结常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合合, ,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系；重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系；3.3.题型以选择题和填空题为主，属中低档题目题型以选择题和填空题为主，属中低档题目. .有时与其他知识有时与其他知识点交汇在解答题中出现点交汇在解答题中出现. .1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式式判断位置关系判断位置

3、关系. . 相离相离 相切相切 相交相交位置关系位置关系0 0=0=00 0 (2)(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离线的距离d d与半径与半径r r比较大小来判断直线与圆的位置关系比较大小来判断直线与圆的位置关系. . d d 与与r r 的关系的关系 dr dr dr 位置位置 关系关系 相交相交 相切相切 相离相离【即时应用即时应用】(1)“k=1”(1)“k=1”是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的的_条件条件. .(2)(2)已知点已知点M(x

4、M(x0 0,y,y0 0) )是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内异于圆心的一点，则直内异于圆心的一点，则直线线x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2与此圆的位置关系是与此圆的位置关系是_._.【解析解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直线的距离时，圆心到直线的距离d= d= 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则解得解得 ；所以，；所以，“k=1k=1”是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的充分不必要条件的充分不必要条件. .(2)(2)因为点因为

5、点M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内的一点，所以内的一点，所以rr1+r2 无解无解 外切外切 d=r1+r2一组实数解一组实数解 相交相交 |r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解两组不同的实数解 内切内切 d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解一组实数解 内含内含 0d|r1-r2| (r1 r2)无解无解【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？程有何关系？提示：提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于两圆的方程作

6、差，消去二次项得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程方程，就是公共弦所在的直线方程. .(2)(2)判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与与x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是_._.x x2 2+y+y2 2+2x+4y+1=0+2x+4y+1=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-4y-1=0-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是_._.x x2 2+y+y2 2-4x+2y-4=0-4x+2y-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-2y+4=0-4x-2

7、y+4=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距而两圆的半径之和而两圆的半径之和r r1 1+r+r2 2=1+2=3=1+2=3；两圆的半径之差；两圆的半径之差r r2 2-r-r1 1= =2-1=12-1=1；所以；所以r r2 2-r-r1 1|O|O1 1O O2 2|r|r1 1+r+r2 2，即两圆相交；，即两圆相交；2212O O(1 0)(02)5；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：

8、(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，(x-2)(x-2)2 2+(y-+(y-2)2)2 2=9=9，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|= |= ；而；而两圆的半径之和两圆的半径之和r r1 1+r+r2 2=2+3=5=2+3=5；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2，即两圆外切；，即两圆外切；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9，(x-2)(x-2)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=1=1，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1

9、1O O2 2|= |= ；而两；而两圆的半径之差圆的半径之差r r1 1-r-r2 2=3-1=2=3-1=2；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1-r-r2 2，即两圆内切，即两圆内切. .答案：答案：相交相交 外切外切 内切内切2212225 22221 12 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.代数法判断直线与圆的位置关系的步骤代数法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)将直线方程与圆的方程联立，消去将直线方程与圆的方程联立，消去x(x(或或y)y)得到关于得到关于y(y(或或x)x)的的一元二次方程；一元二次方程；(2)(2)求上述方程的判别式，

10、并判断其符号；求上述方程的判别式，并判断其符号；(3)(3)得出结论得出结论. .2.2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤几何法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)求出圆心到直线的距离求出圆心到直线的距离d d；(2)(2)判断判断d d与半径的大小关系；与半径的大小关系；(3)(3)得出结论得出结论. .【提醒提醒】如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离( (即即点在圆内、圆上、圆外点在圆内、圆上、圆外) )判断直线与圆的位置关系，小于半径相判断直线与圆的位置关系，小于半径相交；等于半径相切或相交；大于半径相交、相切、相离都有可交；等于

11、半径相切或相交；大于半径相交、相切、相离都有可能能. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012广州模拟广州模拟) )若从原点向圆若从原点向圆x x2 2+y+y2 2-12y+27=0-12y+27=0作两作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_；(2)(2)过点过点P(2,4)P(2,4)引圆引圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1的切线，则切线方程为的切线，则切线方程为_；(3)(3)若经过点若经过点A(4,0)A(4,0)的直线的直线l与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1有公共点，则直线有公

12、共点，则直线l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为_. .【解题指南解题指南】(1)(1)画出草图，结合平面几何知识求解；画出草图，结合平面几何知识求解；(2)(2)因为已知直线过点因为已知直线过点P(2,4)P(2,4)，所以先确定直线方程斜率的存在，所以先确定直线方程斜率的存在性，进而利用条件求出直线方程；性，进而利用条件求出直线方程；(3)(3)直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可线的距离小于等于半径即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)圆的方程化为标准圆的方程化为标准方程为：方程为：x x2

13、 2+(y-6)+(y-6)2 2=3=32 2，故圆心为，故圆心为(0,6)(0,6)，半径为，半径为3 3，如图，则如图，则 的长为的长为2.2.答案：答案：22(2)(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2x=2，此时，圆心到直，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；2ACB.3AB当直线的斜率存在时，设直线方程为当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2),y-4=k(x-2),即：即：kx-y+4-2k=0kx-y+4-2k=0，因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，即

14、：因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，即：d=d=解得：解得：k= k= ，所以所求切线方程为：，所以所求切线方程为： ，即：，即：4x-3y+4=0.4x-3y+4=0.答案：答案：x=2x=2或或4x-3y+4=04x-3y+4=0222k142k3k1,k1k1 4344xy42033 (3)(3)由题可设直线方程为由题可设直线方程为y=k(x-4)y=k(x-4)，即：，即：kx-y-4k=0kx-y-4k=0，因为直线，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d= d= ，解得：，解得：-

15、k .- k .答案：答案：- - ， 22k04k1k133333333【互动探究互动探究】将本例将本例(3)(3)中条件中条件“经过点经过点A(4A(4，0)0)的直线的直线l”改为改为“在在y y轴上截距为轴上截距为-2-2的直线的直线l”，其他条件不变，结论如何？，其他条件不变，结论如何？【解析解析】由题可设直线方程为由题可设直线方程为y=kx-2,y=kx-2,即：即：kx-y-2=0kx-y-2=0，因为直线，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d= d= ，解得：，解得：22k021k14747k

16、.33【反思反思感悟感悟】1.1.已知直线与圆的位置关系求解其他未知量，已知直线与圆的位置关系求解其他未知量，一般有以下两种方法：一般有以下两种方法：方法一：几何法方法一：几何法: :利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解；关系求解；方法二：代数法方法二：代数法: :联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来解决；解决；2.2.求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的情况，否则求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的情况，否则容易漏解容易漏解. .【变式备选变式备选】已知圆已知圆C C：(x-1)(x-

17、1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=25=25，直线，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.(1)(1)是否存在一点是否存在一点A,A,对于任意的实数对于任意的实数m m，直线，直线l恒过恒过A A点？若有，请点？若有，请说明理由，并求出说明理由，并求出A A点坐标；点坐标；(2)(2)证明：对于任意证明：对于任意mRmR，直线，直线l一定与圆一定与圆C C相交；相交；(3)(3)求直线求直线l与圆与圆C C所截得的弦长最短时直线所截得的弦长最短时直线l的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)因为直线因为直线l的方程的方程(2m

18、+1)x+(m+1)y-7m-4=0(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为：可化为：x+y-4+m(2x+y-7)=0 x+y-4+m(2x+y-7)=0，所以，该直线一定过直线所以，该直线一定过直线x+y-4=0 x+y-4=0与直线与直线2x+y-7=02x+y-7=0的交点，即的交点，即A(3,1)A(3,1)；(2)(2)因为直线因为直线l过定点过定点A(3,1)A(3,1)，而圆心坐标为，而圆心坐标为C(1,2)C(1,2)，所以，所以|AC|= |AC|= 5=r, (2 (圆的半径圆的半径) )，此时不合题意；，此时不合题意；当斜率当斜率k k存在时存在时, ,过原点的

19、直线方程为过原点的直线方程为kx-y=0kx-y=0，要使该直线与圆，要使该直线与圆相切，则有相切，则有 ，解得，解得k=k=1 1，所以，切线方程为所以，切线方程为x+y=0 x+y=0或或x-y=0.x-y=0.222k2k12.(20112.(2011江西高考江西高考) )若曲线若曲线C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与曲线与曲线C C2 2:y(y-mx-:y(y-mx-m)=0m)=0有四个不同的交点，则实数有四个不同的交点，则实数m m的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(- (A)(- ， ) )(B)(- (B)(- ，0)(0, )0)(0,

20、)(C)(C)- , - , (D)(-,- )( ,+)(D)(-,- )( ,+)3333333333333333【解析解析】选选B.B.如图如图,C,C1 1:(x-1):(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.C C2 2:y=0:y=0或或y=mx+m=m(x+1).y=mx+m=m(x+1).当当m=0m=0时，时，C C2 2:y=0,:y=0,此时此时C C1 1与与C C2 2显然只显然只有两个交点有两个交点, ,当当m0m0时，要满足题意，需圆时，要满足题意，需圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1与直线与直线y=m(x+1)y=m(x+1)有两有两交点，当圆与直线相切时，交点，当圆与直线相切时，m=m= , ,即直线处于两切线之间时即直线处于两切线之间时满足题意，则满足题意，则- m0- m0或或0m .0m .3333333.(20123.(2012东莞模拟东莞模拟) )已知圆已知圆(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=36=